導數大單元教學設計的若干思考

學科核心表養的出臺倒逼教學設計的變革，使得教學設計從設計一個知識點或課時轉變為設計一個大單元[1].實際上，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）在“修訂的主要內容和變化\"部分明確指出：重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情景化，促進學科核心素養的落實[2.大單元教學設計有助于教師對數學知識體系的整體理解和把握，有助于教師對數學思想方法和數學文化的提煉，有助于發展學生的學科核心素養.現階段，很多教師依然延續以往的教學方式方法，只注重知識的講授，缺少核心素養的培養，更缺少對學科內容的整體建構重組，不能很好地體現以學生為中心的原則.更主要的是，《標準》沒有回答如何通過知識的教學來培養學生的核心素養問題3.筆者以“導數的概念及其意義”和“導數的運算\"的大單元教學設計為例引發思考，落實學科核心素養.

1關于教材編寫內容課時安排的思考

《標準》在“基本理念”部分指出：優化課程結構，為學生發展提供共同基礎和多樣化選擇；突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法[.教師在設計教學時，習慣按照教材編寫內容的順序進行教學，但這樣設計僅限于知識點的講授.教師可以從大單元的視角依據教材進行適度、適量的重組，思考如下：

首先，教材第二節末尾的“探究與發現\"欄目是用牛頓迭代法求方程近似解，其核心是以切線的零點近似代替曲線的零點，利用“以直代曲”的思想對曲線進行巧妙處理，是導數應用價值的生動體現.教學時可以將本大單元以切線為一條主線，從切線起始，再以切線結束.以拋物線的切線的斜率為單元起始課，以用牛頓迭代法求解方程的近似解為單元結束課.其次，牛頓迭代法是科學計算的基本算法之一，與中學階段方程、數列、導數等知識密切相關，且蘊含著豐富的數學文化及獨特的德育價值.可見，“探究與發現\"應作為一個課時進行講授，讓學生經歷自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.再次，導數的學習是中學階段函數學習的最后一個環節，使得高中階段函數的學習體系完整，為高等數學的學習打下基礎.講授導數的起始課時，要將導數的發展史融人課堂，讓學生體會微積分發展的艱辛歷程，發揚求索求真的精神.

基于此，筆者在進行大單元教學設計時，將內容分為八個課時，分別為：章引言 + 拋物線的切線的斜率（第1課時），跳水運動員的速度（第2課時），導數的概念（第3課時），導數的幾何意義（第4課時），基本初等函數的導數（第5課時），導數的四則運算法則（第6課時），簡單復合函數的導數（第7課時），探究與發現（第8課時）.

2關于課程思政融入數學課堂的思考

課程思政就是在專門的思政課程之外的課程（含綜合素養課和專業課）教學中融人思想政治教育[4].為了更好地落實立德樹人，教師需要踐行課程思政理念，在課程思政視域下進行高中數學教學.如何讓課程思政“如鹽人味\"般融人數學課堂教學中，是每位數學教師都應思考的問題.而對課程思政融人導數教學，筆者有如下思考.

培養科學精神：章引言中明確指出，微積分的創立與處理四類科學問題直接相關，且是具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑.在導數章節的起始課中，教師應簡明扼要地向學生講解微積分的發展史，強調微積分發展的艱辛歷程，體現前輩們探索真理的頑強精神，對學生進行品格教育，讓學生知道為什么要學習微積分.

在“探究與發現\"課時設計中，引入求方程解的發展歷程，讓學生了解歷史上中西方數學家對方程求解作出的貢獻，并體會現成結論背后的“火熱的思考”，以數學家的精神品質感染學生.

提升辯證唯物史觀：借助歷史上切線定義的引入，引導學生切身感受矛盾碰撞，對學生進行辯證法和方法論的教育.將哲學知識有機融入數學課堂教學中，體現了哲學對一切科學的指導作用，培養學生的馬克思辯證唯物史觀，為全方位立德樹人打下基礎.

辯證 ① ：公元前300年，歐幾里得在《幾何原本》中將圓的切線定義為“與圓相遇，但延長后不與圓相交的切線”（如圖1）

圖1

辯證 ② ：古希臘著名數學家阿波羅尼奧斯定義了圓錐曲線的切線為與曲線只有一個公共點，且位于曲線的一側（“不穿過”曲線）的直線.（如圖2）

圖2

厚植家國情懷：在設計跳水運動員的速度時，以我國跳水運動員奧運會跳水奪金為實例引入，可播出2012倫敦奧運女子雙人10米臺視頻片段.通過實例展示，引領學生感受數學來源于生活而用于生活，體會數學無處不在.同時，結合近幾年我國在科技、經濟、學術等領域取得的舉世矚目的成績，激發學生的愛國主義情懷，感受祖國的強大，培養學生的自尊、自強、自愛精神.

3關于教材中例（習）題科學整合的思考

大單元教學設計不僅要發展學生核心素養，還要優化課程結構，精選內容，需要教師在教學設計時不僅要突出主線，還應注重教學內容的前后銜接，做到流暢自然、承上啟下.

教材中“基本初等函數的導數\"以函數 y=c，y= x，y=x為對象，通過導數的定義，求這六個函數的導數，并提煉函數 y=x^α（α∈ R，α≠0） 的導數公式.為了突出數學主線，精選內容，這六個函數的前五個可以移至前面的課時進行講解.如在研究拋物線切線的斜率時，加入例題：“如何求拋物線 f（x）=x² 在點 （x₀，x₀²） 處的切線斜率呢？\"這樣不僅讓學生鞏固了所學新知識，也為后面基本初等函數的導數作鋪墊.

