想清辨明關(guān)鍵步驟，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考

1引言

最近聽(tīng)了一節(jié)七年級(jí)期末復(fù)習(xí)課，講評(píng)內(nèi)容是期末模擬試卷中的一道新定義考題.課后，筆者對(duì)這道新定義考題進(jìn)行了深人思考，本文先梳理這道較難題的關(guān)鍵步驟，再給出教學(xué)微設(shè)計(jì)，提供解題教學(xué)課例的研討交流.

2 求解的關(guān)鍵步驟分析

題目數(shù)軸上點(diǎn) A 和點(diǎn) B 分別表示的數(shù)為 Δ_a b（agt;b） ，關(guān)于 x 的方程 ax+b=ab 為線段 AB 的關(guān)聯(lián)方程，方程 ax+b=ab 的解 x 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 P ，若點(diǎn) P 恰落在線段 AB 上，則稱(chēng)點(diǎn) P 為線段 AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

已知數(shù)組 M 共有4051個(gè)數(shù)，數(shù)組 1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， ，一共有13個(gè)數(shù).有理數(shù) a 是數(shù)組 M 中的一個(gè)數(shù)，有理數(shù) b 是數(shù)組 N 中的一個(gè)數(shù)，若線段 AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在數(shù)軸的正半軸上，分析這樣的關(guān)聯(lián)點(diǎn)一共有多少個(gè)？

關(guān)鍵步驟1 理解新定義，初步分析 ^a，b，x 的取值范圍

由關(guān)聯(lián)點(diǎn)定義出發(fā)，解方程 得 x= 由于點(diǎn) P 在線段 _AB 上，所以 b 再結(jié)合“線段 AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在數(shù)軸的正半軸上”，可構(gòu)圖直觀分析如下（圖1）.

結(jié)合圖1可以確認(rèn)， 00 再由 b 簡(jiǎn)化為 ，于是確認(rèn) blt;0 至此，我們初步分析出 ^a，b，x 的取值范圍是 blt;0

相應(yīng)的，所給數(shù)組 M，N 中符合要求的數(shù)也得到“縮減”，比如

“縮減”數(shù)組M：1 還有2025個(gè)正數(shù)符合 a 的取值范圍;

“縮減”數(shù)組 N ：-10，-1，僅剩兩個(gè)數(shù)符合 b 的取值范圍.

關(guān)鍵步驟2 對(duì) b 的取值分類(lèi)討論，進(jìn)一步縮 小 a 的取值范圍.

當(dāng)b =-10時(shí)，x =-10+10， 又 xgt;0 ，即-10 ，解出 alt;1 ，這樣 a 的取值范圍進(jìn)一步“縮小”為 ，相應(yīng)的可進(jìn)一步“縮減”數(shù)組 M 但仍有99個(gè)正數(shù)符合 a 的取值范圍.

再由b_

當(dāng) b=-1 時(shí) ，所以 解得 alt;1 ，同樣也將 α_a 的范圍縮小為 0 即 又遇到了分母中含有未知數(shù)的不等式，仍然無(wú)法直接求出它的解集.看來(lái)，難以繞過(guò)這個(gè)“限制條件”的分析，就讓我們繼續(xù)進(jìn)行下一個(gè)關(guān)鍵步驟的解析.

關(guān)鍵步驟3先以不等式-1+1 1

現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：不等式 ，在數(shù)組 的99個(gè)數(shù)值 a ，有哪些是符合要求的？

考慮到99個(gè)數(shù)值 a 的分母都是100，不妨設(shè) a= （其中 k 取1到99的正整數(shù)），代人 得到 整理為 k²+100kgt;10⁴

接著，依次取值驗(yàn)證.直觀看出， k 的值不能過(guò)小，可考慮從 k=50 開(kāi)始代人驗(yàn)算.

k=50 時(shí)， 50²+5000lt;10⁴ k=60 時(shí)， 60²+6000lt; 10⁴ k=61 時(shí) 61²+6100lt;10⁴ k=62 時(shí)， 62²+6200gt;10⁴ 所以 a 可取 共38個(gè).

同樣的方法可分析不等式 設(shè) 其中 k 取1到99的正整數(shù)），代入不等式 ，得到 整理為0k²+1000kgt;10⁵ .接著，依次取值驗(yàn)證.直觀看出，k 的值不能過(guò)小.

k=70 時(shí) 70²+70000lt;10⁵ k=80 時(shí)， 80²+80000lt; 10⁵ k=90 時(shí) 90²+90000lt;10⁵ k=91 時(shí) 91²+91000lt;10⁵ k=92 時(shí)， 92²+92000gt;10⁵ 確定 a 可取 ，共8個(gè).

