高考數(shù)學(xué)函數(shù)常考知識(shí)點(diǎn)與題型分析

關(guān)鍵詞高考數(shù)學(xué)；函數(shù)知識(shí)點(diǎn);?？碱}型

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的關(guān)鍵組成部分，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程.在高考數(shù)學(xué)中，函數(shù)相關(guān)內(nèi)容不僅是必考要點(diǎn)，而且考查形式多樣，難度層次豐富，既涉及對(duì)函數(shù)基本概念，性質(zhì)，圖像等基礎(chǔ)知識(shí)的考查，又著重對(duì)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題能力的檢驗(yàn).本文通過(guò)實(shí)例就其?？碱}型及

其求解予以分析.

例1（2022年全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)第12題）已知函數(shù) ，若 f（a）gt; f（b） ，且 0?aa，b 滿(mǎn)足的關(guān)系.

解析 由 得 -1

又f（x）= ln（1 + ） + ln（1 -）= In（1+x）（1-x） .設(shè) t=1-x² ，則 t（x） 在區(qū)間[0，1）上關(guān)于 x 單減.而函數(shù) 在其定義域 （0，+∞） 上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù) \"- 同增異減 \"- 的性質(zhì)，可知函數(shù) 在[0，1）上單調(diào)遞減.

因?yàn)?f（a）gt;f（b） ，且 0?a2gt;b² ，即 （a-b）（a+b）gt; 0又因?yàn)?a-blt;0 ，所以 a+blt;0 不成立（因?yàn)?0? a0 所以 ^a，b 滿(mǎn)足 a-blt; 0且 a+bgt;0

評(píng)注本題的關(guān)鍵在于通過(guò)對(duì)函數(shù)的化簡(jiǎn)和對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的分析，利用函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)，由函數(shù)值的大小關(guān)系推導(dǎo)出自變量的關(guān)系.重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解和運(yùn)用能力，以及邏輯推理能力.

例2（2023年新高考I卷數(shù)學(xué)第16題）已知函數(shù) ，若 f（x）≥1 恒成立，求 a 的值.

解析 函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)?（0，+∞） ，由f（x）?1 恒成立，可得 恒成立.

當(dāng) ，即 x=1 時(shí)，此時(shí) a 可取任意實(shí)數(shù)當(dāng) lnxgt;0 ，即 xgt;1 時(shí)，則有 恒成立.

，則 令 h（x）=xlnx-x+1 ，且 當(dāng) xgt;1 時(shí)， 在（1，+∞） ）上單調(diào)遞增，所以 h（x）gt;h（1）=0 ，從而g^′（x）gt;0 ，即 g（x） 在 （1，+∞） 上單調(diào)遞增.根據(jù)洛必達(dá)法則 ，因?yàn)? 恒成立，所以 a?1

當(dāng) ，即 0 恒成立.同樣，由 g（x） 的導(dǎo)數(shù) g^′（x） 可知 g（x） 在（0，1）上單調(diào)遞增，且 ，因?yàn)? 恒成立，所以 a?1

綜上， a= 1

評(píng)注本題運(yùn)用分離參數(shù)法，將參數(shù) a 分離出來(lái)，構(gòu)造新函數(shù) g（x） .通過(guò)對(duì) g（x） 求導(dǎo)，分析其單調(diào)性和極限值，結(jié)合不同情況下不等式恒成立的條件，確定參數(shù) a 的取值.在解題過(guò)程中，要特別注意根據(jù) lnx 的正負(fù)性來(lái)確定不等式變形時(shí)不等號(hào)的方向，以及對(duì)洛必達(dá)法則的正確運(yùn)用.

例3（2021年全國(guó)甲卷理科）已知函數(shù) f（x） =x²-2x+ae^x ，若函數(shù) f（x） 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a 的取值范圍.