而講授“基本初等函數的導數”一節時，一方面可以總結 y=x^α（α∈R，α≠0） 和 y=c（c） 為常數）的導數，另一方面，可以借助教材第82頁習題5.2中“拓廣探索\"欄目的第12題，讓學生體會探究其他函數導數公式的過程.

題目請按步驟，完成下面任務.

（1）利用信息技術工具，分別畫出 h=1，0.5，0.1 0.05時，函數 的圖象.

（2）畫出函數 的圖象，并與上面的四個圖象比較，當 h 越來越小時，你觀察到了什么？

（3）猜測 的導數，它與基本初等函數的導數公示表中 sinx 的導數公式一樣嗎？

雖然只是利用導數概念和信息技術工具驗證了關于 _y=sinx 的導數，但是學生從中學到了探究問題的過程，依據這個過程，可以探究猜測 a^x（agt;0） ，且 a≠1） ， y=log_ax（agt;0） ，且 a≠1 的導數公式，對比它們與基本初等函數的導數公式表中的導數公式是否一樣.

另外，六大函數 備受關注，無論在平時的模擬考還是高考中，這些函數都是作為樣板函數出現.教材第78頁和第81頁習題中，已出現 兩個函數，在進行教學設計時，可以在例題和作業中

適當加入其他四個函數.

4關于導數的四則運算法則推導的思考

在“導數的四則運算法則”一節中，教材中通過具體實例讓學生直觀感知兩個函數的和、差的導數與它們的導數的和、差之間的關系，從特殊到一般，通過歸納猜想及論證，獲得和、差的求導法則.再通過類比猜想，直接獲得積、商的求導法則.

教材在編寫此節內容時，并沒有給出積、商求導公式的推導，是否需要教師針對學生的個性特點進行因材施教呢？筆者認為，需要教師對學情進行分析，結合教學實際和學情，適度、適量對積、商求導公式進行推導，避免“貪多嚼不爛\"或“吃不飽”的現象.

對于積、商求導公式推導的教學，指導學生解決代數問題時要關注運算結構，進行有目的的變形，引導學生經歷數學知識再發現的過程，讓學生在動手實踐參與中獲取知識，發展思維，訓練素養.教學片段如下：

教師：請同學們探究對于兩個可導函數 f（x） 與g（x），[f（x）g（x）]^′=？ （204號

學生活動：同學之間可以合作交流，開展推導過程探究.

教學說明：在學習了函數和、差求導法則的基礎上，引導學生通過實例檢驗，進一步借助導數定義推導積與商的求導法則.推導過程較復雜，教師對運算結構的變形可以給予適度引導.

教師：對于兩個可導函數 f（x） 與 g（x）（g（x）≠ 請你提供推導方案.

學生活動：學生小組合作，思考交流后回答方案.

預設學生提供以下方案（或部分方案）：

學生甲：利用導數定義的表達式推導.

學生乙：由 ，將商的形式轉化為積的形式，利用積的求導法則進行求導，體現轉化與化歸的思想.需要先求 的導數.

學生丙：令 g（x），則g（）F（x）=f（x），再利用積的求導法則求導.

教學說明：從導數定義的結構特點入手，挖掘公式的內涵，使法則得到延伸.高中階段，公式、定理、結論的推導或證明過程往往是解題時的思維過程，也是將來面臨陌生問題時的解決路徑，有利于提升學生的數學運算和邏輯推理素養.

5關于信息技術融入課堂教學的思考

《標準》在“教學建議”部分明確指出：教師應注重信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果[2].實際上，信息技術工具的運用在導數大單元教學中有著至關重要的作用.

如：介紹微積分發展史、我國跳水運動員奪金視頻、牛頓迭代法中方程解的發展歷程，利用互聯網視頻，將信息技術融入數學課程思政和課堂教學，實現課堂教學的高效化、情境化.

又如：講授“拋物線的切線的斜率”和“導數的幾何意義\"時，可以利用GeoGebra工具研究拋物線上割線的運動變化情況，讓學生能直觀地理解“逼近”思想“以直代曲\"思想，實現課堂教學的精準化.

還如：講授“基本初等函數的導數”時，可以利用GeoGebra工具對正弦、余弦、指數、對數等函數的導數公式進行探究驗證.

再如：講授“牛頓法一—用導數方法求方程的近似解\"時，可以利用GeoGebra工具，讓學生親自操作函數零點與函數曲線上點的切線零點之間的關系，體會導數的幾何意義一一切線斜率的應用等.

信息技術是現代教育教學中不可缺少的工具，它的使用可以是數學實驗、網絡資源，也可以是“互聯網 + ；等，不管是哪種形式的使用，都是由知識教學向核心素養教學轉化的路徑.

“窺一斑而知全豹，見一葉而知深秋”，通過本單元教學設計的思考，可以得出大單元教學設計要嚴格按照數學課程標準來實施，不僅要關注每節課的教學目標，更要關注主題和大單元教學目標，要以立德樹人為根本任務，深人挖掘數學中的思政要素，實現學科教學的育人價值.教師要研讀教材內容，厘清教學思路和前后邏輯關系，根據需要對教材內容作出相應的調整.正如《標準》在“教材編寫建議\"中指出：要為教師自主選擇，增補和調整教學內容預留必要空間[2].

參考文獻：

[1]崔允.學科核心素養呼喚大單元教學設計[J].上海教育科研，2019（4）：1.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S.北京：人民教育出版社，2020.

[3]喻平.發展學生數學核心素養的一個教學模式建構[J].數學通報，2023（9）：1-6，11.

[4]成桂英.推動“課程思政”教學改革的三個著力點[J].思想理論教育導刊，2018（9）：67-70.Z