指向學生遷移創新能力培養的一道高考題教學探索

《普通高中數學課程標準》明確指出，數學教學肩負著培養學生數學思維能力、提升數學素養的重任，而知識遷移能力與創新意識在此過程中占據著舉足輕重的地位.課程標準倡導學生通過“數學探究”“數學建模”等多樣化的學習活動，積極主動地將已掌握的知識、方法靈活運用到全新的情境中.同時，標準著重強調鼓勵學生大膽突破常規思維的束縛，在解決數學問題時勇于嘗試創新思路與方法，積極體驗數學發現與創造的全過程，以此不斷發展他們的創新意識，為學生的終身發展以及適應未來社會的多元化需求筑牢根基.2024年全國I卷第11題考查曲線軌跡方程，綜合且創新.它為培養知識遷移能力、創新意識提供素材.教材對圓錐曲線研究的方法經驗，若遷移到本題教學，能幫學生理解知識聯系，靈活運用知識，培養學生的創新意識，促進學生知識遷移能力提升.

1 試題呈現

題目已知 C 過坐標原點o ，且 C 上的點滿足：橫坐標大于-2，到點 F（2，0） 的距離與到定直線 的距離之積為4，則（ ）

A. a=-2 B.點 在 c 上 圖1C.曲線 c 在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點 （x₀，y₀） 在曲線 c 上時，

本題聚焦軌跡方程、函數極值以及不等式等知識點，著重考查學生的直觀想象、邏輯推理以及數學運算等核心素養考查.本題摒棄了傳統的圓錐曲線（橢圓、拋物線和雙曲線）作為考查載體，轉而選用了一種別具特色的有理曲線，以此創新試題情境，

2 一題多解提升思維

2.1 選項 AB 的探究

法一（幾何法）依題意知 o 到直線 x= a（Φ_alt;0） 距離為 -a ， ∣OF∣=2 ，結合曲線 C 的幾何定義可得 -2a=4=a-2 ，故選項 A 正確；設曲線c 最右端點為 A（x，0）（xgt;2） ，則點 A（ρ_x，0） 到直線 x =-2 距離為 x+2 ， |AF|=x-2 ，結合曲線 c 的幾何定義可得 （x+2）?（x-2）=4 ，解得 ，故選項 B 正確.

法二 （解析法） 曲線 c 上任取一點P（x，y） ，結合曲線 c 的幾何可得 ∣x-a∣=4 且 xgt;-2 因為 O（0，0） 在曲線 c 上，代入曲線 C 方程得 （0-2）²+0²×|0-a|=4 ，解得 Ω_a =-2 ，故選項 A 正確.曲線 C 方程為 ×∣x+2∣=4 ，結合 xgt;-2 可化為 （204號 當 時， ，所以點 在 c 上，故選項 B 正確.

評注在解析本題 A，B 兩個選項時，解法一利用題設中曲線 C 的幾何條件：到點 F（2，0） 的距離與到定直線 x=a（alt;0） 的距離之積為4解決問題.

解法二是借鑒了教材中關于圓錐曲線軌跡方程求解的直接方法，實現了知識的遷移應用.教材中在研究橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程時，常根據圓錐曲線的定義，通過設動點坐標，利用距離公式建立等式關系來求解.在本題中，從題目給定的幾何條件出發，通過代數化建立方程，進而求得曲線 c 的軌跡方程，最后用解析法對選項 _A，B 作出判斷.

2.2 選項 C 的探究

法一（特殊法）取 ，代人曲線 c 方程 y² （x+2）2-（x-2）2，可得y2 ，所以∣y∣gt;1 ，故 C 錯誤.

法二 （函數法）曲線 c 方程可化為 y²= （x+2）2設f（x）=x+2）2（xgt;0），則f（x）=-2x（x2+4x2-16）設 g（Φ_x）=x³+4x²-16（Φ_xgt;0） ，由 g^′（x）=3x²+8x gt;0 ，知 g（Φ_x） 在 （0，+∞） 上單調遞增．又 g（1）= -11lt;0，g（2）=8gt;0 ，結合零點存在定理知，存在x₀∈（1，2） ，使得 g（Ψ_x0）=0，f（Ψ_x） 在 上單調遞增， ^（x₀，2^） 上單調遞減，所以 f（2）=1 ，即 f（x₀）=y_max²gt;1 ，所以 y_maxgt;1. 故選項C 錯誤.

法三（反證法）假設選項 C 是正確的，由f（2）=1 ，知 x=2 是曲線 c 在第一象限的極大值點，這與 f（2）=-2 矛盾.因此，原假設不成立.

法四 （微觀法）結合 f（2）=1，f（2）=-2 ，根據導數的數學定義，可以判斷在點（2，1）附近，函數值呈現遞減的趨勢.所以在點（2，1）的左側，曲線 c 上存在位置更高的點.因此，可以推斷（2，1）并非曲線 c 上的最高點.

評注上述四種方法均采用了解析幾何的視角，通過探究曲線 c 的軌跡方程以及運用函數分析的手段來尋求解答.

2.3 選項D的探究

法一 （分析法）要證 只需證 y₀²? （x+2）2，因為點（x，y）在曲線C上，所以y2=（x+2）2-（x0-2）2，即證 （ +2）z，不等式顯然成立，故選項D正確.

