追根溯源回教材，綜合應(yīng)用歸基礎(chǔ)

高中數(shù)學(xué)教材中的一些典型例（習(xí)）題，是基于高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的基本應(yīng)用，從中滲透相應(yīng)的基本數(shù)學(xué)思想、基本技巧方法與基本解題策略.其對應(yīng)的問題背景、設(shè)計形式、抽象結(jié)論等，經(jīng)常成為新高考數(shù)學(xué)試卷命題中的一個重要場所與來源地，也是每年高考數(shù)學(xué)試卷命題的一個基本“母題庫”[1].

這里借助2025年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第13題中等比數(shù)列問題的設(shè)置與綜合應(yīng)用，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，巧妙追根溯源，鏈接高考真題，合理變式拓展，從而引導(dǎo)并促進高中數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

1真題呈現(xiàn)

1.1問題出處

高考真題1（2025年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·13）若一個正項等比數(shù)列的前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為

1.2真題剖析

此題以正項等比數(shù)列及其對應(yīng)的前 n 項和為問題場景，結(jié)合等比數(shù)列中兩個不同的前 n 項和 S_n 的確定數(shù)值（前4項和為4，前8項和為68）來設(shè)置條件，進而確定并求解該等比數(shù)列的公比.

具體解決問題時，往往是基于等比數(shù)列中的基本量來建立相應(yīng)的方程（組），求解與之相關(guān)的首項 a₁ 、公比 q 等基本量的數(shù)值，成為問題突破與切入的關(guān)鍵所在，同樣可以為進一步的相關(guān)計算與應(yīng)用創(chuàng)造條件，是解決此類問題的基本方法.

而抓住等比數(shù)列中前 n 項和的基本特征與相應(yīng)性質(zhì)，可以采取相應(yīng)的數(shù)列性質(zhì)思維來應(yīng)用，特別是基于一些常規(guī)且熟悉的二級結(jié)論來分析與處理問題，可以使得問題的解決更加簡捷、有效.當然還可以立足數(shù)列的函數(shù)性，借助等比數(shù)列的通項公式或前 Ω_n 項和公式的函數(shù)性，采用函數(shù)應(yīng)用思維來處理.

2真題破解

2.1基本量應(yīng)用思維

方法1：基本量運算法.

依題意，可知等比數(shù)列的公比 q≠1 ，根據(jù)等比數(shù)列的前 Ω_n 項和公式，可得

以上兩式對應(yīng)相除，可得 17，因此qa=16.結(jié)合qgt;0，解得q=2.故填：2.

點評：在特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的綜合應(yīng)用中，基于基本量應(yīng)用思維來處理與解決相關(guān)的數(shù)列問題，是解決數(shù)列綜合問題時最常用的一種基本思維方式.其根本方向就是建立等差數(shù)列中首項 a₁ 、公差 d 或公比 q ，以及項數(shù) n 等對應(yīng)的基本量的方程（組），利用方程（組）的求解，有時還涉及相關(guān)的不等式（組）等的求解.

2.2數(shù)列性質(zhì)思維

方法2：性質(zhì)應(yīng)用法1.

依題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知 S₄=a₁+a₂+ a₃+a₄=4，S₈-S₄=a₅+a₆+a₇+a₈=68-4=64.

以上兩式對應(yīng)相除，可以得到 a+a+a7+a8=q2=16.結(jié)合qgt;0，解得q=2.

方法3：性質(zhì)應(yīng)用法2.

依題意，可知等比數(shù)列的公比 q≠1 ，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知 S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n 成等比數(shù)列，

公比為 qⁿ

于是 .結(jié)合 qgt;0 ，解得 q=2

方法4：整體代換法.

依題意，知

所以 （a₁+a₂+a₃+a₄）+q⁴（a₁+a₂+a₃+a₄）=（1+q⁴）. （2（a₁+a₂+a₃+a₄）=4（1+q⁴）=68.

于是 1+q⁴=17 ，則 q⁴=16. 結(jié)合 qgt;0 ，解得 q=2

點評：在特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的綜合應(yīng)用中，基于通項及求和等方面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，是數(shù)列知識學(xué)習(xí)與深入研究的結(jié)果，將結(jié)果作為一些二級結(jié)論來理解與掌握，在解決一些小題（選擇題或填空題）等場景中直接應(yīng)用，對于優(yōu)化解題過程起著非常重要的作用.因此，理解并掌握一些相關(guān)數(shù)列的基本性質(zhì)，對于快捷解決問題有奇效.

