解密高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型的解題思路

高中數(shù)學(xué)中，給出新定義或者情境較為新穎的一類習(xí)題統(tǒng)稱為創(chuàng)新題型[1].該類題型對學(xué)生的閱讀能力、理解能力要求較高.很多學(xué)生因不得法而心存畏懼，做題的過程中往往“繞著走”針對這一現(xiàn)象，教師應(yīng)做好創(chuàng)新題型的展示與講解，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)、掌握技巧，增強(qiáng)解題的自信心.

1解三角形情境

解三角形是高中數(shù)學(xué)中相對獨(dú)立的知識點(diǎn)，主要借助正弦定理、余弦定理解決與三角形相關(guān)的問題[2].部分習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境較為新穎，解題的過程中，一方面，應(yīng)在審題的過程中結(jié)合題干給出的幾何圖形，識別要考查的知識點(diǎn)；另一方面，積極聯(lián)系相關(guān)解題經(jīng)驗(yàn)，從不同視角進(jìn)行分析、推理，靈活應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)探尋對應(yīng)線段、角度之間的關(guān)系.同時，借助正弦定理、余弦定理構(gòu)建方程計(jì)算求解.

例1“不以規(guī)矩，不能成方圓”，“規(guī)”指的是圓規(guī)，“矩”指的是由相互垂直的長、短兩條直尺構(gòu)成的方尺.今有一塊圓形木板，數(shù)據(jù)如圖1所示，以“矩\"量之，然后將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角 α 滿足cos α= ，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）

圖1

A.20cm B.203cm （20號 （204號 D.30cm

分析：根據(jù)題意及圓的性質(zhì)求得圓形木板的直徑.在此基礎(chǔ)上，畫出對應(yīng)的示意圖，將要求的四邊形分割成兩個三角形，運(yùn)用正弦定理、余弦定理及均值不等式知識求解.

解析：由題意易知，圓形木板的直徑為

設(shè)截得的四邊形木板為 ABCD 設(shè) ∠A=α，AB=c BD=a AD=b BC=n CD=m ，如圖2所示.

圖2

由cos 且 0lt;αlt;π ，可得sin 在△ABD中，由正弦定理可得 ，解得

在△ABD中，由余弦定理可得 a²=b²+c²- 2bc cos α ，則 ，即 （b+c）²?400 .則 0

在△BCD中， ∠BCD=π-α .由余弦定理可得 ，即 （m+n）²?100 ，則 0

點(diǎn)評：解答該題時，要能夠根據(jù)需要合理設(shè)出對應(yīng)參數(shù)，借助正弦定理、余弦定理分析線段之間的關(guān)系，通過構(gòu)造不等式，求出四邊形周長的最大值.

2函數(shù)情境

函數(shù)占據(jù)高中數(shù)學(xué)的半壁江山，是各類考試中的必考內(nèi)容.一些函數(shù)習(xí)題情境新穎，往往給出新定義、新概念，要求學(xué)生基于對新定義、新概念的理解解決問題.該類問題難度較大，解題的關(guān)鍵在于建立新情境與所學(xué)知識的聯(lián)系.這就需要在解題時對要求解的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉.

例2若 A，B 兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) P（1，1） 成中心對稱，則稱 （A，B） 為一對“然諾點(diǎn)”，同時把 （A，B） 和 （B，A） 視為同一對“然諾點(diǎn)”已知 ， f （x "） =" 的圖象上有兩對“然諾點(diǎn)”，則 a 的值是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：解題時首先需要深入理解“然諾點(diǎn)”.在此基礎(chǔ)上，基于對所給分段函數(shù)的認(rèn)識，先求出 _xgt;1 時f（x）=ax-2 關(guān)于（1，1）成中心對稱的函數(shù) y=ax- 2a+4（xlt;1） ，將問題轉(zhuǎn)化函數(shù) y=ax-2a+4 與函數(shù) y=（x-2）e^-x 的圖象在 x∈（-∞，1） 上有兩個交點(diǎn)的問題.

解析：當(dāng) _xgt;1 時，易得 f（x）=ax-2 關(guān)于點(diǎn)P（1，1） 對稱的函數(shù)為 y=ax-2a+4（xlt;1） ：

根據(jù)題意可知，函數(shù) y=ax-2a+4 與函數(shù) y= （x-2）e^-x 的圖象在 x∈（-∞，1） 上有兩個交點(diǎn).將以上兩個函數(shù)式聯(lián)立起來，消去 可以得到 ax-2a+ 4=（x-2）e^-x

整理，得 ，即

令函數(shù) ，則函數(shù)g（x） 的圖象與直線 y=a 存在兩個不同的交點(diǎn).

