2024年新高考Ⅰ卷數列試題分析

2024年數學高考全國卷進行了大的結構改變，由以前的22題變為19題，增加了解答題的總分值，優化了多選題的賦分方式.題量的減少，為考生的思考增加了時間和空間，考生不必過多地關注解題的進度和速度，可以更專注、更深人地思考；加強思維考查，符合《普通高中數學課程標準（2017年版）》（簡稱《課程標準》中“延長考試時間或減少題量\"的建議.作為新高考新試卷（數學卷共19題）的第一年，數列內容結合新情景，安排在最后壓軸題的位置.數列作為一類特殊的函數，是數學重要的研究對象，是研究其他類型函數的基本工具.從新人教A版教材的編排來看，數列和導數兩個模塊放在了選擇性必修第二冊，這更加凸顯了數列和函數的關聯性，研究數列問題要站在函數的高度去思考.

從數字發展的歷史淵源和基本算理邏輯來看，都指向了同一個規律： 1+1=2，2+1=3，3+1=4，4+ 1=5，……，（n-1）+1=n 所以下標的規律已經很明確的告訴我們，數列的實質就是研究相鄰項之間的關系，即“遞推”，繼而找到“全規律”順利解決問題.2024年新高考 I 卷第19題正是這一核心思想的經典體現.

年新高考I卷數列考查統計

2022—2024年新高考I卷數列考查統計如表1：

表1

22024年新高考I卷數列題分析

（2024年新高考 I 卷第19題）設 Σ_m 為正整數，數列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項 a_i 和 a_j（im 組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j） 一可分數列[1-3].（1）寫出所有的 （i，j），1?i1

是 （i，j） 一可分數列；（2）當 m?3 時，證明：數列 a₁，a₂，…，a_4m+2

（2，13）-可分數列；（3）從 1，2，…，4m+2 中一次任取兩個數 i 和 j ），記數列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j） 一可分數列的概率為Pm，證明：Pmgt;1

點評：本題以等差數列為知識背景，難度大，綜合性強，創新設問方式，設置數學新定義，經典又新穎，拓展考生思維，引導考生思考，在思維過程中感悟數學素養，自主選擇方法和策略，理解問題、分析問題、解決問題.試題突出數學學科特點，強化基礎考查，突出關鍵能力，加強教考銜接.

高考數學學科評價體系包括“一核”“四層”“四翼\"三部分.核心功能：立德樹人、服務選才、引導教學，考查目標：必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值考查要求：基礎性、綜合性、應用性、創新性.高考評價體系中規定了高考的考查載體一一情境，以此來承載考查內容，實現考查目標與要求.高考數學試題情境主要分為三類：“課程學習情境、探索創新情境、社會實踐情境.\"[4]

32024年新高考1卷第19題的推廣

設 Σ_m 為正整數，數列 a₁，a₂，a₃…，a_5m+2 是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項 a_i 和 a_j（i 剩余的 5m 項可被平均分為 m 組，且每組的5個數都能構成等差數列，則稱數列 a₁，a₂，a₃…，a_5m+2 是（i，j） —可拆數列[2-3].（1）寫出所有的 （i，j），1?i1 a₂…，a₃……，a₇ 是 （i，j） —可拆數列；（2）當 m?3 ，證明：數列 a₁，a₂，a₃，…，a_5m+2 是（2，16）—可拆數列；（3）從 1，2，…，5m+2 中一次任取兩個數 i 和 j

0 ，記 a₁，a₂，a₃，…，a_5m+2 是 （i，j） 一可拆數列的概率為 P_m ，證明 業

解：不妨設原數列為 A：1，2，…，5m+2 （1）顯然答案為

（2）數列 A 刪去2和16后，前15項按mod3同余分組，后 5（m-3） 項順序，5項一組，便證得 A 是（2，16）—可拆數列.

