高中生圓錐曲線解題的認(rèn)知分析及建議

1真題呈現(xiàn)

（2023年新課標(biāo) I 卷第 22題）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P 到 x 軸的距離等于點(diǎn) P 到點(diǎn) 的距離，記動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為 W 元

（1）求 W 的方程；

（2）已知矩形 ABCD 有三個(gè)頂點(diǎn)在 W 上，證明：矩形ABCD的周長大于

2試題解析

（1）由題意得 W 為拋物線，且準(zhǔn)線為 y=0 ，焦點(diǎn)

為 ，顯然 ，相當(dāng)于把拋物線 x²=y 向上平移了 個(gè)單位長度，所以 ：

（2）不妨設(shè) A，B，C 在拋物線上，且 AB⊥BC ，所 （20 （204號(hào) 以 ，即 -1 ，于是可得 （x_B+x_A）（x_B+x_C）=-1

令 由于對(duì)稱性，設(shè)|m|?1 ，則 令 ，則 f^′（x）= 令 f^′（x）=0 ，解得 或 x= -1 （舍去）.函數(shù) f^′（x） 在各區(qū)間上的正負(fù)及 f（x） 的單調(diào)性如表1所示.

表1

所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到最小值.

故矩形 ABCD 的周長為 2（∣AB∣+∣BC∣）gt;2×

3認(rèn)知過程分析

從認(rèn)知心理學(xué)的視角來看，學(xué)生在解答這類圓錐曲線問題時(shí)，其認(rèn)知過程主要包括以下幾個(gè)階段：表征、策略選擇、策略執(zhí)行和結(jié)果評(píng)價(jià).

一是表征階段.學(xué)生面對(duì)這道題時(shí)，需要仔細(xì)閱讀題干，依據(jù)題意在頭腦中形成問題的初步心理表征.這個(gè)表征過程不是簡單的信息堆砌，而是需要學(xué)生對(duì)題干的深入理解，并對(duì)其中的關(guān)鍵信息進(jìn)行提取和重組.在本題中，“點(diǎn) P 到 x 軸的距離等于點(diǎn) P 到 的距離\"是最為關(guān)鍵的信息，它直接揭示了點(diǎn) P 的軌跡W 是一條拋物線.學(xué)生需要在頭腦中構(gòu)建出這樣的抽象表征：拋物線W的準(zhǔn)線是 x 軸，焦點(diǎn)是點(diǎn) 這個(gè)過程不僅需要文字表征，更需要借助圖示，將抽象的幾何關(guān)系形象化，并協(xié)調(diào)不同表征形式之間的轉(zhuǎn)換.可見，在表征階段，學(xué)生需要綜合運(yùn)用圖形、符號(hào)等不同類型的心理表征，形成問題的完整表征結(jié)構(gòu)，這是解題的基礎(chǔ).

二是策略選擇階段.學(xué)生在完成問題表征后，需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考：“我應(yīng)該用什么方法來解決這個(gè)問題？”這就進(jìn)人了解題策略的選擇階段.數(shù)學(xué)問題的解法往往不是唯一的，學(xué)生需要在諸多可能的解題路徑中，選擇一條最優(yōu)路徑.這個(gè)選擇過程，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)基于表征的問題解決搜索過程.學(xué)生需要依據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和問題解決經(jīng)驗(yàn)，在問題空間中搜尋可能的解題路徑，并評(píng)估每條路徑的可行性和有效性.在這個(gè)過程中，元認(rèn)知能力發(fā)揮著重要作用，它幫助學(xué)生監(jiān)控和調(diào)節(jié)自己的認(rèn)知過程，避免盲目試錯(cuò).在本題中，關(guān)鍵是再看出“拋物線的準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離”與矩形周長之間的關(guān)系.一旦學(xué)生的注意力被這一關(guān)鍵點(diǎn)所吸引，并成功地將其與已有的拋物線知識(shí)聯(lián)系起來，那么解題策略的選擇就不再困難.由此可見，策略選擇是解題成功的關(guān)鍵所在，它考驗(yàn)的是學(xué)生融會(huì)貫通地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決新問題的能力.

三是策略執(zhí)行階段.當(dāng)解題策略選定后，學(xué)生就進(jìn)入了具體的解題實(shí)施階段.這個(gè)階段主要依賴演繹推理、計(jì)算操作等基本的認(rèn)知技能.學(xué)生需要按照所選策略，一步步推進(jìn)解題過程.在本題中，這個(gè)過程包括：建立拋物線的方程、根據(jù)矩形三點(diǎn)在拋物線上列出方程組、運(yùn)用不等式證明矩形周長的取值范圍等.這個(gè)過程看似機(jī)械，實(shí)則對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力有較高要求.學(xué)生不僅要熟練掌握每一步驟背后的數(shù)學(xué)原理，還要在解題過程中隨時(shí)監(jiān)控每一步的正確性，這考驗(yàn)的是學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯推理能力以及自我監(jiān)控能力.本題的證明過程涉及參數(shù)方程、函數(shù)求導(dǎo)、不等式證明等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，需要學(xué)生具備扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)和縝密的邏輯思維能力.

