2025年數學新高考Ⅰ卷第8題的深度解析與拓展

代數式或參數值的大小比較是近年高考數學試卷中的熱點問題之一.此類問題以兩至三個的代數式或參數值的大小比較來設置，通過單項選擇題或多項選擇題的形式設計，有效交匯并融合函數與方程、不等式及其基本性質、函數與導數等相關知識，從中合理“串聯”起相應的基本初等函數模型，以及相應的代數運算與圖象性質等

1 真題呈現

題目（2025年數學新高考Ⅰ卷 ?8 ）若實數_{x，y，z} 滿足 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z ，則 x，y z 的大小關系不可能是（ ）.

該題與2024年高考試題中對于“增長速度”的試題具有相同之處.函數圖象思維，數形結合，以及特殊值驗證法等都是非常不錯的解題思路

2真題破解

解法1 （函數圖象法1）令 t=2+log₂x=3+ log₃y=5+log₅z ，得 x= （204 g（t），z=5^t-5=h（t）

在直角坐標系中作出以上三個函數的圖象，如圖1所示.顯然以上三個函數的圖象分別由 x=2^t ，y=3^t，z=5^t 的圖象向右平移而來的，在 （-∞，0） 號上的大小關系為 2^tgt;3^tgt; 5^t ，在向右平移后的三個函數的圖象依然保持此大小關系（底數小的平移量更多）.結合指數函數的增長速度可知，當 χ_t 足夠大時，一定有 2^t-2lt;3^t-3 lt;5-5

圖1

下面判斷中間的過渡過程：

當 t=4 時

當 t=5 時 ，f（5）=2³=8，g（5）=3²=9，h（5） ，即存在 t₁∈（4，5） ，使得 f（t）=g（t） ，當tgt;t₁ 后 ：

當 t=8 時 ，f（8）=2⁶=64，g（8）=3⁵=243 h（8）=5³= 125 ，即存在 t₂∈（5，8） ，使得 f（t）= h（t） ，當 tgt;t₂ 后 f（t）

顯然存在 t₃∈（8，+∞） ，使得 g（t）=h（t） ，當tgt;t₃ 后， g（t）

綜上，當 t1 時 ，f（t）gt;g（t）gt;h（t） ，即 xgt; ygt;z ；當 t₁2 時 ，g（t）gt;f（t）gt;h（t） ，即 ygt; xgt;z ；當 t₂3 時 ，g（t）gt;h（t）gt;f（t） ，即 ygt; zgt;x ;當 tgt;t₃ 時， h（t）gt;g（t）gt;f（t） ，即 zgt;ygt; x ；所以選項 A，C，D 可能成立，選項 B 不可能成立.故選 B

解法2（函數圖象法2）令 ，由 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z ，可得

圖2

，作出函數的圖象，如圖2所示.其中直線 y=a 與三個函數的對應交點的橫坐標分別為 t₁，t₂，t₃ 、當直線 上下平移時來分析對應交點的橫坐標 t₁，t₂，t₃ 的大小，進而來確定 x _y，z 的大小關系.這里關鍵在于判斷 與 的大小關系.

由 這里應用 gt;20 ），則知 m

結合直線 從上到下的平移，數形結合可知 x，y，z 的大小關系可能為： x

點評函數圖象思維處理此類問題時，依托對應函數的圖象與直觀想象，全面細致地剖析對應參數之間的大小關系，以及大小關系成立時的對應條件等全面信息，給問題的全面剖析創造條件.

解法3（特殊值驗證法）取 z=1 ，得 2+log₂x =3+log₃γ=5+log₅1=5+0=5 ，解得 x=2³= 8，y=32=9，故選項C成立；取z=， ，得2+log2x 1=5-1=5，解得x=22=4，y=3¹=3 ，故選項 A 成立；取 z= 125 ，得 ²⁺ log₂x= 3+log₃y= 5+log₅125= 5+ 3= 8 ，解得 x =2⁶=64，y=3⁵=243 ，故選項 D 成立.綜上，故選B

解法4（參數關系驗證法）令 log₂x=t ，由 ²⁺ log₂x= 3+log₃y= 5+log₅z ，得 x=2^t，y=3^t-1，z z= 5^t-3 .當 t=0 時，此時滿足 ，故選項 A 成立;當 t=3 時，此時滿足 =8 ，故選項 D 成立.

綜上，故選 B

點評特殊值思維處理此類問題時，由于結果的多樣性，可能會出現不同特殊值的選取而對應的結論是相同的情況，從而導致特殊值驗證的過程比較復雜.但借助特殊值的選取，可以排除不滿足條件的選項，因此，該方法是解決此類問題的一種基本技巧.

3 變式拓展

同類變式 若正實數 _x，y，z 滿足 log₂x=log₃y= l0gsgt;0，則，， 的大小關系不可能是.

解析設 k=log₂x=log₃y=log₅zgt;0 ，可得 所以

（i）若 0 在（0，+∞ ）上遞減，可得 A 成立；（ii）若 k=1 ，則函數 f（x）=x^k-1=1 ，可得 B 成立；（iii）若 kgt;1 ，則函數 f（x）=x^k-1 在 （0，+∞） （2上遞增，可得 c 成立.

綜上，故選 D

類比變式 （原創題）若非負實數 _x，y，z 滿足2 ，則 _{x，y，z} 的大小關系不可能是

解析取特殊值 z=0 ，可得 ，解得 x=3²=9，y=2³=8 ，此時選項 A 成立；取特殊值 z=1 ，可得 ，解得 x= 4²= 16，y= 3³ （2=27 ，此時選項 C 成立;取特殊值 z=2⁵=32 ，可得 ，解得 x=5² =25，y=4³=64 ，此時選項 D 成立.綜上，故選 B

4結語

代數式或參數值的大小比較其實質是依托函數與方程、不等式等基礎知識，綜合運用單調性、估值運算、構建函數、切線放縮、泰勒展開、二次求導等方式來實現問題的突破與求解.正確把握解決相關大小比較問題的“通技通法”，以及處理問題的“巧技妙法”，全面落實“四基”，扎實數學思想方法，提升數學能力，優化數學品質，培養數學核心素養.