三角函數解析式中參數“ω\"的求解

三角函數作為高中數學核心內容，在數學體系與實際生活中應用廣泛.形如 y=Asin（ωx+φ） 的三角函數解析式中，參數“ ω ”不僅決定函數周期，還對函數圖象的伸縮變換、單調性及對稱性等性質有深刻影響.深入理解三角函數性質及其應用是準確求解“ ω ”的關鍵.然而，在實際教學與學習中，學生常因對“ ω ”理解不深，面對復雜問題無從下手.因此，深入探討“ ω ”的求解方法，對提升學生數學素養與解題能力意義重大.

1根據三角函數的周期性求 ω

函數 y=Asin（ωx+φ） 的最小正周期為 解決此類問題的關鍵在于結合條件弄清周期 與所給區間的關系，從而建立不等關系.

例1為了使函數 y=sinωx（ωgt;0） 在區間[0，1]上至少出現50次最大值，則 ω 的最小值為（ ）.

解：因為函數至少出現50次最大值，即[0，1]上至少需要49 個周期，所以 ，則

2根據三角函數的單調性求 ω

函數 y=Asin（ωx+φ） 的單調性一方面與 ω 的正負和大小有關，另一方面，單調區間的長度也與周期有關，而周期的大小由 ω 決定.因此函數的單調性、單調區間與 ω 的值密切相關，根據函數在相應區間上的單調性可以確定 ω 的值或取值范圍.

例2 已知函數 在 上單調遞減，則實數 ω 的取值范圍為

解：根據函數 ，令

可得 （2 所以，函數 y=f（x） 的單調遞減區間為

（20號 又函數 y=f（x） 在區間 上單調遞減，則 解得 （20 （204號 又由 可得 即 且ωgt;0 ，則有 0lt;ω?3 令 k=0 ，可得 故實數 ω 的取值范圍為

3根據三角函數的對稱性求 ω

根據 圖象的對稱中心為 （kπ，0）（k∈ z） ，令 ωx+φ=kπ（k∈Z） ，利用 _y=sinx 圖象的對稱軸方程為 ，令 z） ，結合已知的對稱軸或對稱中心，可求解 ω

例3已知奇函數 f（x）=cos（ωx+φ）（ωgt;0） 的圖象關于直線 對稱，且在區間 上單調，則 ω 的值是（ ）.

解：因為函數 f（x）=cos（ωx+φ）（ωgt;0） 為奇函數，所以φ=kπ+π，

又函數 f（x）=cos（ωx+φ）（ωgt;0） 的圖象關于直線 對稱，所以 ∞π+φ=mπ，m∈Z.

所以

又函數 f（x）=cos（ωx+φ）（ωgt;0） 為奇函數且在區 上單調，則函數 f（x） 在區間 上單 （20 （20 調，所以 f（x） 的周期 即 從而 0lt;ω?3

所以 故選：C.

4根據三角函數的最值（極值）求 ω

三角函數的極值點、最值點和其圖象的對稱軸的說法是等價的，最值問題可轉化為不等式恒成立問題來解決.

例4 已知函數 f（x）=2sin ωx在區間 上的最小值為－2，則實數 ω 的取值范圍是

解：顯然 ω≠0. 若 ωgt;0 ，則當 時 因為函數 f（x） 在區間 的最小值為—2，所以 或 （204號 解得

若 ωlt;0 ，則當 時， （204號=因為函數 f（x） 在區間 上的最小值為 ^-2 所以 或 （20 ，解得 ω?-2

綜上所述，符合條件的實數 ω 的取值范圍是

例5設函數 在區間 （0，π） 恰有三個極值點、兩個零點，則 ω 的取值范圍是（ ）.

解：依題得ωgt;0.因為∈（0，π），所以ωx+∈ 要使函數在區間 （0，π） 恰有三個極值點、兩個零點，又 的圖象如圖1

所示，則 ，解得 故選：C.

圖1

5根據三角函數的零點求 ω

研究函數的零點個數等問題時，往往采取整體換元的思想，即通過 ωx+φ 的取值情況確定函數零點的情況，因此可根據函數零點情況來確定 ω 的值或取值范圍.

例 6^[1] 已知函數 f（x）=cosωx-1（ωgt;0） 在區間 [0，2π] 有且僅有3個零點，則 ω 的取值范圍是解：由 0?x?2π，ωgt;0 ，得 0?ωx?2ωπ 業令 f（x）=cosωx-1=0 ，則cos ωx=1 有3個根.

令 t=ωx ，則方程cos t=1 有3個根，其中 t∈ [0，2ωπ] ，結合余弦函數 的圖象（圖2）可得4π?2ωπlt;6π ，所以 2?ωlt;3. 故填：[2，3）.

圖2

求解三角函數解析式中的參數“ ω ”，需全面理解三角函數的性質，熟練運用各種數學方法與技巧.若已知周期，優先利用周期公式；對于單調性問題，要結合ω 的正負分析函數的增減性；而對稱性和極值點、零點問題，則需利用相應的性質建立方程.同時，要注意對 ω 的取值范圍進行合理的討論和判斷，確保答案的準確性.

從周期公式的直接應用，到依據圖象特征進行細致分析，再到借助單調性與對稱性挖掘隱含條件，每種方法都為我們打開了解決問題的一扇窗.通過對這些方法的系統學習與練習，學生不僅能熟練掌握“ ω ；的求解方法，更能深入理解三角函數的本質.

對教師而言，在教學中應注重引導學生從多角度思考問題，通過典型例題與針對性練習，幫助學生構建完整的知識體系，培養學生靈活運用知識解決問題的能力.同時，鼓勵學生自主探索、總結規律，加深對三角函數知識的理解與掌握.

參考文獻：

[1]李鴻昌，劉開明，陳曉.高中數學一點一題型：二輪強化訓練[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2024.Z