回歸原點(diǎn)提素養(yǎng)，高數(shù)視角本質(zhì)彰

說(shuō)題就是教師在現(xiàn)代教育理論的指導(dǎo)下，通過(guò)交流研討題目而達(dá)到對(duì)題目的深度理解，促進(jìn)說(shuō)題教師個(gè)人與教師團(tuán)隊(duì)共同發(fā)展的一項(xiàng)實(shí)用且有效的教研活動(dòng)模式.吳立寶教授在《教師說(shuō)題教研的三階段六功能》一文中指出，說(shuō)題教研落腳于示范引領(lǐng)，致力于資源共享，著眼于問(wèn)題診斷，著力于行為改進(jìn)，聚焦于成果轉(zhuǎn)化.說(shuō)題教研具有自我展示功能、信息傳遞功能、指導(dǎo)探索功能、調(diào)節(jié)完善功能和成果轉(zhuǎn)化功能1.說(shuō)題比賽需要發(fā)揮集體的智慧，擴(kuò)大認(rèn)知的邊界，說(shuō)題比賽使參與說(shuō)題的教師個(gè)人和教師團(tuán)隊(duì)相互促進(jìn)，共同提升，促使教師由教書匠進(jìn)入教育家的狀態(tài)[2].因此，說(shuō)題比賽對(duì)教師專業(yè)成長(zhǎng)意義重大，開展說(shuō)題比賽是大勢(shì)所趨.

為推動(dòng)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革，提高我市高中數(shù)學(xué)青年教師\"數(shù)學(xué)理解、教材理解和教學(xué)理解\"的專業(yè)能力，適應(yīng)全國(guó)高考Ⅰ卷的命題風(fēng)格，市基礎(chǔ)教育研究室特舉辦高中數(shù)學(xué)青年教師說(shuō)題展示評(píng)比活動(dòng).在此次比賽中，筆者所在參賽隊(duì)伍獲得各縣區(qū)第一名的優(yōu)異成績(jī)，現(xiàn)把筆者參賽準(zhǔn)備、比賽片段、比賽感悟與大家分享.

1說(shuō)題比賽案例展示

此次說(shuō)題比賽分別從試題呈現(xiàn)、思路探究、問(wèn)題溯源、類題同解和教學(xué)啟示五個(gè)環(huán)節(jié)向評(píng)委和同行進(jìn)行展示，筆者以3人組隊(duì)的形式參賽，3位說(shuō)題教師定位不同，分工明確.其中1號(hào)說(shuō)題教師負(fù)責(zé)高屋建甄，說(shuō)問(wèn)題溯源，說(shuō)變式推廣，說(shuō)教學(xué)啟示；2號(hào)說(shuō)題教師和3號(hào)說(shuō)題教師分別扮演課堂上的老師和學(xué)生的角色，以情景劇的形式向大家呈現(xiàn)如何循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生從自身思維的原點(diǎn)和困惑點(diǎn)出發(fā)探索問(wèn)題，從而形成通法、妙法.接下來(lái)給大家還原此次說(shuō)題比賽中的精彩片段.

1.1題目呈現(xiàn)

（2023年全國(guó)新高考數(shù)學(xué) I 卷第22題）（1）證明：當(dāng) 02 ，若 x= 0是 f（x） 的極大值點(diǎn)，求 Ψ_a 的取值范圍.

1.2解法探究

1.2.1初探未熟未曾過(guò)，眼中山水尚淺時(shí)

生（3號(hào)說(shuō)題教師扮演）：第（1）問(wèn)比較基礎(chǔ)，兩邊分別構(gòu)造差函數(shù)，求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，獲得原函數(shù)的單調(diào)性就可以啦，兩邊唯一不同的是左邊需要求兩次導(dǎo)數(shù)才能判斷出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，稍微麻煩一些.

師（2號(hào)說(shuō)題教師扮演）：很好，你還能想到別的方法嗎？讓我們一起回到試題的原點(diǎn)[3]，題目設(shè)置兩個(gè)不等式證明，有可能其中一個(gè)是在為另一個(gè)作鋪墊，

生：右側(cè)的不等式簡(jiǎn)單易證，難道是想用右側(cè)的結(jié)論證明左側(cè)？可是求完導(dǎo)之后是“余弦函數(shù)”，“正弦”消失了，還怎么用右側(cè)的結(jié)論呢？

師：哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以將“余弦\"轉(zhuǎn)化成“正弦\"？

生：二倍角公式！將余弦轉(zhuǎn)化成正弦，再用右側(cè)結(jié)論放縮，令函數(shù) G（x）=x-x²-sinx ，則可以得到

師：（小結(jié)）第（1）問(wèn)與教材例題高度相似，考查學(xué)生對(duì)基本思想方法的掌握，學(xué)生采用的第一種方法來(lái)源于課本中兩個(gè)實(shí)數(shù)通過(guò)作差比較大小，這也讓我們得到了一種證明不等式的常用方法，即構(gòu)造差函數(shù)后研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值.但當(dāng)要證明兩個(gè)及兩個(gè)以上不等式的時(shí)候，可考慮借助已證得的不等式來(lái)證明其他的不等式.