四是結(jié)果評(píng)價(jià)階段.當(dāng)學(xué)生完成解題，得出結(jié)論時(shí)，解題過程并沒有終止，學(xué)生還需要對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行反思和評(píng)價(jià).這個(gè)過程包括檢查計(jì)算過程是否有錯(cuò)誤，評(píng)估解題結(jié)果的合理性，思考是否還有其他解法，等等.這個(gè)看似簡單的過程，實(shí)際上對(duì)學(xué)生的元認(rèn)知能力提出了更高的要求.學(xué)生需要跳出具體的解題過程，以旁觀者的角度審視自己的解題全過程，評(píng)判其中可能存在的問題或需要改進(jìn)地方.

學(xué)生解答本題的認(rèn)知過程，是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)過程，涉及表征、策略選擇、策略執(zhí)行、結(jié)果評(píng)價(jià)等多個(gè)認(rèn)知階段.每個(gè)階段都對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力提出了特殊要求.作為教師，要充分理解學(xué)生解題過程中的認(rèn)知特點(diǎn)，根據(jù)不同學(xué)生的認(rèn)知水平，提供恰如其分的指導(dǎo)，幫助學(xué)生順利完成每個(gè)認(rèn)知階段的任務(wù)，最終提高其數(shù)學(xué)問題的解決能力.學(xué)生要主動(dòng)反思自己在解題過程中的認(rèn)知狀態(tài)，及時(shí)調(diào)整認(rèn)知策略，加強(qiáng)薄弱環(huán)節(jié)的鍛煉，不斷優(yōu)化自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和解題思路，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率和質(zhì)量.

4可能存在的認(rèn)知困難及應(yīng)對(duì)建議

在解答此類圓錐曲線問題的過程中，學(xué)生可能會(huì)遇到各種認(rèn)知困難.例如，學(xué)生對(duì)拋物線的基本概念和性質(zhì)的理解不夠深入、透徹.拋物線作為一種重要的圓錐曲線，有其特定的性質(zhì)，如準(zhǔn)線、焦點(diǎn)等.這些性質(zhì)往往是解題的關(guān)鍵突破口.然而，一些學(xué)生可能只停留在表面的概念記憶上，沒有真正理解這些性質(zhì)的內(nèi)在邏輯和數(shù)學(xué)意義.這就導(dǎo)致他們?cè)诿鎸?duì)具體問題時(shí)，無法敏銳地捕捉到題干中隱含的關(guān)鍵信息，如本題中的“準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離”教師要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)圓錐曲線基本概念和性質(zhì)的復(fù)習(xí)和理解，通過多樣化的練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)這些性質(zhì)的領(lǐng)悟，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的數(shù)學(xué)洞察力.

學(xué)生在審題時(shí)存在信息提取不全面、思考不周詳?shù)膯栴}.數(shù)學(xué)題干往往包含顯性和隱性兩種信息，學(xué)生如果審題不細(xì)致，就可能遺漏某些關(guān)鍵的隱性條件，從而影響解題進(jìn)程.比如本題中，矩形三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上\"隱含著這三點(diǎn)不在一條直線上的信息.如果學(xué)生沒有察覺到這一點(diǎn)，就可能在解題過程中走入“死胡同”教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致審題的好習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生多角度、換位思考分析題干，捕捉每一個(gè)關(guān)鍵信息.

學(xué)生對(duì)題型的變式和創(chuàng)新形式缺乏經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)題目的形式是多樣的，尤其是高考題目，往往會(huì)在傳統(tǒng)題型上做一些創(chuàng)新和變化，以考查學(xué)生的靈活應(yīng)變能力.比如本題，如果學(xué)生沒有從設(shè)參數(shù)的角度去思考，就難以找到突破口.這就要求學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要多接觸一些綜合性、創(chuàng)新性的題目，拓寬自己的思路，提高應(yīng)對(duì)新問題的能力.教師在教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)引入一些變式題，啟發(fā)學(xué)生從多角度分析問題，不拘泥于固有的解題模式.

學(xué)生在具體的計(jì)算和推理過程中，可能會(huì)因?yàn)榇中拇笠饣蚴侵型緭Q元等原因，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤，最終影響解題結(jié)果.本題的證明過程比較繁瑣，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯推理能力都有較高要求.學(xué)生應(yīng)該養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的解題習(xí)慣，對(duì)每一步運(yùn)算都要仔細(xì)檢查；通過大量練習(xí)，提高自己的計(jì)算能力和邏輯推理能力，減少錯(cuò)誤的發(fā)生.教師在批改作業(yè)時(shí)，應(yīng)詳細(xì)分析學(xué)生的錯(cuò)誤類型，然后有針對(duì)性地進(jìn)行指導(dǎo)和訓(xùn)練.

5評(píng)價(jià)反思

認(rèn)知心理學(xué)為研究者分析學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決過程提供了一個(gè)極具洞察力的視角.通過這個(gè)視角，教育工作者能更好地理解學(xué)生的認(rèn)知需求，優(yōu)化教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量.這種分析為學(xué)生自我認(rèn)識(shí)、自我完善提供了一條清晰的路徑.相信通過教師和學(xué)生的共同努力，學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力一定能夠得到不斷提升，為他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和未來發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本文是基于一道典型試題進(jìn)行的分析，還有許多類型的數(shù)學(xué)問題需要進(jìn)一步探討.Z