解析因?yàn)楹瘮?shù) f（x） 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以x²-2x+ae^x=0 有兩個(gè)不同的實(shí)根.方程變形為 a （204號(hào)

令 則有 g^′（x） 令 g^′（x）=0 ，解得

當(dāng) 或 時(shí)， g^′（x）gt;0 ，即g（x） 在 和 上單調(diào)遞增;當(dāng) 時(shí)， g^′（x）lt;0 ，即 g（x） 在（20 上單調(diào)遞減.故其極值為 2+，且當(dāng)x→18時(shí)， g（x）0^- ；當(dāng) x+∞ 時(shí)， g（x）?-∞ .要使函數(shù) f（x） 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即直線(xiàn) y=a 與函數(shù) y= g（x） 的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合 g（x） 的單調(diào)性，極值以及極限情況，可得0lt;αlt;-2

評(píng)注本題通過(guò)將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的問(wèn)題.利用求導(dǎo)的方法得到函數(shù) 的單調(diào)性和極值，再結(jié)合函數(shù)在極限情況下的取值，借助判別式法的思路（通過(guò)分析函數(shù)性質(zhì)類(lèi)似于判斷方程根的情況），確定參數(shù) a 的取值范圍.在解題過(guò)程中，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)以及分析函數(shù)的單調(diào)性和極值是關(guān)鍵步驟，同時(shí)要準(zhǔn)確把握函數(shù)在極限情況下的趨勢(shì).

例4（2024年北京卷）已知函數(shù) f（x）=e^x- ax-1 ，若對(duì)于任意的 x₁，x₂∈（0，+∞） ，且 x₁2 ，都有 f（x₂）-f（x₁）gt;2（x₂-x₁） 成立，求 a 的取值范圍.

解析 由 f（x₂）-f（x₁）gt;2（x₂-x₁） 得f _x2）- 2x₂gt;f（x₁）-2x₁ 令 2）x-1 對(duì)任意的 x₁，x₂∈（0，+∞） ，當(dāng) x₁2 時(shí)，都有 g（x₂）gt;g（x₁） ，所以 在區(qū)間 （0，+∞） 上單調(diào)遞增.從而 g^′（x）?0 在 （0，+∞） 上恒成立.

對(duì) g（x） 求導(dǎo)得 g^′（x）=e^x-（a+2） ，所以 e^x- （a+2）?0 在 （0，+∞） 上恒成立.即 a+2?e^x 在（0，+∞） 上恒成立.又因?yàn)?e^xgt;1 ，所以 a+2?1 即 a?-1 ：

評(píng)注本題通過(guò)已知條件構(gòu)造函數(shù) g（x） ，判斷 的單調(diào)性.再利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得到參數(shù) Δ_a 的取值范圍.關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解函數(shù)單調(diào)性的概念，并能熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解.

例5（2022年天津卷）已知函數(shù) 2ax+1 ，若對(duì)于任意的 x∈[1，2]，f（x）?0 恒成立，求 Ψ_a 的取值范圍.

解析函數(shù) f（x） 對(duì)稱(chēng)軸為 x=a. 接下來(lái)討論對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系.

當(dāng) a?1 時(shí)，函數(shù) f（x） 的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[1，2]左側(cè) I（x） 在[1，2]上的最小值為 2-2a 因?yàn)?f（x）?0 在[1，2]上恒成立，所以f（x）_min?0 ，即 2-2a?0 解得 a?1 ：

當(dāng) 1 1-a² .因?yàn)?f（x）?0 在[1，2]上恒成立，所以f（x）_min?0 ，即 1-a²?0 ，解得 -1?a?1. 再由1

當(dāng) a?2 時(shí)，函數(shù) f（x） 的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[1，2]右側(cè)，此時(shí) f（x） 在[1，2］上的最小值為 f（2）=5-4a. 因?yàn)?f（x）≥0 在[1，2]上恒成立，所以 f（x）_min?0 ，即 5-4a?0 解得 又因?yàn)閍?2 ，所以 a 無(wú)解.

評(píng)注本題屬高考函數(shù)中的恒成立問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題零綜合運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合不等式的解證方法，其問(wèn)題形式條例，解法也不一，具有較強(qiáng)的綜合性綜上， a 的取值范圍是 （Φ-∞，1]

高考數(shù)學(xué)中函數(shù)部分的必考知識(shí)點(diǎn)豐富多樣，?？碱}型靈活多變且具有一定的綜合性和難度.學(xué)生在備考過(guò)程中，需扎實(shí)掌握函數(shù)的基本概念，性質(zhì)，圖像等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練運(yùn)用各種解題方法和技巧.培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維能力，如邏輯推理，抽象概括，運(yùn)算求解.教師教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)對(duì)高考真題的深入分析和講解，引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，掌握解題的方法和技巧.