一道平面向量試題的探究與思考

向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.有關(guān)向量的很多試題都獨(dú)具匠心、新穎別致，解法靈活多變.向量這部分內(nèi)容能很好地提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

濟(jì)南市高一期末學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題第22題是一道平面向量題，試題如下：

題目在△ABC中，點(diǎn) P 為 ΔABC 內(nèi)一點(diǎn).（1）若點(diǎn) P 為 ΔABC 的重心，用 表示 ：（2）記 ΔBPC . ΔCPA ， ΔAPB 的面積分別為S_A，S_B，S_C ，求證： ：（3）若點(diǎn) P 為 ΔABC 的垂心，且 3 ，求 cos∠APB 此題第（1）小題考查的是有關(guān)重心的向量表達(dá)式（204號 ），屬于容易題，大部分學(xué)生都能順利完成；第（2）小題證明的結(jié)論實(shí)質(zhì)是“向量奔馳定理”，雖然該定理證明的方法較多，但由于技巧性和綜合性較強(qiáng)，屬于難題，只有極少數(shù)學(xué)生會做；第（3）小題可以說是“向量奔馳定理”的一個應(yīng)用，雖然不用“向量奔馳定理”也可以求解，無奈難度較大，會做的學(xué)生寥寥無幾.

“平面向量奔馳定理\"是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與梅賽德斯一奔馳（Mercedesbenz）汽車的三叉星徽標(biāo)志（如圖1）很相似，故形象地稱其為“向量奔馳定理”下面是筆者對這一定理及其應(yīng)用的歸納、總結(jié)和探究.

1平面向量奔馳定理

已知 O 是 ΔABC 內(nèi)一點(diǎn)，記 ΔBOC ·ΔCOA .ΔAOB 的面積分別為 S_A，S_B，S_C ，則有

下面給出該定理的一種常用證法.

證明：如圖2所示，延長 AO

與 BC 相交于點(diǎn) D ，則O T圖2

（其中 ），得OD=

，所以 所以 故 （202

2平面向量奔馳定理的推論

（1）如圖3，已知 o 是 ΔABC 內(nèi)

一點(diǎn)，且 ，則

S_ΔBOC：S_ΔCOA：S_ΔAOB=x：y：z. （204 （2）已知 o 是 ΔABC 所在平面

內(nèi)一點(diǎn)，且

（x，y，z∈R，xyz≠0，x+y+z≠0） ，則

圖3

①S_ΔBOC：S_ΔCOA：S_ΔAOB=|x|：|y|：|z|

說明：當(dāng)點(diǎn) o 在 ΔABC 的三條邊上時，此結(jié)論不再適用，可作為特殊情況處理；當(dāng)點(diǎn) o 在 ΔABC 的外部時，結(jié)論是有變化的，以點(diǎn) O 在 AD（D 為 AO 與 BC 的交點(diǎn)）延長線上的情形為例，此時 與OD同向，即 SAOA，結(jié)論變?yōu)?SAOA+SBOB+ ，故推論（2）中 ① 和 ② 需要加絕對值.

3三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）向量式

銳角三角形的重心、內(nèi)心、外心、垂心都在三角形內(nèi)部，其中等邊三角形的重心、內(nèi)心、外心、垂心重合，這個點(diǎn)叫中心；直角三角形的重心、內(nèi)心在三角形內(nèi)部，垂心是直角頂點(diǎn)，外心是斜邊中點(diǎn)；鈍角三角形的重心、內(nèi)心在三角形內(nèi)部，垂心、外心都在三角形外部，

設(shè) O 是 ΔABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c， 則由向量奔馳定理及推論可得如下結(jié)論：

（1）若 o 是 ΔABC 的重心，則 S_ΔBOC：S_ΔCOA ： （2）若 o 是 ΔABC 的內(nèi)心，則 S_ΔBOC：S_ΔCOA ： （20 （2 （204號 （3）若 o 是 ΔABC 的外心，則 S_ΔBOC：S_ΔCOA ： （4）若 o 是 ΔABC 的垂心，則 S_ΔBOC：S_ΔCOA ： （20

下面只給出結(jié)論（3）（4）的證明.