下面探究第（2）問(wèn)的解法.

思路一：端點(diǎn)效應(yīng).

生：第（2）問(wèn)連續(xù)求導(dǎo)兩次，依然沒(méi)有思路.

師：我們不妨回歸到函數(shù)問(wèn)題的原點(diǎn)，你還記得研究函數(shù)的一般路徑嗎？

生：一般會(huì)先分析函數(shù)的定義域、奇偶性或?qū)ΨQ性、單調(diào)性、周期性、有界性和函數(shù)式結(jié)構(gòu).

師：本題提到了極值點(diǎn)，你還記得求極值的基本方法嗎？

生：根據(jù)課本中極值的概念和求極值的基本方法，先求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再利用其兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)性判斷極值.函數(shù) f（x） 是定義域?yàn)?（-1，1） 的偶函數(shù)，所以可以將研究范圍縮至（0，1），而根據(jù)極大值點(diǎn)的特征可知，函數(shù) f（x） 在 x=0 附近先增后減，導(dǎo)函數(shù)先正后負(fù)， f^′（0）=0 ，這說(shuō)明存在實(shí)數(shù) δ ，使 f^′（x） 在 （0，δ） 上單調(diào)遞減， f^′′（x）?0 在 （0，δ） 上恒成立，根據(jù)極限思想，只需讓 f^′′（0）?0 即可.

師：導(dǎo)數(shù)是量化研究函數(shù)局部性質(zhì)的工具，但f^′′（x）=0 一定能推出 x=0 是極大值點(diǎn)嗎？

生：不能，比如 f（x）=x³，f^′′（x）=0 ，但 x=0 并不是極值點(diǎn)，因此需要對(duì)剛才的結(jié)果進(jìn)行充分性論證.當(dāng) 時(shí)，導(dǎo)函數(shù)既有 sinx ，又有分式結(jié)構(gòu)，可以考慮用第（1）問(wèn)的不等式放縮，而右側(cè)形式簡(jiǎn)單，則先用右側(cè)放縮， 時(shí)不合題意.

師：棒！當(dāng) 時(shí)，也需要這樣討論嗎？

生：不用.因?yàn)?cos（-ax）=cosax ，所以 也不符合題意，接下去也只要證 的充分性就行了.我想到了主元更替法，當(dāng) 時(shí)， f^′（x）= 1-χ2p（x），其中p（x）=-√2x2+x+√2，p（0）= .根據(jù)極限思想， lim_x0⁺p（x）gt;0 ，則 哎呀，不等號(hào)傳遞失敗，這個(gè)方法不行.

師：是可以考慮用第（1）問(wèn)的不等式進(jìn)行放縮.因?yàn)? 不符題意，所以我們期望 時(shí)導(dǎo)函數(shù)小于零，帶著這個(gè)目標(biāo)繼續(xù)探究.

生：當(dāng) 時(shí)，利用第（1）問(wèn)的結(jié)論，導(dǎo)函數(shù)可放縮為 x1左側(cè)放縮后的式子正負(fù)不確定，而右側(cè)放縮與目標(biāo)方向一致，所以用右側(cè)放縮，通分化簡(jiǎn)得 f^′（x）lt; 1-χ2·（-a2x2+a2x2+a2+2-a2），只要考慮括號(hào)里的三次函數(shù)正負(fù)號(hào)即可.綜上所述， 或 alt; ：

師：通過(guò)思路一，我們得到了已知函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)范圍問(wèn)題的基本思路，先聚焦局部特征，運(yùn)用端點(diǎn)效應(yīng)和極限的局部保號(hào)性，簡(jiǎn)化運(yùn)算，縮小參數(shù)范圍，再通過(guò)放縮，優(yōu)化函數(shù)，最后通過(guò)求導(dǎo)判斷極值，驗(yàn)證充分性.

思路二：半分參.

生：老師，對(duì)于思路一，我還有別的想法，其中f^′（x）lt;0 在（0，δ）上的恒成立問(wèn)題，可以用半分離參數(shù)的方法得到兩個(gè)函數(shù) 和 h（x）= -asinax ，觀察圖象（圖1）， g（0）=h（0） ，所以只需要g（x） 在 x=0 附近下降的比 h（x） 慢即可，導(dǎo)數(shù)是研究變化快慢的基本方法，所以只要 g^′（0）gt;h^′（0） 就行啦.

