波利亞解題思想在新定義問題中的啟發

新高考數學試題貫徹考試內容改革要求，銳意改革探索.新定義問題通過創新試題設計，以全新的試題情境、問題呈現方式和設問方式來增強試題的選拔功能，引導學生培養探索性、創新性思維品質.2024年新高考I卷第19題通過呈現有關數列的新定義，以問題搭建橋梁，引導學生深人探索，有效考查了學生的“四基\"“四能”，是核心素養的真實落地[1].

在當下多元化的教學與考試情境中，為了加強學生數學思想與創新思維的鍛煉，眾多學者基于不同類型的題目，提出了各具針對性的解題理論，其中較為突出的就是波利亞解題思想.波利亞圍繞“怎樣解題”這一中心來開展數學研究，他把數學解題過程歸結為4個階段： ① 理解題目， ② 擬定計劃， ③ 實現計劃， ④ 回顧.由此，本文對于新定義問題，基于波利亞解題思想的理論應用，分析數學新高考Ⅰ卷第19題學生的思維生成過程，探索該題目對學生相關數學能力的考查要求.

1試題呈現

設 Σ_m 為正整數，數列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是公差不 為0的等差數列，若從中刪去兩項 a_i 和 a_j（i1，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j）- 可分數列.

（1）寫出所有的 （i，j），1?i?j?6 ，使數列 a₁ 是 （i，j） 一可分數列；

（2）當 m?3 時，證明：數列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是（2，13）－可分數列；

（3）從 1，2，…，4m+2 中一次任取兩個數 i 和 j （ ?i1，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j） 一可分數列的概率為 P_m ，證明：

2題目解答

由于前兩問思路較為簡單，過程簡便，解法從略，下面重點對第（3）問利用波利亞“怎樣解題\"思想進行解法探尋，根據解題提示語引導思路生成.

2.1理解題目

理解新定義創設的新語境，是學生解決問題過程中遇到的第一個困難.問題表征對問題解決有直接的影響，不僅考查學生對數學語言和問題的理解水平，還要求學生具備很好的文字語言、符號語言的理解能力，正確的問題表征是解決問題的必要前提.這也與波利亞解題理論中第一階段“理解題目\"相呼應.在此階段，波利亞提出三個問題：

問題1這是一個什么問題？

這個問題是數列與古典概型問題.第（3）問中，考慮到對數列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j） 一可分數列的概率為 P_m 的求解，且每個 （i，j） 是等可能的，所以關于 P_m 的計算為古典概型問題.

問題2條件是什么？

第（3）問的條件由兩部分組成.首先，根據題目給出的新定義的概念，可以得到可分數列的內在含義，即去掉兩項后，剩下部分可以分為若干個4項為一組的等差數列.其次，對第（1）問、第（2）問的解題過程和思路分析進行提煉，得到的基本經驗也是解決第（3）

問的內在條件.例如：由于公差不為0的等差數列中a_?m，a_?n，a_?P，a_?q 成等差數列等價于 m，n，p，q 成等差數列，因此該問題等價于數列 1，2，…，4m+2 是（i，j） 一可分數列.

問題3 求什么？

分母的表達形式為 C_4m+2²=8m²+6m+1 是確定的.所以，求出使得數列 1，2，…，4m+2 是 （i，j）- 可分數列的 （i，j） 數對的個數 f（m） 就成了解決問題的關鍵.

對于本題，思考這三個問題有助于學生探索題目本質，抽象表征問題.

2.2擬定計劃

問題4已知條件和未知量之間有什么關系？

已知條件指的是題中給出的新定義概念以及由前兩問得到的基本經驗.未知量指的是所求的使得數列 1，2，…，4m+2 是 （i，j） 一可分數列的 （i，j） 數對的個數 f（m） .二者之間的關系為特殊和一般的關系.

