莫讓“定義\"遮望眼，唯有“探究”識真顏

數列新定義綜合應用問題，是指以學生已有的知識為基礎，設計一個陌生的數學情境，或定義一個概念，或規定一種運算，或給出一個規劃等，通過閱讀相關信息，根據題目引入新內容進行解答的一類數列題型.由于數列新定義綜合應用問題的背景新穎，構思巧妙，而且能有效地考查學生的知識遷移能力和數學思維品質，備受各層次命題專家的青睞.

1問題呈現

[2025屆上海市奉賢區高三學科質量調研（奉賢一模）（12月）數學試卷·16]已知數列 {a_n} 不是常數列，前 n 項和為 S_n .a_ngt;0. 若對任意正整數 n ，存在正整數 Ψ_m ，使得 ，則稱 {a_n} 是“可控數列”.現給出兩個命題：

① 若各項均為正整數的等差數列 {a_n} 滿足公差d=3 ，則 {a_n} 是“可控數列”；② 若等比數列 {a_n} 是“可控數列”，則其公比 q∈

則下列判斷正確的是（ ）.

A. ① 與 ② 均為真命題 B. ① 與 ② 均為假命題 C.① 為假命題， ② 為真命題 D. ① 為真命題， ② 為假命題

此題以數列的新定義“可控數列”為問題場景來創新設置，通過非常數列背景下對應數列的求和公式與通項公式的絕對值不等式恒成立來創設，結合兩個不同特殊數列（等差數列與等比數列）場景下“可控數列\"的判定與性質的應用，全面考查等差數列與等比數列的通項公式、求和公式等.

解題時，關鍵是讀懂題目條件中的新定義，解答時結合等差數列與等比數列的概念、通項公式、求和公式，以及絕對值不等式的求解與性質等加以合理恒等轉化與巧妙應用，實現創新定義的識別與判斷.

2問題破解

解析：（1）對于命題 ① ，可取特殊數列 {a_n} a_n= 3n-2. 此時 ，則 ∣S₂-a_m∣= ∣7-3m∣≠0 對任意正整數 Σ_m 恒成立（否則 .與這正整數 ξ_m 的條件矛盾）.所以 n=2 時， ∣S₂-a_m∣= |7-3m|?1=a₁ ，結合定義可知數列 {a_n} 不是“可控數列”，故 ① 為假命題.

（2）對于命題 ② ，若等比數列 {a_n} 是“可控數列”依題可知 a_ngt;0 且 q≠1. 所以 ，從而∣S_n-a_m∣lt;_a1 ，即 ，亦即 ，解得 m∈N^*

方法1：（逆向思維 + 函數性質法）

當 qgt;1 時，由 N^* ，整理可得 qⁿlt;1+（q-1）（q^m-1+1）.（?）

令 qⁿ?1+（q-1）（q^m-1+1） ，則可知當 n? log_q[1+（q-1）（q^m-1+1）] 時， （*） 式不成立.

當 0 顯然成立，而對于 恒成立，由于函數 為嚴格增函數，且當 n+∞ 時，

1-q，故問題等價于存在m∈N”，使得 q^m-1+1. 記函數 g（m）=q^m-1+1 ，隨著 Ψ_m 的增大，g（m） 減小，故 g（m）_max=g（1）=2 ，故只需 解得 ，故 ② 為真命題.

點評：在解決此類數列新定義問題時，回歸數列的函數性，借助與數列的通項公式、求和公式等相對應的函數模型的構建與綜合應用，結合函數的基本性質來構建對應的方程或不等式，是進一步探究此類問題的關鍵環節.

方法2：（分類討論思維法）

若 qgt;1 ，由 ∣S_n-a_m∣lt;_a1 ，知∣a₁+a₂+…+a_n-a_m∣1.

當 m?n 時，

∣a₁+a₂+…+a_n-a_m∣=∣a₁+ 正數 ∣gt;a₁ 矛盾.