（3）若 0?n?k?m，A 刪去 5n+1 和 5k+2 后，前 5n 項、中 5（k-n） 項、后 5（m-k） 項順序5項一組，便得知 A 是 （5n+1，5k+2） —可拆數列.若 0?n? k?m 且 n-k?2，A 刪去 5k+2 和 5n+1 后，前 5k 項、后 5（m-n） 項順序5項一組，而中間 5（n-k） 項按mod（n-k） 同余分組，便得知 A 是 （5k+2，5n+1）- 一可拆數列.因 A 中 5n+1 和 5k+2 型的項各有 m+1 個，滿足 0?n?k?m 且 n-k=1 的整數對 （n，k） 有m 個，所以可知題設概率

4高三數列的教學建議

數列是高中數學的重要內容，具有內涵豐富、方法靈活、應用廣泛的特點.高考試題既是服務選材的尺，又是引導教學的旗幟.2024年新高考I卷的第19題，考查數列的新情景，以等差數列性質為載體通過新定義考查學生對子數列的學習理解能力.新高考Ⅱ卷的第12題、第19題，全國甲卷理、甲卷文，北京卷，天津卷，上海卷等各份試卷都出現了數列的新題型，或與概率交匯，或與函數結合等，著重強調數列的遞推關系，探求數列的通項公式及項的性質、數列與不等式、數列與概率綜合的多方面考查，在高考命題中的分量逐步提升.

（1）研究試題，把握方向

新一輪高考改革提出“一核”“四層\"“四翼”，積極促使命題向素養導向發展.因此，在復習備考中，教師在一輪復習中要深入研究《課程標準》、回歸教材、著眼高考試題，探尋高考命題內在規律[4.《課程標準》強調數列的函數屬性在高考中的考查，都需要一線教師認真研究，做好備考.教師要深人研究試題，捕捉命題內容、難度、題型等線索，并且透過現象看本質，總結規律并推廣，以此合理高效地分配備考時間和精力，有的放矢進行復習.引導學生深度學習，體會數學本質，歸納一些解決問題的方法：由簡到繁，優先選擇條件單一或者運算方便的；由熟到生，優先選擇熟悉的式子或者條件.

（2）夯實基礎，透析本質

新高考數列試題依舊堅持回歸數學本質，重視基礎知識、基本技能的考查，注重通性通法的研究，淡化一些特殊的技巧.因此，在復習備考中，一方面要引導學生用好教材，重視知識的生成與發展，多想多悟，深化對數學本質的理解；另一方面要幫助學生夯實基礎，做好“一題多解”“多題一解”的訓練與反思，既要就題論題，做到知識再現，突出重點，也要做到跳出題自看問題，提高思維的靈活性，減少思維定勢.調動學生的積極性，關注解題途徑的選擇與優化.教師進入研究狀態，不斷拿出研究成果，學生進人探究狀態，不斷攻克教師的層層加碼問題.教師務必要將試題理清、講透、做活，學生在高三復習中要將試題根源弄清、吃透、做活.從通性通法中汲取解題思路，優選方法，多思少算.綜合題化繁為簡，逐級破解.

（3）著眼應用，關注創新

數學源于生活，又作用于生活，有著豐富的應用價值.從近年高考試題可以看出，數列命題堅持從學生認知水平出發，本著“重思維、強應用、多創新”的理念，以學科內和學科間的應用為依托，設計開放性問題、創新型應用問題、探索拓展型問題，深化對學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、類比歸納等核心素養的考查.因此，在復習備考中，教師要著眼應用，勇于創新.一方面做好系統化教學，另一方面開展主題式研究，重視思維力和意志力的訓練，引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界，使得學生在考場上遇到新情景、新問題能夠不慌不亂，善思考、敢嘗試、能動手、會突破，切實提升學生處理問題的能力.

對近幾年全國I卷數列試題的研究發現，對于數列的考查，依托高考評價體系，需要創新試題結構設計，注重思維能力和數學素養的考查，打破以往的固定套路，聚焦主干知識和重要原理，回歸教材，確保學生能夠扎實掌握核心概念.對于高三的教學，需要更加突出思維能力的考查，助力拔尖創新人才培養和選撥，加強基本數學能力的培養，堅持以標扣本，教考合一的設計理念.

參考文獻：

[1林榮.創新試題設計助力選撥人才—2024年高考數學新課標卷試卷分析[J].教學考試，2024（29）：4-8.

[2]江戰明.基礎與創新融合能力與素養并進—2024年全國高考數學新課標I卷評析與教學思考[J].中學教研（數學），2024（8）：30-34.

[3]沈新權.創新試卷結構，突出主干知識，強化關鍵能力—2024年高考數學全國新課標I卷評析[J].高中數理化，2024（13）：8-13.

[4]教育部考試中心.中國高考評價體系[M.北京：人民教育出版社，2020.Z