2023年新高考Ⅱ卷和2020年全國I卷的解析幾何大題的解法對比

1背景分析

2023年數學新高考Ⅱ卷第21題的解析幾何大題是以雙曲線為載體，探究動點軌跡在定直線上的問題，2020年數學全國I卷高考理科第20題是一道探究以橢圓為載體的直線過定點問題，這兩道題看似載體不同，探究結果形式也不同，但是在運算的過程中都可能會遇到非對稱型，那么這兩道題有什么內部聯系嗎？我們先把這兩題呈現出來.

題1（2020年數學全國I卷高考理科第20題）已知 A，B 分別為橢圓 E 的左、右頂點， G 為 E 的上頂點， 為直線 x=6 上的動點， PA 與 E 的另一個交點為 _C，PB 與 E 的另一交點為 D ：

（1）求 E 的方程；

（2）證明：直線 CD 過定點.

題2（2023年數學新高考 I 卷第21題）已知雙曲線 c 的中心為坐標原點，左焦點為 ，離心率為 ：

（1）求 c 的方程；

（2）記 c 的左、右頂點分別為 A₁，A₂ ，過點 （-4，0） 的直線與 c 的左支交于 M，N 兩點， M 在第二象限，直線 MA₁ 與 NA₂ 交于點 P ，證明：點 P 在定直線上.

2解法探究

2020年的橢圓大題，如果是在考場上使用平時刷題的套路法，很容易在遇到“非對稱型”時束手無策，自本題出現之后，許多模擬題以處理非對稱型作為考查目標進行命題，廣大師生在復習過程中也積累了一定的處理經驗，2023年雙曲線大題也可以借鑒此經驗.從這方面講，橢圓大題是雙曲線大題的“前世”，雙曲線題是橢圓題的“今生”下面我們從解法層面進行對比，逐步揭示它們的內部聯系.為方便表達，后面將2020年橢圓大題的第二問解法總結簡記為“題1解法”，將2023年雙曲線大題的解法總結簡記為“題2解法”.

2.1橫看成嶺側成峰，只緣身在此山中（平方消點法）

題1解法一：（平方消去 y ，利用點在橢圓上）

由題知 CD 斜率必然存在，令直線 CD 的方程為y=kx+m ，代入橢圓方程 x²+9y²-9=0 ，可得（9k²+1）x²+18kmx+9m²-9=0， 設點 C（x₁，y₁） D（x2，y2），P（6，y0）.由A，C，P三點共線有 ，兩邊平方可得 （x1+3）2，再根據y2=1-1，代入化簡得 同理，根據 B，D，P 三點中 （204號共線可得 .聯立 兩式相除得 ，代入 ，化簡整理可以得到 或m=-6k

① 當 m=-6k 時，直線過點 （6，0） ，即直線 x=6 與 x 軸的交點，與題意不符；

② 當 時，直線過點 ，即直線 CD 過定點 ：

題2解法一：（平方消去 ，利用點在雙曲線上）設直線MN所在的方程為 y=k（x+4） ，代入雙曲線方程 4x²-y²-16=0 ，得 4x²-k²（x+4）²-16=0 ，進而化簡為 （4-k²）x²-8k²x-16（k²+1）=0. 設 M（x₁，y₁） ！ N（x_?2，y_?2） ，由根與系數的關系有

由題知 A₁（-2，0），A₂（2，0） ，則

所以可聯立直線 A₁M 和直線 A₂N 的 （204號

方程得 平方消去 y ，得 （20

（x-2）（x-2）2，點M，N都在雙曲線

上，代入得 y₁²=4（x₁²-4），y₂²=4（x₂²-4） ，化簡得

1

代入 x₁+x₂，x₁x₂ 可得 ，即x=-1或

x=-40 （舍去）.

當直線MN斜率不存在時，可求得點 故點 P 所在的直線方程為 x=-1 ：

綜上，點 P 在定直線 x=-1 上.

2.2此題雙曲彼橢圓，道是不同卻有同（利用“第三定義\"）

題1解法二：由橢圓的“第三定義”，易知 k_AC · ，而根據幾何關系有 k_BD=3k_AC ，代入可得到 ，所以 代入 x₁+x₂，x₁x₂ 化簡可得 m=-3k 或 m= ① 當 m=-3k 時，直線過點（3，0），此點為橢圓的右端點，與題意不符；② 當 時，直線過點 即直線 CD （20號過定點

題2解法二：設直線 MN 的方程為 x=ty-4 ，代入雙曲線的方程有 （4t²-1）y²-32ty+48=0. 設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，由根與系數的關系有 y₁+ ，則 -12 ，再由雙曲線的“第三定義”有 k_A1N?k_A2N=4 ，相除可得 kPA=-3.設交點P（o，y），代入上式 ，解得 x₀=-1 ，即點 P 所在的直線方程為 x=-1

2.3操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器（極點極線的背景）

題1解法三：對于直線 x=6 上的每一點，過P（6，y₀） 作橢圓的兩條割線 AC，BD .四邊形ACBD的對角線 AB，CD 交點在點 P 所對應的極線上，根據極線的定義，其方程為 +yoy=1，又因為其中一條弦固定為 CD ，即這些極線過定點必有縱坐標為0，代入即得

題2解法三：設 T（-4，0） ，過 T 作兩條弦 MN 和A₁A₂ ，則 MA₁ 和 NA₂ 的交點在 T 所對應的極線上，同時 MA₂ 和 NA₁ 的交點也在這條極線上，我們還可以讓直線 A₁A₂ 動起來，此時交點依然在這條極線上.根據極線的代數定義，可得點 P 所在的直線方程為 ，化簡得 x=-1

3教學思考

解法一為什么不是平時使用的加減消元法和代入消元法，而是平方相除呢？兩道題都能夠使用這種方法，一定是這個結構具有特殊性，讓我們看到了它們本質上的相通之處；通過解法二的對比，我們揭示了其同源性，正是因為有了這個“定義”的表述背景，才會有處理兩道題的手法基本相同的邏輯；更進一步探究，解法三揭示了兩道高考題都是以極點極線為背景進行命制的，只不過是把橢圓改成雙曲線.這兩道題的解法分析，也激發教師在高三一輪復習的時候要多引導學生進行深層次的探究與挖掘，夯實雙基，提升素養，以一題多解和多題一解的形式進行訓練，促成思維的升華和能力的提升.Z