圖1

師：數(shù)形結(jié)合是分析問(wèn)題的好方法，但不嚴(yán)謹(jǐn)，需要驗(yàn)證其充分性，跟思路一相同， g^′（0）gt;h^′（0） 其實(shí)就是思路一中提到的 f^′′（0）lt;0 ，而這二者的本質(zhì)都是極限的局部保號(hào)性.

1.2.2再探已覺(jué)山水深，通法引領(lǐng)我前行

師：現(xiàn)在讓我們回到你困惑的原點(diǎn)，你之前為什么連續(xù)求兩次導(dǎo)數(shù)還無(wú)濟(jì)于事？

生：因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，正負(fù)性難以判斷.

師：現(xiàn)在有了不等式放縮、優(yōu)化函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，可考 慮將導(dǎo)函數(shù)放縮，減少函數(shù)類型，你再試試.

思路三：放縮 + 分類討論.

生：與思路一的放縮一樣，左側(cè)放縮中 f^′（x）gt;

2，除 2-a² 以外其他部分恒為正，所以根據(jù) 2-α² 的正負(fù)確定分類標(biāo)準(zhǔn).當(dāng) 2-a²?0 時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，這時(shí) x=0是極小值不符合題意；當(dāng) 2-a²lt;0 時(shí)，左側(cè)放縮失效，那我就從右側(cè)放縮入手，這就跟思路一充分性的證明一模一樣了.

1.2.3終探已覺(jué)意無(wú)窮，妙法收官自在真

師：思路一出于減少函數(shù)類型的考慮，對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行放縮，那我們能不能考慮直接對(duì)原函數(shù)進(jìn)行放縮呢？

思路四：泰勒展開.

生：利用切線不等式和第（1）問(wèn)的結(jié)論可以得到 （20，但是這樣我就做不下去了！

師：想法非常好，之所以失敗是因?yàn)榉趴s時(shí)不等號(hào)的方向錯(cuò)了，我們可以使用一種等價(jià)轉(zhuǎn)換，如用泰勒公式，將復(fù)雜的函數(shù)逼近近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，有化繁為簡(jiǎn)的功能，我們可以利用cos x 和 的泰勒展開式將 f（x） 轉(zhuǎn)化為高次函數(shù)，即

我們發(fā)現(xiàn)在 x=0 附近，影響函數(shù)極值的最重要因素是二次項(xiàng)系數(shù)，所以只需讓二次項(xiàng)系數(shù)小于0，即可得到答案.

師：（小結(jié)）通過(guò)以上分析，我們得到處理這類問(wèn)題的思路，先聚焦函數(shù)的局部特征，運(yùn)用端點(diǎn)效應(yīng)和極限的局部保號(hào)性，簡(jiǎn)化運(yùn)算，縮小參數(shù)范圍；或者將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，優(yōu)化函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷極值，驗(yàn)證前面結(jié)果的充分性即可.

1.3高數(shù)視角本質(zhì)彰，居高臨下意圖顯

高觀點(diǎn)解題是指針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中具有高等數(shù)學(xué)背景或與高等數(shù)學(xué)緊密結(jié)合的題型，在解題過(guò)程中融入高等數(shù)學(xué)思想，以初等數(shù)學(xué)的方法巧妙求解.一方面，高觀點(diǎn)解題可以有效鍛煉學(xué)生的思維能力，對(duì)初等數(shù)學(xué)所用方法進(jìn)行深入思考和探究，在探尋規(guī)律性的過(guò)程中體會(huì)定理的準(zhǔn)確性，從而提升對(duì)知識(shí)的理解力；另一方面，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)研究的方向往往具有一致性，很多初等數(shù)學(xué)的題目是由高等數(shù)學(xué)初等化而來(lái)的，因此，站在更高更廣的角度來(lái)審視高中數(shù)學(xué)題可以激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

事實(shí)上，在人教A版選擇性必修第二冊(cè)中求極值的基本方法，就是高等數(shù)學(xué)中的第一充分條件.另外，在高等數(shù)學(xué)中，對(duì)函數(shù)極值的研究和描述更具一般化，還給出了函數(shù)極值的第二充分條件和第三充分條件.對(duì)于上文中的 f（x） ，易知， f^′（0）=0，f^′′（0）=2- a²，f^′′（0）=0，f^?（4）（0）=a⁴+12gt;0 ，由極值的第二充分條件可知，當(dāng) f^′′（0）=2-a²lt;0，x=0 是 f（x） 的極大值點(diǎn)；當(dāng) f^′′（0）=2-a²gt;0，x=0 是 f（x） 的極小值點(diǎn)，舍去.當(dāng) f^′′（0）=2-a²=0，f^′′（0）=0，f^（4）（0）= a⁴+12gt;0 ，由極值的第三充分條件可知， x=0 是 f（x） 的極小值點(diǎn)，不滿足題意.