由特殊到一般，采用初步探索的方式，往往可以發現遞推關系或歸納出相關結論.故而需要通過歸納猜想，找出解決問題的突破口.因此有以下兩個追問：

追問1：你能從第（1）問中推出相關規律并證明嗎？

考慮 m=1 時，數列 1，2，3，4，5，6 是（1，6）-可分數列； m=2 時，數列 1，2，3，4，…，10 是（1，10）-可分數列； m=3 時，數列 1，2，3，4，…，13，14 是（1，14）一可分數列.對以上規律作出歸納猜想：數列1，2，…，4m+2 是 （1，4m+2） 一可分數列，且余下的4m 個數分為 Σ_m 組公差為1的等差數列.由第（2）問的經驗不難發現， Σ_m 數值的增加并不會影響原有的（i，j） 一可分.

猜想1：數列 1，2，…，4m+2 是 （1，4k+2） 一可分數列， 0?k?m k∈N

證明： （i，j）=（1，4k+2），0?k?m，k∈N

（1）k=0 時， （i，j）=（1，2） ，剩余部分為3，4，…，4m+2 ，共 4m 個連續整數，依次取相鄰的4個整數共有 Σ_m 組，每組均是公差為1的等差數列；

（2）kgt;0 時， （i，j）=（1，4k+2） ，剩余部分為2，3，…，4k+1 和 4k+3，4k+4，…，4m+2 ，分別有4k，4（m-k） 個連續的整數，依次取相鄰的4個整數共有 Σ_m 組，每組均是公差為1的等差數列.

故猜想得證.

追問2：你能從第（2）問中推出相關規律并證明嗎？

表1

考慮第（2）問中，數列 1，2，…，13 是 （2，13）- 可分數列應會對第（3）問的解決提供重要的思路指引.觀察發現該類型的 （i，j） 數對是通過去掉第2項和倒數第2項數值獲得，且 m=3 時分為3組公差為3的等差數列.對于 m=2，m=3 ，通過觀察表1歸納得：數列 1，2，…，4m+2 ，當 m?2 時，是 （2，4m+1）- 可分，且剩余 4m 項分為 Σ_m 組公差為 m 的等差數列.

類比猜想1，可得猜想2：數列 1，2，…，4m+2 是 （2，4k+1） 一可分數列，其中 2?k?m . k∈N

證明： （i，j）=（2，4k+1），2?k?m，k∈N 中，1，3，4，…，4k，4k+2 可分為 k 組公差 d=k 的等差數列，由于首項均不相同且公差相等，則不含重復項，且各項均在 1，3，4，…，4k，4k+2 中，因此前 4k 項可分.

又 4k+3，4k+4，…4m+2 共有 4（m-k） 個連 續的項，可依次得到 m-k 組等差數列，故得證.

我們需要求出關于 f（m） 的關系式，因此采用找出 f（m） 與 f（m+1） 的遞推關系式來解決.

2.3問題解決

具體解法如下：

記數列 1，2，…，4m+2 是 （i，j） 一可分數列的（i，j） 數對共有 f（m） 個.數列 1，2，…，4m+6 中的（i，j） 數對共有 f（m+1） 個.其中數列 5，6，… 4m+6 為等差數列，且有 4m+2 項，則其 （i，j） 數對有f（m） 個.

由猜想1結論可知 （i，j）=（1，4k+2），0?k? m+1，k∈N ，使得 1，2，…，4m+6 為 （i，j） 一可分，滿足條件的 k 有 m+2 個；

由猜想2結論可知 （i，j）=（2，4k+1），2?k? m+1，k∈N ，使得 1，2，…，4m+6 為 （i，j） 一可分，滿足條件的 k 有 Ψ_m 個.所以， f（m+1）?f（m）+m+2+m ，整理得

由累加法可得 f（m）-f（1）≥2[m+（m-1）+ …^-] ，則 f（m）≥m²+m+1. 所以 成立.

2.4回顧

問題5你能以不同的方法推導這個結論嗎？

在推導遞推關系時，我們可以考慮由容斥原理，得到 f（m+1） 與 f（m），f（m-1） 的關系.