2.3函數(shù)應(yīng)用思維

方法5：待定系數(shù)法.

依題意，可知等比數(shù)列的公比 q≠1 ，根據(jù)等比數(shù)列前 n 項和公式的結(jié)構(gòu)特征，可設(shè) S_n=A（1-qⁿ） ，其中 A≠0

于是有 解得 結(jié) 合 qgt;0 ，解得 q=2

點評：在特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的綜合應(yīng)用中，要加強相關(guān)特殊數(shù)列中涉及通項公式、前 n 項和公式等對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，問題的本質(zhì)挖掘與內(nèi)涵剖析起著非常關(guān)鍵的作用.如在等比數(shù)列中，其對應(yīng)的通項公式為指數(shù)函數(shù)型 y=aqⁿ （ a≠0. ，前 n 項和公式為指數(shù)函數(shù)型 y=A（1-qⁿ） 0 A≠0 ）.當然，在等差數(shù)列中，通項公式、前 n 項和公式等也有類似的函數(shù)性質(zhì).

3追根溯源

涉及該高考真題及其性質(zhì)的應(yīng)用，追根溯源，源于高中數(shù)學(xué)教材中的相關(guān)例（習(xí)）題，并在其基礎(chǔ)上，加以合理變形、轉(zhuǎn)化、改編與拓展等，從而有效實現(xiàn)有關(guān)等比數(shù)列的前 n 項和公式及其相關(guān)綜合問題的應(yīng)用等.

（2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第二冊第四章“數(shù)列”第36頁例8）已知等比數(shù)列的首項為-1，前 n 項和為 .若 出 32，求公比q. （20號

4鏈接高考

2025年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷中，以等差數(shù)列及其對應(yīng)的前 n 項和為問題場景，結(jié)合等差數(shù)列 {a_n} 的前n 項和 S_n 來設(shè)置條件，考查與等差數(shù)列求和問題有關(guān)的綜合應(yīng)用，同樣可以采用基本量應(yīng)用思維、數(shù)列性質(zhì)思維及函數(shù)應(yīng)用思維等方式來解決.

高考真題2（2025年高考數(shù)學(xué)新高考 I 卷 ? 7 ）記 S_n 為等差數(shù)列 {a_n} 的前 n 項和，若 S₃=6，S₅= -5，則

A.-20 B.-15 C.-10 D.-5

解析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知數(shù)列 也是等差數(shù)列.

所以 即 解得 S₆=-15 故選：B.

5變式拓展

變式若一個正項等比數(shù)列的前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的前12項和為

6教學(xué)啟示

其實，高考數(shù)學(xué)試卷真題，大體對應(yīng)現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中的相關(guān)例（習(xí)）題等知識，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，2025年高考數(shù)學(xué)新高考I卷共19道題，源于人教（2019年版）A版教材的題目有14道，約占 73.68% 左右.

關(guān)注高中數(shù)學(xué)教材中的一些相關(guān)典型例（習(xí)）題，挖掘相應(yīng)的知識性、場景性、應(yīng)用性、拓展性等，合理融入命題背景、數(shù)學(xué)知識、思想方法、技巧、策略等，進行抽象、改編、組合、提升等處理，真正充分利用高中數(shù)學(xué)教材的精髓.

而高考導(dǎo)向回歸高中數(shù)學(xué)教材，其源于高中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)涵與實質(zhì)，又高于高中數(shù)學(xué)教材的層次與創(chuàng)新，對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考具有非常好的示范與引領(lǐng)作用.這對打破固化僵化的復(fù)習(xí)模式、破除備考中的單純套路訓(xùn)練和“機械刷題”現(xiàn)象具有積極的影響，有助于引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，回歸課本，有利于推進學(xué)生關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻：

[1]周黎黎，韓雅凝，趙曉晗，等.2024年講題比賽獲獎?wù)撐闹唬荷街厮畯?fù)探試題奧秘柳暗花明顯創(chuàng)新思維2024年高考數(shù)學(xué)天津卷第19題解法探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2025（3）：1-3.Z