主元法的巧妙應用

對于多變量（一般是指兩個及以上的變量）問題，由于研究的變量眾多，同時變量之間又沒有主次之分，解題無跡可循，使得問題解決起來困難重重.而若根據具體條件和解題需要，選擇其中一個變量作為主元，把問題轉化為單變量的函數、方程或不等式問題等，可以有效找到突破口，不僅能抓住問題的主要矛盾，而且能強化各數學知識板塊之間的聯系，實現問題的突破與解決.

1變換主元，另眼看題

按照數學思維定勢，直接選取題設條件中的自變量 x 或 y 為主元，往往問題不易研究；而若轉換角度，選取題中其他相關的變量為主元，合理變換視角，有時問題研究起來更加自然順暢.

例1設函數 f（x）=e^x+a（x-1）+b 在區間[0，1]上存在零點，則 a²+b² 的最小值為（ ）.

A.e C.7 D.3e

解析：依題，函數 f（x）=e^x+a（x-1）+b 在區間[0，1]上存在零點，所以 ?x∈[0，1] ，使得 e^x+ a（x-1）+b=0 ，即 b=-e^x-a（x-1）

通過變換主元法，同時結合二次函數的圖象與性質，可以得到 a²+b²=a²+[e^x+a（x-1）]²= （x²-2x+2）a²+2e^x（x-1）a+e^2x ，則 a²+b²?

令函數 -2x+2，x∈[0，1]，于是求導可得到g'（x）=

而 ，則有g^′（x）gt;0 ，所以函數 g（x） 在[0，1]上單調遞增，從而

所以 ，即 a²+b² 的最小值為

故選擇答案：B.

例2設 ω_a，ω_b∈R ，若函數 在區間[1， +∞ ）上恒有零點，則代數式 a²+b² 的取值范圍是

解析：依題，函數 在區間[1， +∞ ）上恒有零點，等價于方程 在區間[1， +∞） 上恒有解，由此可知方程 x²+bx+a=0 在區間[1， +∞） 上恒有解.

而對于方程 x²+bx+a=0 ，轉換視角可得 a+ bx+x²=0 ，合理變換主元，其是關于點 （a，b） 的一條直線方程，其中 x∈[1，+∞） ，則代數式 a²+b² 的幾何意義就是坐標原點（0，0）到直線 a+bx+x²=0 上的點 Ψ（aΨ，bΨ） 的距離的平方.

借助距離的含義知 ，其中 [1，+∞） .令 t=x²+1∈[2，+∞） ，則 d²=g（t）=t+ （2

由對勾函數的圖象與性質知，函數 2在區間 [2，+∞） 上單調遞增，則有 g（t）_min=g（2）= ，即

所以 a²+b² 的取值范圍是

故填答案：

點評：借助主元變換，轉化思維視角來分析，能夠體現學生對相關問題的基本概念的理解，以及用辯證的眼光看待問題和解決問題的思維能力，對于培養學生的邏輯推理與數學運算等核心素養有很好的幫助.

2指定主元，委以重任

按照問題場景，題中變量地位相當，解題時不知哪個變量是著力點，這時不妨指定其中一個變量為主元，委以重任，剩下變量為常量，這樣便抓住了主要矛盾，回到熟悉的數學場景中去，減少對難題的恐懼.

例3對于任意的正數 α_a，β_b ，不等式 （2ab+a²） ·k?4b²+4ab+4a² 恒成立，則實數 k 的取值范圍為

解析：由題設，可將原不等式轉化為關于參數 b 的二次不等式 4b²+（4-2k）ab+（4-k）a²≥0.

由于以上二次不等式恒成立，結合二次函數與方程的性質，則有判別式 Δ=（4-2k）²a²-16（4-k） ·a²?0 ，由題可知 a²gt;0 ，則 （4-2k）²-16（4-k）?0

化簡不等式可得 k²?12 ，解得 ，即實數 k 的取值范圍為

故填答案：

例4若存在非零實數 Ψ_t ，使得 成立，則 a²+4b² 的取值范圍是

分析：根據題設條件，合理指定主元，轉化為關于參數 a，b 的直線方程，借助平面解析幾何思維來數形結合，實現問題的突破與求解.

解析：依題，借助變換主元思維，可將 看作直線方程，則知點 P（a，2b） 為直線 上任意一點，于是a²+4b² 即為點 P（a，2b） 與坐標原點 O（0，0） 的距離的平方．

+3=5，當且僅當t2= ，即l=±1時等號成立，結合雙勾函數 在 [5，+∞ ）上單調遞增，所以

所以 5，即a2+4b2的取值范圍是 .故填答案：

點評：主元的指定，其目的就是合理發揮消元的作用，將原來同等地位的變量進行主次分開，給問題的解決提供一個思維方向.這對問題的突破與切入很有好處，對于改變我們的思維定勢以及科學的辯證唯物主義思想的培養也是非常有幫助的.

3優選主元，主次分明

按照問題應用場景，從兩個及以上的變量中，根據知識、思想與方法等優選其中一個為主元，方便進一步的深入應用，主次分明，可以給問題的解決與應用開拓一個全新的場景與局面.

例5已知實數 agt;0，bgt;0，ab²（a+8b）=4 ，則a+4b 的最小值為

解析：由 agt;0，bgt;0，ab²（a+8b）=4 ，可得 b²a²+ 8b³a-4=0

優選 a 為主元，解以上關于 a 的二次方程，可得 或a= （舍去）.

于是，有 ，可得

利用基本不等式，可得 ，當且僅當 4b²= 時，等號成立.

所以 a+4b 的最小值為4.

故填答案：4.

點評：借助主元優選，從兩個及以上的變量中優選出一個，能夠更好地深入解題與應用.優選主元時，往往兩個及以上的變量之間的地位不是相當的，之間有明顯的差異，不同的選取方式，給問題的求解會造成不一樣的復雜程度，這也是優選主元的一個關鍵環節.

常量與變量是相對的，二者在一定條件下可以互相轉換.特別是涉及多變量綜合問題時，要敢于打破常規，從多個變量中選擇合適的主元著重使力，便可以從模糊紛亂的思緒中找到堅定的方向，撥開云霧見青天.

主元法視野廣闊，不僅能夠很好地考查學生的創新意識和邏輯思維能力，也能培養學生在復雜開放的情境下解決問題的勇氣與能力，值得我們好好研究與認真品味.當然，任何方法都不是萬能的，使用主元法時需要考慮主元的取值范圍是否已知，以及各元之間是否存在牽制關系.

參考文獻：

[1]盧陽.例談主元法在多變量函數問題中的運用[J].中學數學研究，2023（12）：51-52.

[2]韓毅，趙生初，汪和平，等.多元變量問題的變換主元策略[J].中學生數學，2023（17）：12-13.Z