立足數學運算，培養核心素養

數學運算是現實生活中的一種基本素養，更是數學學科區別于其他基礎學科的一個突出素養，是數學學科中的六大“數學學科核心素養\"之一，是貫穿整個數學學習過程，以及終生學習的一條主要鏈條[1].

作為解決問題的基本手段之一和學生必備的一項基本技能，數學運算包括的主要內容有：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.從數學問題的運算實質、運算方法與運算技巧等方面進一步強化、發展學生的數學運算能力與素養，形成優良的數學思維品質與科學精神.

1理解運算對象

例1已知平面向量 ^a，b，c ，若 |δa|=|δa-b|=2 |a-c|=1 ，那么 b?c 的取值范圍是

解析：設 x=a-b，y=a-c ，則 |x|=2，|y|=1 ：由 b=a-x，c=a-y ，得 b?c=（a-x） ·

易得 0?|x+y-a|?|x|+|y|+|a|=5 ，所以

0?（x+y-a）²?25 于是 （204所以 故填答案：

點評：在解決此類平面向量的綜合應用問題時，要注意題設條件與所求結論的內涵與實質，厘清數學運算的對象，這里主要涉及平面向量的數量積、模等對應的運算，針對運算對象加以理解與掌握，從而合理代換與巧妙變形，給問題的分析與求解創造條件.

2掌握運算法則

例2[2025屆上海市奉賢區高三學科質量調研（奉賢一模）（12月）數學試卷·16]已知數列 {a_n} 不是常數列，前 n 項和為 S_n a_ngt;0. 若對任意正整數 n ，存在正整數 Ψ_m ，使得 ∣S_n-a_m∣lt;α₁ ，則稱 {a_n} 是“可控數列”.現給出兩個命題：

① 若各項均為正整數的等差數列 {a_n} 滿足公差d=3 ，則 {a_n} 是“可控數列”；② 若等比數列 {a_n} 是“可控數列”，則其公比 q∈

則下列判斷正確的是（ ）.

A. ① 與 ② 均為真命題 B. ① 與 ② 均為假命題 C.① 為假命題， ② 為真命題 D. ① 為真命題， ② 為假命題

解析：（1）對于命題 ① ，可取特殊數列 {a_n}：a_n=

3n-2. 此時 ，則 ∣S₂-a_m∣=

∣7-3m∣≠0 對任意正整數 Ψ_m 恒成立（否則

與這正整數 Σ_m 的條件矛盾）.所以 n=2 時， ∣S₂-a_m∣=

| 7-3m|?1=a₁ ，結合定義可知數列 {a_n} 不是“可控

數列”，故 ① 為假命題.（2）對于命題 ② ，若等比數列 {a_n} 是“可控數列”，

依題可知 a_ngt;0 且 q≠1. 所以 ，從而

∣S_n-a_m∣1 ，即 ，亦即

，解得 1，m∈N^*

當 qgt;1 時，由 N^* ，整理可得 qⁿlt;1+（q-1）（q^m-1+1）.（?）

令 qⁿ?1+（q-1）（q^m-1+1） ，則可知當 n? log_q[1+（q-1）（q^m-1+1）]- 時， （*） 式不成立.

當 0 顯然成立，而對于 1-q 為嚴格增函數，且當 n+∞ 時， ，故問題等價于存在 m∈N^* ，使得 q^m-1+1. 記函數 g（m）=q^m-1+1 ，隨著 Σ_m 的增大，g（m） 減小，故 g（m）_max=g（1）=2 ，故只需 解得 ，故 ② 為真命題.

點評：在解決此類數列新定義問題時，關鍵在于掌握新定義的運算法則，借助與數列的通項公式、求和公式，結合函數的基本性質來構建對應的方程或不等式，是進一步探究此類問題的一個關鍵環節.

3探究運算思路

例3[2025屆安徽省阜陽市高三（上）期末數學試卷 ??8] 已知 agt;1 ，對任意的 b ，當 bgt;a 時，恒有b^alt;α^b ，則 a 的最小值為（ ）.

A.e^3-eB.e^e-1 C.e

解析：由 bgt;agt;1 ，不等式 恒成立，恒等變 （204號形可得

同構函數 ， xgt;1 ，則 f^′（x）= 1-ln.令f'（x）=0，解得χ=e.

當 x∈（1，e） 時， f^′（x）gt;0，f（x） 單調遞增；

當 x∈（e，+∞） 時， f^′（x）lt;0，f（x） 單調遞減.

所以

因為當 bgt;agt;1 時，不等式 恒成立，所以 a?e ，即 a 的最小值為e.

點評：依托雙變量之間的大小關系，以及所滿足的不等式恒成立，關鍵在于合理變形與轉化，尋找并

探究數學的運算思路，借助同構函數思維，給問題的解決思路開拓局面.

4選擇運算方法

例4[2025屆Z20名校聯盟（浙江省名校新高考研究聯盟）高三第二次聯考數學試卷·8定義在（0，+∞） 上的增函數 f（x） 滿足： f（x）+f（y）= f（xy）-1 ，且 f（2）=0，f（a_n）=n-1. 已知數列 {a_n} 的前 n 項和為 S_n ，則使得 S_nlt;2025 成立的 n 的最大值是（ ）.

A.8 B.9 C.10 D.11

解析：依題，根據 f（x）+f（y）=f（xy）-1 ，可得[f（x）+1]+[f（y）+1]=f（xy）+1

根據抽象函數的基本性質，特殊函數 f（x）+1= log_ax（agt;0） 且 a≠1 ）滿足已知條件，即 f（x）= log_ax-1 ：

又由 f（2）=0 ，可得 f（2）=log_a2-1=0 ，解得 a= 2，則 f（x）=log₂x-1

由 f（a_n）=log₂a_n-1=n-1 ，解得 a_n=2ⁿ

所以 S "n "=" 2 （ 1 - 2 n "）／1 - 2"= 2 （ 2 "n "- 1 ） lt; 2 "0 2 5 "，即 2ⁿ⁺¹lt; 2 027.而 2⁹⁺¹=1 024，2¹⁰⁺¹=2 048 ，所以使得 S_nlt; 2025成立的 n 的最大值是9.

點評：以上問題的解題常規思維是通過賦值法加以數學運算.而根據抽象函數所滿足的遞推關系式，合理變形與轉化，聯想基本初等函數的類型與對應的基本性質，建立二者之間的關系，巧妙構造特殊函數模型來轉化，合理進行數學運算與應用，成為解決此類抽象函數綜合應用問題時常用的一種基本技巧、方法.這里依托對數函數模型的運算規則，合理構建與之相吻合的對數函數模型，要注意對數函數模型的定義域.

以上數學運算涉及運算對象的理解、運算法則的掌握、運算思路的探究、運算方法的選擇等層面，其最終目的是求得正確結果.同時要注意，提升數學運算能力，不僅要挖掘其內涵與實質，還要與邏輯思維能力有機結合，二者相輔相成，緊密關聯，通過比較、感悟、抽象不同的運算方式，加深對運算概念的理解與運算規律的掌握，從而優化了數學思維品質，增強數學應用能力.在此過程中，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，全面提升數學核心素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.Z