（3）證明：因?yàn)?o 是 ΔABC 的外心，令 ，所以 · （20

同理，S△COA

故 S_ΔBOC：S_ΔCOA：S_ΔAOB=∣sin2A∣：∣sin2B∣ |sin2C|

（4）證明：連接 AO ，交 BC 于點(diǎn) D ，由上述奔馳定 理的證明知 .因?yàn)?o 是 ΔABC 的垂心，所 以丨tan || tan 則

1

同理 =

所以 S_A：S_B：S_c=|tanA|：|tanB|：|tanC| 業(yè)

故 S_ΔBOC：S_ΔCOA：S_ΔAOB=∣tanA∣：∣tanB∣ |tanC| ：

特別說明：旁心是三角形旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心；旁 ∴ 是三角形的一個內(nèi)角平分線與其不相鄰的兩個外角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等；一個三角形有三個旁心（每條邊對應(yīng)一個），都在三角形外部.

若 O 是 ΔABC 中 ∠A 所對的旁心，則 S_ΔBOC ： （204號 類似地，可以寫出 ∠B 和 ∠C 所對的旁心向量等式.

4定理應(yīng)用舉例

例1已知點(diǎn) P 為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿 則 ΔAPB 與 ΔABC 的面積之比等于（ ）.

解析：因?yàn)锳P= 所以6

整理為 由奔馳定理推論， 得 S_ΔBPC：S_ΔCPA：S_ΔAPB=1：2：3.

所以 .故選：C.

此題點(diǎn) P 在 ΔABC 內(nèi)部，但所給向量關(guān)系不滿足奔馳定理結(jié)構(gòu)形式，可以先將向量關(guān)系通過向量線性運(yùn)算化成奔馳定理的結(jié)構(gòu)形式，再根據(jù)奔馳定理得出各三角形面積之間的比例關(guān)系.

例2已知點(diǎn) P 為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 ，則△APB與 ΔABC 的面積之比等于

解析：因?yàn)? ，所以

整理為 由奔馳定理推 論，得 0

此題點(diǎn) P 在 ΔABC 外部，化簡得到的奔馳定理形式中 x，y，z 會有負(fù)數(shù)出現(xiàn)，此時直接使用奔馳定理

推論即可.

例3已知點(diǎn) P 為 ΔABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 ，則 ΔAPB 與 ΔABC 的面積之比等于（ ）.

D.1

解析：因?yàn)? ，所以（204號 ，即點(diǎn) P 在邊 AC 上，且 ，所以點(diǎn) P 到 AB 邊的距離等于點(diǎn) c 到 AB 邊距離的 3，則 .故選：B.

此題點(diǎn) P 在 ΔABC 的邊上，可直接判斷面積之間的比例關(guān)系，奔馳定理在此處的作用只是提供一個分析的方向.

例4文中開頭所給的濟(jì)南市高一期末學(xué)情檢測第22題第（3）小題.

解析：因?yàn)?P 是 ΔABC 的垂心，且 3 ，所以tan A：tanB：tanC=1：2：3

又tan

解得tan A=1 ，或 -1

又tan A ，tan B ，tan c 同號，所以tan A=1 ，從而tan C=3

如圖4，設(shè)直線 AP，BP，CP 分別交 BC，AC，AB 于點(diǎn) D，E ，F(xiàn) ，在四邊形 CDPE 中，因?yàn)?P 是ΔABC 的垂心，所以 ∠CDP= ∠CEP=90^° ，所以 ∠DPE+ ∠ACD=180^° ：

圖4

又 ∠DPE=∠APB ，則 ∠APB+∠ACB=180^° 所以 tan∠APB=-tan∠ACB=-3.

故

以上4道題目都還有其他的解法，大家可以探究一下，通過比較，可以看出平面向量奔馳定理在解決這類問題中發(fā)揮了重要作用，是研究向量的強(qiáng)有力工具.