代數與幾何比翼，技能與素養齊飛

2025-09-28 00:00:00王娟娟

中學數學·高中版 2025年9期

涉及平面向量的數量積，立足平面向量“數”的基本屬性與“形\"的幾何特征，借助代數思維或幾何思維來切入與應用，成為破解與處理此類問題中比較常用的基本切入點與技巧方法.

1問題呈現

問題（2025屆河南省名校聯盟開學摸底聯考數學試卷·14）如圖1，已知圓 o 的半徑為 _4，AB 是圓 O 的一條直徑， C，D 兩點均在圓 O 上，，若 P 為線段 CD 上一動點，則的取值范圍是

圖1

2問題破解

在解決問題時，借助平面向量“數”與“形”的雙重特性，可以從平面向量的基本運算入手，利用基底法或極化恒等式法進行合理變形與轉化，通過數學運算來分析與處理；還可以通過平面直角坐標系的構建，利用坐標法來推理與變形.這都是解決該問題時比較常用的一些基本數學思維與技巧、方法.

2.1平面向量基本運算思維

方法1：基底法.

如圖2，設 M 為 CD 中點，連接 OP，OM ，則 · ）：

圖2

因為點 P 為線段 CD 上一動點，且，則圓心O到直線CD的距離|OM|=√42-（2√3）=2，于是，所以所以，即：的取值范圍是[—12，0].故填： [-12，0]

點評：利用基底法來處理平面向量的數量積問題，關鍵是借助基底及平面向量的線性運算與轉化，“數”與“形”綜合處理，成為解決此類問題比較常用的技巧、方法.應用基底法時，關鍵是將復雜的向量場景及不確定的向量朝著簡單的向量場景及相對確定的向量方向轉化，合理簡化與歸納，進而利用動點與定點之間的相對位置關系及取值情況來判定對應的最值或取值范圍.

方法2：極化恒等式法.

如圖 ^3，O 為圓心，連接 OP

利用極化恒等式，容易得PA·PB=↓[（PA+PB）2- 而（20 ，則 ·

圖3

由于，則知（2

取線段 CD 的中點 M ，則

結合，可得則，于是，所以

所以，即 ·

PB的取值范圍是[-12，0].

點評：利用極化恒等式法來處理平面向量的數量積問題，關鍵是借助極化恒等式這一重要結論來變形與轉化對應的數量積，成為解決平面向量數量積問題中的一個“巧技妙法”，“數”與“形”綜合處理.應用極化恒等式法時，關鍵是將數量積轉化為與之對應的兩個向量的和與差的平方關系，注意系數與運算符號，可以更加有效、方便地化簡與轉化對應的平面向量，給問題的突破與求解創造條件.

2.2解析幾何思維

方法3：坐標法1.

依題意，以圓心 o 為坐標原點，直徑 _AB 所在直線為 x 軸建立如圖4所示的平面直角坐標系，則點 A（-4，0），B（4，0）：

圖4

結合，可知圓心O 到直線 CD 的距離為 d= ，不失一般性，不妨設直線 CD 的直線方程為 y=2 ，而 P 為線段 CD 上一動點，則設點 P 的坐標為（x，2），

所以 x²-16+4=x²-12

由，得 x²∈[0，12] ，可知 ·（20 ，即的取值范圍是[-12，0]

方法4：坐標法2.

依題意，以圓心 O 為坐標原點，直徑 _AB 所在直線為 x 軸建立如圖5所示的平面直角坐標系，則點 A（-4，0），B（4，0）：

圖5

設點P（x，y），則有PA·PB= （-4-x，-y）?（4-x，-y）=

而，則圓心 o 到直線 CD 的距離為，則有，所以 4?

所以，即 · 的取值范圍是[—12，0].

點評：利用坐標法來處理平面向量的數量積問題，關鍵是借助平面直角坐標系的構建，通過定點與動點的坐標確定，利用數量積的坐標公式來轉化，構建與平面向量數量積對應的坐標關系式，通過對應坐標中的變量關系來分析與處理，也是“數”與“形”綜合處理平面向量數量積問題中的一種基本技巧、方法.應用坐標法時，結合題設條件構建相應的平面直角坐標系，對于優化數學運算過程與邏輯推理過程等，以及提升解題效益都有益處.

3變式拓展

3.1等價性變式

變式1已知圓 O 的半徑為 ^4，AB 是圓 O 的一條直徑， C，D 兩點均在圓 O 上， ∠COD=120^° ，若 P 為線段 CD 上一動點，則的取值范圍是