借助構(gòu)造法，妙解不等式

函數(shù)不等式是高中數(shù)學(xué)非常重要的一類題型.該類題型一般給出的函數(shù)較為復(fù)雜、抽象.解題時需要根據(jù)題設(shè)情境靈活應(yīng)對，尤其當(dāng)題干中含有導(dǎo)函數(shù)相關(guān)的式子時，應(yīng)通過聯(lián)系函數(shù)的求導(dǎo)公式，構(gòu)造新的函數(shù)，依托構(gòu)造的函數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，巧妙計算出結(jié)果.

1解與三角函數(shù)相關(guān)的不等式

三角函數(shù)是周期函數(shù)，圖象是軸對稱以及中心對稱圖形[1].解答三角函數(shù)不等式常用的思路是數(shù)形結(jié)合，通過觀察圖象找到臨界點(diǎn)，確定不等式的范圍.然而，部分習(xí)題并未給出三角函數(shù)的具體解析式，作答時需要突破思維定勢，通過逆向推理，構(gòu)造出新的函數(shù)進(jìn)行求解.

例1函數(shù) f（x） 是定義在 （-π，0）∪（0，π） 上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為 f^′（x） ，且 ，當(dāng) 0′（x）sinx-f（x）cosxlt;0 ，則關(guān)于 Ψ_x 的不等式f（x）lt;0 的解集為

解析：根據(jù)題意可令 ，則 g^′（x）=

當(dāng) 0′（x） sin x-f（x） cos xlt;0 ，易得 g^′（x）lt;0 ，則 g（x） 在 （0，π） 上單調(diào)遞減.

又由函數(shù) f（x） 是定義在 （-π，0）∪（0，π） 上的奇函數(shù)，則 ，即g（x） 為 （-π，0）∪（0，π） 上的偶函數(shù)，所以 g（x） 在（-π，0） 上單調(diào)遞增.

由 ，可得 故當(dāng) 或 g（x）gt;0 -π 時 g（x）lt;0 （

， ，由 f（x）lt;0 可得到 或 解， ，得 或

故不等式 f（x）lt;0 的解集為

點(diǎn)評：該題考查的知識點(diǎn)主要有函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、導(dǎo)數(shù)、不等式等.解該題有三點(diǎn)較為巧妙，（1）由“ f^′（x）sinx-f（x）cosxlt;0^， ，聯(lián)系“ f'（x）g（x）-f（x）g'（x）”這-求導(dǎo)公式，巧妙地構(gòu)g（x）2造出函數(shù) sinx;（2）借助函數(shù)f（x）為奇函數(shù)推理出函數(shù) g（x） 在 （-π，0）∪（0，π） 上是偶函數(shù)；（3）根據(jù)“ f（x）lt;0^′′ 進(jìn)行分類討論.

2解與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的不等式

解答含有指數(shù)的不等式時，應(yīng)根據(jù)需要通過構(gòu)造函數(shù)化難為易.

例2已知函數(shù) f（x） 是定義在 上的偶函數(shù)，記f^′（x） 為函數(shù) f（x） 的導(dǎo)函數(shù)，且滿足 f（x）+f^′（x）= e^x-e^-x+2xe^x ，則不等式 的解集為

解析：由函數(shù) f（x） 是定義在 上的偶函數(shù)，易得f（-x）=f（x） ，則

由 [f（-x）]^′=（-x）^′f^′（-x）=-f^′（-x） ，易得一 f^′（-x）=f^′（x） ，即 f^′（-x）=-f^′（x） ，顯然f^′（x） 是定義在 上的奇函數(shù).

由 f（x）+f^′（x）=e^x-e^-x+2xe^x ，可得 f（-x）+ f^′（-x）=e^-x-e^x-2xe^-x ，即

f（x）-f^′（x）=e^-x-e^x-2xe^-x.

將 f^′（x）=e^x-e^-x+2xe^x-f（x） 代入 ① 式，得 f（x）=xe^x-xe^-x

由 ，得 ，即xe^x

令 h（x）=xe^x-e ，則 h^′（x）=（x+1）e^x ：

所以 xlt;-1 時， h^′（x）lt;0 ；當(dāng) xgt;-1 時，h^′（x）gt;0

故 h（x） 在 （-∞，-1） 上單調(diào)遞減，在 （-1，+∞） 上單調(diào)遞增.