基于高觀點(diǎn)視角，我們也得到以下類題：

（2024年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷第19題節(jié)選）已知函數(shù) 若當(dāng)且僅當(dāng) 1lt; xlt;2 時(shí)， f（x）gt;-2 ，求 b 的取值范圍.

（2024年全國(guó)高考新課標(biāo)甲卷第21題節(jié)選）已知函數(shù) 當(dāng) x?0 時(shí)， f（x）≥ 0，求 a 的取值范圍.

（2023全國(guó)高考甲卷理第21題節(jié)選）已知函數(shù) ，若 f（x）

（2023全國(guó)高考 z 卷文第20題節(jié)選）已知函數(shù) ，若函數(shù) f（x） 在 （0，+∞） ）單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

[2016高考數(shù)學(xué)山東（文）節(jié)選]設(shè) ax²+（2a-1）x，a∈R 已知 f（x） 在 x=1 處取得極 大值，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

2說(shuō)題比賽的感悟

2.1說(shuō)題促進(jìn)教師成長(zhǎng)

說(shuō)題對(duì)助力青年教師成長(zhǎng)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是有助于說(shuō)題教師對(duì)題目的深度理解.因?yàn)檎f(shuō)題教師不僅要說(shuō)命題方向和命題背景，更要遵循學(xué)生的思維生成規(guī)律，循序漸進(jìn)、拾級(jí)而上地將各種思路串聯(lián)并娓娓道來(lái).因此說(shuō)題教師要有清晰的說(shuō)題思路，要有重點(diǎn)、有詳有略.二是有助于說(shuō)題教師教學(xué)藝術(shù)性的提升.說(shuō)題教師用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)姿態(tài)輔助說(shuō)明自己對(duì)題目的理解并傳遞給其他教師，也是提升說(shuō)題效率的重要策略.而教師的教學(xué)姿態(tài)是自身素質(zhì)、修養(yǎng)的審美展示，優(yōu)秀的教學(xué)姿態(tài)展示可以使說(shuō)題具有藝術(shù)含量.

此外，說(shuō)題還能促進(jìn)整個(gè)說(shuō)題教師團(tuán)形成合力、抱團(tuán)成長(zhǎng)，縮小教師對(duì)題目理解程度的差異，有助于緩解師資力量不均衡等問(wèn)題.說(shuō)題比賽不僅能促進(jìn)說(shuō)題教師自身的成長(zhǎng)，其他旁聽的同行也能接收到說(shuō)題教師傳遞出來(lái)的對(duì)題目的理解和優(yōu)良的教學(xué)姿態(tài)，學(xué)習(xí)并借鑒，從而提升整個(gè)教師團(tuán)隊(duì)的教學(xué)藝術(shù)性.

2.2說(shuō)題可以引領(lǐng)教學(xué)

說(shuō)題教師在說(shuō)考法時(shí)著眼于試題命制這一高度，有助于把握考試的重點(diǎn)內(nèi)容與預(yù)測(cè)考試的方向，進(jìn)而幫助教師通過(guò)分析考法引領(lǐng)解題教學(xué).教師說(shuō)題著眼于試題命制，一是需要對(duì)數(shù)學(xué)題的考點(diǎn)進(jìn)行分析，明晰什么是考試的重點(diǎn)、難點(diǎn)等，二是需要結(jié)合課標(biāo)、高考評(píng)價(jià)體系等對(duì)數(shù)學(xué)題的考點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的解讀，幫助教師把握考試要求以及學(xué)生應(yīng)該掌握的相關(guān)知識(shí)的水平等，引領(lǐng)教師明晰教學(xué)內(nèi)容的范疇[4].

2.3說(shuō)題促進(jìn)師生交流

學(xué)生參與說(shuō)題是一種新穎的教學(xué)方式，可以增加課堂上的師生交流和生生交流的機(jī)會(huì)，給枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)課堂增添生機(jī)和活力.學(xué)生可以通過(guò)口述與板書相結(jié)合的形式將自己的見(jiàn)解傳遞給其他同學(xué)，其他同學(xué)也可以玲聽說(shuō)題同學(xué)的思路，達(dá)到生生之間抱團(tuán)成長(zhǎng)、形成合力、相互促進(jìn)、共同成長(zhǎng)的局面.讓學(xué)生說(shuō)題，可以培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力、自主學(xué)習(xí)能力、批判質(zhì)疑能力和合作交流能力[4].

參考文獻(xiàn)：

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