綜上，符合要求的關(guān)聯(lián)點(diǎn)共有 8+38=46 個(gè)

3圍繞考題的解題教學(xué)微設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 特例出發(fā)，理解新定義

問(wèn)題1 （1）若 a=1，b=-2 ，寫(xiě)出線段 AB 的關(guān)聯(lián)方程為 ；

（2）已知 若線段 AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn) P 恰為線段 _AB 的中點(diǎn)，求點(diǎn) P 表示的數(shù)；

教學(xué)預(yù)設(shè)： （1）x-2=-2 ；（2）把 代人

方程 ax+b=ab ，解出 x=-2b ；又關(guān)聯(lián)點(diǎn) P 恰為線

段 AB 的中點(diǎn)得 ，所以 ，解

得 ，即點(diǎn) P 表示的數(shù) 2號(hào)

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 拾級(jí)而上，解決鋪墊問(wèn)題

問(wèn)題2（1）當(dāng) 時(shí)，判斷點(diǎn) P 是否為線段 AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)？說(shuō)明理由；

（2）若線段 AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在數(shù)軸的正半軸上，試判斷 ^a，b 的取值范圍;

教學(xué)預(yù)設(shè)：（1）由 解得 x=2 ，顯然點(diǎn) P 不在線段 AB 上，即點(diǎn) P 不是線段 _AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；第（2）問(wèn)對(duì)應(yīng)著上文“關(guān)鍵步驟1”的解析過(guò)程，這里略去.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 出示難題，引導(dǎo)交流展示問(wèn)題3 完整呈現(xiàn)問(wèn)題1，2.

教學(xué)預(yù)設(shè)：有序組織學(xué)生探究上文思路解析過(guò)程中的“關(guān)鍵步驟2”“關(guān)鍵步驟3”.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 小結(jié)回顧，布置變式練習(xí)

小結(jié)問(wèn)題1：求解本課新定義考題時(shí)出現(xiàn)了好幾處“關(guān)鍵步驟”，你對(duì)哪一個(gè)“關(guān)鍵步驟”印象較深，說(shuō)說(shuō)你的理解；

小結(jié)問(wèn)題2：本課中出現(xiàn)一些計(jì)算量較大的步驟，你對(duì)這類(lèi)計(jì)算題的簡(jiǎn)化運(yùn)算積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？

布置變式練習(xí)：（1）當(dāng) a=3，b=-2 時(shí)，判斷點(diǎn)P 是否為線段 AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)？說(shuō)明理由；

（2）已知 若線段 _AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn) P 恰為線段 AB 的中點(diǎn)，求點(diǎn) P 表示的數(shù);

（3）已知 其中 k 取正整數(shù)）時(shí)，若線段 AB 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在數(shù)軸的正半軸上，試分析符合題意的 k 的個(gè)數(shù)

設(shè)計(jì)意圖：第（1）問(wèn)對(duì)應(yīng)著“問(wèn)題2”第（1）問(wèn)；第（2）問(wèn)對(duì)應(yīng)著“問(wèn)題1”的第（2）問(wèn)；第（3）問(wèn)對(duì)應(yīng)著上文思路分析中的“關(guān)鍵步驟 3ⁿ ，符合題意的正整數(shù) k 可取 62～99 ，即 k 的個(gè)數(shù)有38個(gè).

4結(jié)語(yǔ)

上文主要整理了一道七年級(jí)新定義考題的幾處“關(guān)鍵步驟”，并且給出解題教學(xué)微設(shè)計(jì)，在開(kāi)展教學(xué)實(shí)施時(shí)還要注意調(diào)控各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之間的“平衡”這里也可提及文[1」中對(duì)“教學(xué)平衡”的相關(guān)論述，“數(shù)學(xué)教學(xué)中的平衡主要包含了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)提示語(yǔ)、課堂處理方式、教學(xué)材料選取等方面.”比如，學(xué)生對(duì)某些課前預(yù)設(shè)之外的解題步驟還有困難時(shí)，教師要根據(jù)學(xué)情適當(dāng)追問(wèn)；如果對(duì)有些關(guān)鍵步驟學(xué)生反而能快速突破，則教師也可“快速通過(guò)”，不必囿于課前預(yù)設(shè).另外，圍繞這類(lèi)新定義較難題的解題教學(xué)還應(yīng)預(yù)留出足夠的時(shí)間組織學(xué)生“解后回顧”，促進(jìn)學(xué)生歸納概括、交流分享處理這類(lèi)問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn).涂榮豹教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)對(duì)象的概括，一般經(jīng)過(guò)5個(gè)階段：觀察階段、抽取階段、篩選階段、推廣階段、確認(rèn)階段”[2].我們希望通過(guò)這樣的解題教學(xué)讓學(xué)生在“學(xué)解題”過(guò)程中真正走向“學(xué)會(huì)思考”.

參考文獻(xiàn)

[1]于道洋，寧連華.試論數(shù)學(xué)教學(xué)中的“平衡”［J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（1）：28～30.

[2]涂榮豹.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的概括[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（1）：17～22.