又 h（1）=0 ，當(dāng) xgt;-1 時，由 h（x）lt;0=h（1） ，解得 -1

當(dāng) x?-1 時， xlt;0，e^xgt;0 ，則 xe^xlt;0 ，故 xe^x- elt;0 ，即 h（x）lt;0 ，滿足題意.

綜上，所求解集為 （-∞，1）

點(diǎn)評：該題考查原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)奇偶性的關(guān)系、函數(shù)解析式的求法以及構(gòu)造函數(shù)解不等式等.其中運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及“ f（x）+f^′（x）=e^x-e^-x+ 2xe^x ”求出函數(shù) f（x） 的解析式是突破口.求出函數(shù)f（x） 的解析式后，對要求解的不等式進(jìn)行整理，構(gòu)造新的函數(shù)，通過分析新函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果.

3解與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的不等式

解答與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的不等式，應(yīng)注重從題干條件入手選擇對應(yīng)的解題思路，尤其當(dāng)出現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)時應(yīng)注意構(gòu)造函數(shù)，而后根據(jù)需要運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求出最終結(jié)果.

例3已知函數(shù) f^′（x） 是奇函數(shù) f（x） 在 上的導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng) xgt;0 時， （204號則不等式 （x-985）f（x）gt;0 的解集為

解析：由題意，令函數(shù) ，則 （204

由xgt;0時，lnx·f'（x）+1 ： f（x）lt;0 ，可得當(dāng)_xgt;0 時，函數(shù) g（x） 單調(diào)遞減.由 g（1）=0 可得：當(dāng) 0lt; xlt;1 時， ，此時 f（x）lt;0 ；當(dāng) _xgt;1 時， 此時 f（x）lt;0 一

又 ，則 f（1）lt;0 ，所以當(dāng)_xgt;0 時， f（x）lt;0. 又因?yàn)?f（x） 為奇函數(shù)，所以當(dāng)xlt;0 時， f（x）gt;0 ：

于是，不等式 （x-985）f（x）gt;0 可轉(zhuǎn)化為 解得 0

所以原不等式的解集為（0，985）.

點(diǎn)評：該題較為抽象，考查的知識包括導(dǎo)數(shù)、函數(shù)奇偶性、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等，屬于難題.解題時首先應(yīng)厘清思路，先通過構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定當(dāng) xgt;0 時函數(shù) f（x） 的取值，而后拓展到整個定義域中，最終結(jié)合 x-985 的正負(fù)，分析出不等式的解集.

4解與分段函數(shù)相關(guān)的不等式

解答與分段函數(shù)相關(guān)的不等式，一般按照函數(shù)不同的解析式逐一進(jìn)行考慮，并根據(jù)需要通過等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，求出對應(yīng)的解集，最終取并集即可.

例4已知定義在R上的奇函數(shù) f（x） 滿足：

則關(guān)于 x 的不等式 2f（x）gt;3x 在 x∈（0，+∞） 的解集為

解析：由于 f（x） 為定義在 上的奇函數(shù)，則當(dāng) xgt;0 時，有 不等式 2f（x）gt;3x 等價于 當(dāng) x∈（0，1] 時， 即 令 2，易得g'（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，

又由 ，則 使得 g^′（x₀）=0 ，則g（x） 在 （0，x₀） 上單調(diào)遞增，在 （x₀，1） 上單調(diào)遞減.

因?yàn)? ，則 x∈（0，1] 時，g（x）gt;0 的解集為 即為 的解集為

當(dāng) x∈（1，+∞） 時， 即為 ，化簡為 x²-5x+6lt;0 ，解得 2

點(diǎn)撥：該題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)等.解題時應(yīng)從問題出發(fā)，對要解的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.其中當(dāng) 0

綜上所述，構(gòu)造法是解決高中數(shù)學(xué)的常用方法，在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛.該種方法對分析問題的能力要求較高，將該方法用于解不等式習(xí)題時，既要熟練掌握不同函數(shù)的求導(dǎo)公式，能夠根據(jù)已知條件進(jìn)行逆向推理合理地構(gòu)造出新函數(shù)，又要根據(jù)需要對要求解的問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及不等式的性質(zhì)，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、計?

參考文獻(xiàn)：

[1]劉召龍.利用構(gòu)造函數(shù)法求解導(dǎo)數(shù)不等式問題[J].數(shù)理化解題研究，2024（28）：70-72.Z