求導(dǎo)得 h（x）= （x-2）2，則 h′（x）=e 0 （xlt;1） ，則函數(shù) h（x） 在區(qū)間 （-∞，1） 上單調(diào)遞增，即 g^′（x） 在區(qū)間 （-∞，1） 上單調(diào)遞增.又 g^′（0）= -1+1=0 ，則當(dāng) xlt;0 時， g^′（x）lt;0. 當(dāng) 0′（x）gt;0 ，則函數(shù) g（x） 在區(qū)間（-∞，0） 上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，故g（）≥g（0）=3. 當(dāng) 時， g（x） +∞，g（1）=e^-1+4 ，函數(shù) g（x） 的大致圖象如圖3所示.

根據(jù)圖3可得知，當(dāng) 3 4+e^-1 時函數(shù) g（x） 的圖象與直線y=a 存在兩個不同的交點(diǎn)，由 a∈Z ，得 a=4

故答案選：C.

點(diǎn)評：該題具有一定難度，正確理解“然諾點(diǎn)”是基礎(chǔ)，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵.同時，應(yīng)用好導(dǎo)數(shù)這一工具，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象確定 a 的最終取值.

3數(shù)列情境

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識，最容易出現(xiàn)一些較為新穎的題型.因數(shù)列較為抽象，對推理能力要求較高，本身具有一定難度，而一些習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境較為新穎，難度進(jìn)一步提升.在解答該類問題時，首先要深入理解題意，靈活運(yùn)用數(shù)列知識對題干進(jìn)行轉(zhuǎn)化、整理，尤其是在需要比較大小時，應(yīng)注重進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.

例3高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù) f（x）=[x] ，其中 [x] 表示不超過x 的最大整數(shù)，如 [2.3]=2，[-1.9]=-2. 已知數(shù)列{a_n} 滿足 a₁=1，a₂=5，a_n+2+4a_n=5a_n+1 ，若 b_n= [log₂a_n+1]，S_n 為數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和，則[S₂₀₂₅]=. ，

A.2025 B.2026 C.2023 D.2 024

分析：在理解高斯函數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)列的定義對 a_n+2+4a_n=5a_n+1 進(jìn)行變形、整理，求出數(shù)列 {b_n} 的通項(xiàng)公式.根據(jù)前 Ψ_n 項(xiàng)和的定義，采用裂項(xiàng)相消法求出結(jié)果，最終基于對高斯函數(shù)的理解，確定 [S₂₀₂₅] 的值.

解析：根據(jù) a_n+2+4a_n=5a_n+1 ，可得 a_n+2-a_n+1= 4（a_n+1-a_n） ，則數(shù)列 {a_n+1-a_n} 是首項(xiàng)為 a₂-a₁=4 ，公比為4的等比數(shù)列，則 a_n+1-a_n=4ⁿ ：

所以 a_n+1=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+ （a₂-a₁）+a₁ ，可得 a_n+1=4ⁿ+4^n-1+…+4+1= （20

由題意，得

由 log₂（4ⁿ⁺¹-1）-log₂324ⁿ⁺¹-1=2n+1 ，得 b_n=2n ：

S_n=c₁+c₂+…+c_n-1+

易得 2 0232 025lt;2 024 ，則 [S₂₀₂₅]=2 023 故答案選：C.

點(diǎn)評：順利解答該題需要突破三個關(guān)鍵點(diǎn).其一，正確、深入理解高斯函數(shù)；其二，會求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能根據(jù)需要進(jìn)行正確的放縮；其三，能熟練運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和.

總之，高中數(shù)學(xué)中無論習(xí)題的情境多么新穎，都應(yīng)心平氣和地對待，樹立解題的自信心.通過認(rèn)真審題，吃透題意，明確要求解的問題，積極對接所學(xué)的知識點(diǎn)，聯(lián)系積累的解題經(jīng)驗(yàn)，必要情況下對要求的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，達(dá)到化難為易、順利解題的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]周琳鳳.高中數(shù)學(xué)新題型的探究[J].理科愛好者，2022（6）：99-101.

[2]孫彩云.基于核心素養(yǎng)提升的高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題探索[J].數(shù)學(xué)之友，2022，36（11）：75-76.Z