思路分析：記數列 1，2，…，4m+2 是 （i，j） 一可分數列的 （i，j） 數對共有 f（m） 個.數列 1，2，…，4m+ 6中的 （i，j） 數對共有 f（m+1） 個.通過如圖1的示意圖，可以直觀表征出 f（m+1），f（m） 與 f（m-1） 之間的關系.

圖１

解析：（i）根據容斥原理， |A∪B|=|A|+|B|- |A∩B| ，可知 1，2，…，4m+2 與 5，6，…，4m+6 中的 （i，j） 數對共有 2f（m）-f（m-1） 個.

（ii）由猜想1結論知 （i，j）=（1，4m+6），1，2 …+m+6 為 （i，j） 一可分.

（iii）由猜想2結論知 （i，j）=（2，4m+5），1，2 …+m+6 為 （i，j） 一可分.

由于以上3種情況 （i，j） 數對均不相同，因此f（m+1）≥2f（m）-f（m-1）+2 則有 [f（m+1）-f（m）]-[f（m）-f（m-1）]?2 從而 ：

所以 f（m）≥m²+m+1 ，以下步驟與上述解法相同.

問題6本題的關鍵之處是什么？

本題的關鍵之處分為三個部分：

在理解題目部分，需要學生將抽象的數學符號語言轉化為簡單的數字問題.其次，在 P_m 的求解過程中，通過古典概率公式，將問題轉化為求解 （i，j） 數對f（m） 的值.考查了學生對數列和概率的知識本質的理解，以及由特殊解決一般的基本思想方法.

在搭建經驗橋梁部分，學生需將前兩問解題的經驗內化，通過前兩問解決的簡單思路，發現解決第（3）問的一般規律，明確學生需要強化從特殊到一般的基本活動經驗以及發現問題的基本能力.

在建立遞推關系部分，需要學生具備分析求解f（m） 的能力，即考慮尋找 f（m） 與 f（m+1） 的遞推關系，進而用累加法求出 f（m） 的具體表達式.

問題7你能對結論作進一步推廣嗎？

將上述兩個猜想進行推廣.

猜想1結論推廣：

考慮等差數列 a₁，a₂，…，a_4m+2 刪除前 4s 項后，剩余的項所組成的仍為題中所給形式的等差數列，那么相應地可以對猜想1結論做出如下推廣：數列1，2，…，4m+2 是 （i，j）=（4s+1，4k+2），0?s?k?m s，k∈N 的 （i，j） 一可分數列.

猜想2結論推廣：

類比于猜想1結論推廣的生成過程，可得到猜想2的結論推廣：數列 1，2，…，4m+2 是 （i，j）= 4s+2，4k+1），0?s?k-2?m-2，k∈N 的 （i，j）- 可分數列.

基于猜想1與猜想2的推廣，本題還可以考慮以對 s 與進行分類討論的方式解決問題.此外，“隔板法”也不失為解決該問題的另一種優秀的思路方法，在此本文不做大篇幅思路闡述.

3教學啟示

在日常教學中，對于新定義問題的教學，如何提高和培養學生的“四基\"“四能”，在此給出以下教學建議.

3.1思維融合，基礎先行

新定義題型要求學生有較強數學思維、方法融合能力和扎實基礎，需在內化教材知識后探究多種思維、多知識點的聯合解法.因此，教師講解教材基礎知識要清晰易懂，方法靈活，循序漸進引導思維生成.

3.2應用探究，推導踐行

新定義題型要求學生從所給定義出發探究、發現、分析和解決問題，這符合教學內容生成規律.因此，日常教學中教師要加強知識生成講解，讓學生理解本質，注重公式與定理推導的嚴謹性，培養歸納、類比推理等思想.

3.3教學著力，單元統籌

新定義題型要求學生綜合多單元知識探索解法，因此教師日常教學需注重知識系統性與邏輯性，以大單元教學為重點，關注知識關聯，構建知識框架，助學生觸類旁通、舉一反三.

參考文獻：

[1]教育部教育考試院.優化試卷結構設計突出思維能力考查—2024年高考數學全國卷試題評析[J].中國考試，2024（7）：79-85.

[2]波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2018.Z