借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算速解最值習(xí)題

平面向量是一種既有大小又有方向的量，在數(shù)學(xué)、物理、計算機(jī)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)中，平面向量是一種解決問題的重要工具，通過坐標(biāo)運(yùn)算可以將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，為解決最值習(xí)題提供了一種可行且高效的思路.學(xué)習(xí)中應(yīng)注重深入理解，扎實(shí)掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，在習(xí)題訓(xùn)練中不斷提升運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算解答最值習(xí)題的能力，提升數(shù)學(xué)成績.

1代數(shù)式最值

求代數(shù)式的最值時，應(yīng)明確代數(shù)式有幾部分構(gòu)成，結(jié)合習(xí)題情境進(jìn)行等量代換、等價轉(zhuǎn)化.其中當(dāng)題干中涉及平面向量時，可以考慮使用坐標(biāo)表示各點(diǎn)及平面向量，通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算理順要求代數(shù)式與向量之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過構(gòu)建恒等關(guān)系將求代數(shù)式的最值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，借助函數(shù)性質(zhì)便可順利解決問題.

例1在 ΔABC 中， AB=1，AC=2，∠BAC= 60^°，P 是 ΔABC 的外接圓上一點(diǎn)，若 ，則 m+n 的最大值是（ ）.

A.1

分析：運(yùn)用已知條件及余弦定理求出 BC² ，確定線段 AB 和 BC 的關(guān)系.建立平面直角坐標(biāo)系后，借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及“ ”，分別表示出 m，n ，通過整理、轉(zhuǎn)化求出結(jié)果.

解：在 ΔABC 中， AB=1，AC=2，∠BAC=60^° 由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB?AC. .cos∠BAC=1+4-2×1×2×cos60^°=3 ，即 易得 AB²+BC²=AC² ，則 AB⊥BC ：

以 AC 的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立

如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.易得點(diǎn) A（1，0），C（-1，0） ，

，則

.設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

（cos θ，sinθ） ，則

圖1

由 ，可得（co 所以 解得 則 m+n= （2 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，即 m+n 的最大值是 故選擇：B.

點(diǎn)評：該題主要考查余弦定理、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)的性質(zhì)等，難度一般.解題的關(guān)鍵在于三點(diǎn).其一，借助余弦定理確定 _AB 和 BC 的垂直關(guān)系；其二，用三角函數(shù)表示點(diǎn) P 的坐標(biāo)；其三，借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，分別表示出 m，n ，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題.

2向量的數(shù)量積最值

向量的數(shù)量積是平面向量非常重要的概念[2].向量的數(shù)量積運(yùn)算法則用坐標(biāo)表示為：若 a=（x₁，y₁） ，b=（x₂，y₂） ，則 .由此可見，求向量的數(shù)量積最值只需根據(jù)題意設(shè)出或求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，正確表示出對應(yīng)的向量及向量的數(shù)量積.根據(jù)結(jié)果采用對應(yīng)的方法，如得出的結(jié)果為函數(shù)，則結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及相關(guān)參數(shù)的取值范圍計算出結(jié)果.

例2如圖2所示， ΔABC 中， ，AB=2，點(diǎn)M滿足 為 BM 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 在線段 BC 上移動（包括端點(diǎn)），則 的最小值是

圖2

分析：結(jié)合題意構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題干給出的已知條件設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的關(guān)系及向量的數(shù)量積，使用坐標(biāo)分別表示出 ，求出 ，并根據(jù)參數(shù)范圍求得最小值.

解：根據(jù)題意，以 B 為原y點(diǎn)， BC 所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3所示.設(shè)點(diǎn) C（t，0），tgt;0. 由

AB=2 ，易得點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 ，則

圖3

設(shè)點(diǎn) M（x，y） ，則

1AC，可得x-1 ，則 x=

，則 （204號 由點(diǎn) ，得 所以

解得 ι=4 （舍去）或 t=3 ，則點(diǎn) 又 o 為 BM 的中點(diǎn)，則點(diǎn) 設(shè)點(diǎn) N（n，0），0?n?3 ，則

，所以

，則當(dāng) n=0 時 取得最小值

點(diǎn)評：該題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積知識.整體來看，該題的解題思路還是比較清晰的，建立平面直角坐標(biāo)系后，先表示或求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并正確表示出對應(yīng)向量的坐標(biāo).難點(diǎn)在于兩點(diǎn).其一，根據(jù)題意需要設(shè)出多個點(diǎn)的坐標(biāo)，并且需要根據(jù)點(diǎn)在線段上確定點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍；其二，運(yùn)算量較大，計算時需要認(rèn)真、謹(jǐn)慎.

3向量的模最值

向量的模指的是向量的長度，對于一個平面向量a=（x，y） ，其模的計算公式為 .借助向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，便可以將向量轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的線段，從而建立向量與平面幾何圖形之間的關(guān)系，借助平面幾何圖形的性質(zhì)，求解各種問題.在求解向量的模最值問題時，應(yīng)將重點(diǎn)放在求向量的坐標(biāo)上.

例3已知在 ΔABC 中， ，當(dāng) λ∈ 時， 的最小值為4，若 （20 ，其中 ，則 的最大值為（ ）.

A.2 B.4

分析：根據(jù)已知條件確定確定 ΔABC 的形狀，而后建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合題干中所給的向量關(guān)系，求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過換元法求得 ，表示出向量的模，根據(jù)向量模的表達(dá)式求出最大值.

解：根據(jù)題意可畫出圖4.由圖可知， 的最小值為 D 為 BC 的中點(diǎn)， AD⊥ BC ，則 ：

圖4

易得 BD=4 BC=8 ，即 ΔABC 是以 A 為頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

建立以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如圖5所示，

由 ，可知 M 是 AB 的中點(diǎn).由 （2 及 sin²θ+cos²θ=1 ，可以確定點(diǎn) P 在 BC 上.

圖5

由此可得點(diǎn) ，則 ，進(jìn)一步可得

所以

令 cos²θ=t ，由 可得 則知 ，所以 由二次函數(shù) y=64t²-32t+8 在 上單調(diào)遞增，得 故選擇：C.

點(diǎn)評：該題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的模的計算、換元法、二次函數(shù)的性質(zhì).解該題時應(yīng)注意兩個細(xì)節(jié)：其一，注意挖掘 sin²θ+cos²θ=1 這一隱含條件，確定點(diǎn) P 在 BC 上；其二，對 的坐標(biāo)進(jìn)行換元、整理，注意把握換元前后參數(shù)取值范圍的一致性.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳燕琴.解答平面向量最值問題的三個“妙招”[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2025（1）：39.

[2]陳立云.解答平面向量最值問題的常用策略[J].高中數(shù)理化，2022（17）：62-63.Z