當 mgt;n 時，不妨設 m=n+t . Λ_t∈N^* ，則

∣a₁+a₂+…+a_n-a_m∣

=|a₁+a₂+……+a_n-1+（1-q^t）a_n|，

則當 n+∞ 時， ∣a₁+a₂+…+a_n-1+（1-q^′）a_n∣ +∞ ，矛盾.

若 0 ，故 ② 為真命題.

點評：在解決此類數列新定義問題時，回歸數列的本質，從數列中相關元素（如數列的首項、等差數列的公差、等比數列的公比等）的不同取值情況入手分類討論，可以給問題的展開與應用創造條件.在具體分類討論時，要對數列中相關元素的不同取值情況加以全面、細致的討論，不能遺漏或重復.

3變式拓展

變式已知數列 {a_n} 不是常數列，前 Ω_n 項和為S_na_n0. 若對任意正整數 Ω_n ，存在正整數 Ψ_m ，使得∣S_n-a_m∣lt;_a1 ，則稱 {a_n} 是“可控數列”.若等比數列{a_n} 是“可控數列”，則其公比的取值范圍是

4教學啟示

解決高中數學中涉及數列的新定義問題時，結合問題的場景創設與定義應用，經常可采用以下技巧、方法與應用策略.

4.1剖析定義本質

精讀新定義要點，從中挖掘定義的本質與內涵.本題中，當面對類似“可控數列”這般嶄新的定義時，務必要逐字逐句深入研讀，精準拿捏其中的每一項限定條件.比如，明確已知數列并非尋常的常數列這一前提，同時緊緊抓住問題的核心關鍵——存在正整數Ψ_m ，使得 ∣S_n-a_m∣lt;α₁ ，這一步驟堪稱解題的根基，絕不可在尚未透徹理解之時，便倉促開啟解題流程.

4.2關聯舊知運用

依數列類型選擇公式，合理進行知識的聯系與關聯.倘若題目所涉及的是等差數列或等比數列，那就得迅速在腦海中喚起等差數列或等比數列的定義、通項公式，以及與之對應的前 n 項和公式.就拿上面探討的“可控數列\"問題來講，一旦確定是等差數列或等比數列，且處于“可控”的情境下，便要巧妙運用這一公式來構建等式，進而推導公差或公比的取值范圍等.

4.3采用分類討論思想

對關鍵要素細分探討，必要時可采用分類討論來深人研究.數列新定義問題中，公比、公差等常常扮演著關鍵角色.以等比數列性質的研判為例，當 q=1 時，數列為常數列，倘若這與題目給定的條件相悖，那便率先將其排除在外；而當 時，再深入地挖掘探究.與之相仿，對于等差數列而言，公差 d=0 時同樣具備特殊性質.基于新定義所提出的嚴苛要求，針對這些關鍵參數的不同取值狀況展開分類討論，力求做到滴水不漏，全方位保障解題的嚴謹性與完整性.

4.4舉例驗證輔助

借特殊值校驗結論，有時是解決新定義問題的“巧技妙法\"之一.在推導進程中好不容易斬獲諸如公差或公比的取值范圍之后，不妨順手括來幾個簡潔明了的特殊值，將其代入原題中，檢驗是否切實契合新定義的內涵與實質.如以上的“可控數列”的定義，借助舉例驗證輔助來處理，這般操作，一方面能夠為答案的準確性保駕護航；另一方面，這些特殊情形恰似一把把銳利的手術刀，能夠助力我們更加深刻地洞悉問題的內在邏輯，及時察覺解題路徑上可能潛藏的漏洞，進而優化整個解題的思路架構.尤其在深陷復雜新定義的泥沼之際，特殊值舉例無疑能夠發揮出撥云見日、一錘定音的神奇功效.

無論采用哪種技巧、方法與應用策略來處理高中數學中涉及數列的新定義問題，關鍵是正確理解題設條件中給出的定義，由給定的數列結合新定義探求數列的相關性質，并進行合理的等價分析、數學運算、邏輯推理等，對學生的分析思維和解題問題的能力有較高的要求.Z