聚焦新教材 探索新專題 深挖三角形系列性質(zhì)

1探索三角形的面積

人教A版新教材必修第二冊第55頁“閱讀與思考\"內(nèi)容從數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程角度詳細(xì)介紹了海倫公式和秦九韶公式的由來.海倫公式是指：已知三角形的三邊長度分別為 a，b，c ，則該三角形的面積 S= ，其中 .海倫公式解決了由三角形三邊直接求出三角形的面積的問題，它具有輪換對稱的特點(diǎn)，形式很美，大家很容易記住它.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”《數(shù)書九章》中的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.\"如果把以上這段文字寫成公式，那么就是 S=

對于閱讀材料中的海倫公式（秦九韶公式），教材是要求掌握的.體現(xiàn)在課本第54頁“拓廣探索\"第20題第（1）小問中，要求證明的三角形面積公式即海倫公式，如下：

已知△ABC的三個(gè)角 A，B，C 的對邊分別為 a ^b，c ，設(shè) .求證：三角形的面積 S=

證明：在 ΔABC 中，由余弦定理可得cos C= ，則

其中 命題得證.

2探索三角形的中線長

三角形的中線是指連接三角形一個(gè)角的頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的線段.教材中對于這一性質(zhì)同樣以課后習(xí)題的形式給出，要求學(xué)生掌握.新教材必修第二冊第53頁“綜合運(yùn)用\"第15題，要求學(xué)生利用余弦定理證明三角形的中線長，如下：

△ABC的三邊分別為 a，b，c ，邊 BC，CA，AB 上的中線分別記為 m_a，m_b，m_c ，利用余弦定理證明：

證法一：如圖1，在 ΔABC 中，記BC邊上的中線 AD 為m_a ，由余弦定理可知 m_a²= B 圖1 D C COS +262）-a2]，所以ma=

同理，可證得 ， m_c=

證法二：利用課本第39頁例2的結(jié)論“平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和”得出.

如圖2所示，以 AB，AC 為鄰邊構(gòu)造平行四邊形 ABEC ，設(shè) AE ，BC 交于點(diǎn) D ，則 AD=m_a ，由教材中例2的結(jié)論可知 AE²+BC²= 2（AB²+AC² ，即 （2AD）²+a²= 2（c²+b²） ，可得 4m_a²=2（c²+b²）- a² ，化簡得

圖2

同理，可證得 m_c=

證法三：利用 ∠ADB ∠ADC 互補(bǔ)，兩次使用余弦定理證明.在 ΔABD 中， AB=c AD=m_a ，由余弦定理可得 ① 在 ΔACD 中 ，由余弦定理可得 ② 根據(jù) cos∠ADC=-cos∠ADB，①+② 可得 ，即有 同理，可證得 m_c=

3探索三角形的高線長

三角形的高線是指從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)所作的垂直于對邊的線段.新教材必修第二冊第54頁“拓廣探索\"第20題第（3）小問，證明三角形三邊上的高線長，如下：

已知 ΔABC 的三個(gè)角 A，B，C 的對邊分別為 a ，b，c，設(shè)p=a+b+c. ，求證：把邊 BC，AC，AB 上的高分別記為 h_a，h_b，h_c ，則

證明：由三角形的面積公式 ，以及海倫公式 ，可得

由 ，可得

同理，可得

4探索三角形的內(nèi)切圓的半徑長

新教材必修第二冊第54頁“拓廣探索\"第20題第（2）小問，證明三角形內(nèi)切圓的半徑長，如下：

已知△ABC的三個(gè)角 A，B，C 的對邊分別為 α_a ^b，c ，設(shè) ，求證：若 r 為三角形的內(nèi)切圓半徑，則

證明：設(shè) O 為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則可得 S_ΔABC= 2p×r=pr

所以 （其中

5探索三角形的外接圓的半徑長

已知 ΔABC 的三個(gè)角 A，B，C 的對邊分別為 a .b，c ，若 R 為三角形的外接圓半徑，證明：

證明：由正弦定理可知 ，化簡可得 R= ，故有 R= 成立.

本文深度挖掘和探究了新教材必修第二冊第六章的課后習(xí)題及閱讀材料，探索了已知三角形的三邊，求解三角形的面積、中線、高線、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑等性質(zhì)這一專題.這些性質(zhì)涉及的元素不僅是三角形中的基礎(chǔ)量，在實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用.比如，在建筑設(shè)計(jì)中，我們需要計(jì)算房屋的三角形屋頂?shù)拿娣e，以確定屋頂?shù)男倍群筒牧系挠昧浚辉诠こ虦y量中，我們需要測量三角形的三邊長度和角度，以確定地形的高度和坡度.

因此，新教材的編排更加合理化和人性化，更加注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升，也更加考驗(yàn)一線教師駕馭教材的能力.我們必須要改變以往的教學(xué)模式，用新的教學(xué)理念進(jìn)行教學(xué)，深挖新教材，刻苦鉆研，勇于創(chuàng)新，不斷探索新的專題，提高駕馭教材的能力.Z