法二 （分析法）曲線 c 軌跡方程可化為 x+2要證y≤ 即證 ．因為 ∣y₀∣?y₀ ，顯然成立，故選項 D 正確.

法三 （放縮法）因為點 Ξ（Λ_x0，y0） 在曲線 c 上，所以 （x0+2）2，解得 故選項 D 正確.

評注 上述三種解法也是從解析幾何觀點，利用曲線 C 軌跡方程求解.法一、二運用分析法將不等式 化歸轉化為顯然成立的不等式 ?∣_y0∣?y₀ ，從而得到解答.

3一題多變發展素養

變式2022 年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”已知雙紐線 c 上的點滿足：到定點 0）距離之積等于定值 c²（cgt; 0），則（ ）

圖2

A. |PO| 的最大值為 B. P 到定點 F₁，F₂ 距離之和的最小值為 2c C．雙紐線 c 是中心對稱圖形D.

3.1 選項 A 的探究

法一（解析法）雙紐線 C 的軌跡方程為 令 y=0 ，得x²=2c² 或 x²=0 ，由題意知， 0?x²?2c² ：

設 ，則方程 ： 可化為 （?_t+c²+2cx） ：（t+c²-2cx）=c⁴ ，化簡得 即 ?2c² ，解得 -4c²?t?2c² .由 t?0 ，可得 0?t? 2c² ，所以 ，當點 P 在 x 軸上（除原點）時，“ Σ=Σ ”成立，所以 |PO| 的最大值為 ，故選項 A 錯誤.

法二（幾何法）當 P，O 兩點重合時， |PO|= 0.當 P，O 兩點不重合時，點 P，F₁，F₂ 不共線，在ΔPF₁F₂ 中，由余弦定理得 ∣F₁F₂∣²=∣PF₁∣²+ （20|PF₂|²-2|PF₁|?|PF₂|cosF₁PF₂|O ，即 ∣PF₁∣²+ ∣PF₂∣²- 2∣PF₁∣?∣PF₂∣cosF₁PF₂=4c² ．因為F₁（-c，0），F₂（c，0） 關于原點 o 的對稱，所以 ，平方得 ，聯立 ①② 得 +|PF₁|?|PF₂|cos∠F₁PF₂=c²+c²cos∠F₁PF₂? 2c² ，當 P 在 x 軸上（除原點）時，“ σ=σ ”成立，故 ，選項 A 錯誤.

3.2 選項 B 的探究

（幾何法） =2c ，當且僅當 |PF₁|=|PF₂| 時等號成立，故 B 正確.

3.3 選項 C 的探究

法一（解析法）設點 P（x，y） 是雙紐線 C 上任一點，則點 P 關于原點 o 的對稱點 P₁（-x，-y） .因為 （204 ，所以P₁（-x，-y） 在雙紐線 C 上.故雙紐線 c 關于原點 o 中心對稱，選項 C 正確

法二（幾何法）設點 P（x₀，y₀） 是雙紐線 c 上任一點，則點 P（x₀，y₀） 關于原點 o 的對稱點 P₁（ε- x₀，-y₀） .因為 也關于原點 o 的對稱，所以 ∣PF₁∣=∣P₁F₂∣，∣PF₂∣=∣P₁F₁∣ ，代人雙紐線 c 幾何關系式 ∣P₁F₁∣?∣P₁F₂∣=∣PF₂∣ ∣PF₁∣=c² ，所以點 P₁（-x₀，-y₀） 也在雙紐線 c 上，故雙紐線 c 關于原點中心對稱，選項 D 正確

3.4 選項 D 的探究

法一（解析法）雙紐線 c 的軌跡方程為 整理得 x⁴+ （204號 （2y²-2c²）x²+2c²y²+y⁴=0 ，則 Δ=（2y²-2c²）² （2-4（2c²y²+y⁴）?0 ，整理得 4y²?c² 即.因為點 P 在雙紐線上，所以 ，故選項 D 正確.

法二（幾何法）當 y₀=0 時，若 x₀=0 ，∣PF₁∣?∣PF₂∣=c² ，則點 P（0，0） 在雙紐線 C 上；當y₀≠0 時，點 P，F₁，F₂ 不共線， （204 因為點 P（x₀ ，y₀ ）在雙紐線 c 上，則 ∣PF₁∣?∣PF₂∣=c² ，所以 可化為 ，化簡得 ∣y₀∣= （20 ，僅當 時，“=”成立.當x=± 時，雙紐線 C 的軌跡方程方程有解，符合題意，所以 故選項 D 正確

4 教學反思

4. 1 知識遷移重要性

在高中數學教學中，知識遷移能力占據著不可忽視的關鍵地位.以2024年新課標全國 I 卷數學第11題以及2022年卡塔爾世界杯賽徽近似的“伯努利雙紐線”相關題目為典型為例，這些試題突破傳統圓錐曲線考查的固有框架，精心創設出充滿新意的問題情境.倘若學生僅僅滿足于機械記憶知識點，生硬套用常規解題步驟，面對此類新穎題目時，極有可能陷入思維困境，茫然不知所措

我們應積極引導學生把教材里圓錐曲線的研究方法，諸如定義法、直接法等巧妙遷移到全新的曲線問題中這一遷移過程，不只是助力學生攻克具體難題，更促使他們深度洞悉數學知識之間盤根錯節的內在聯系，真切體悟到數學思想方法的通用性與靈活性.例如在解決曲線相關性質問題時，不管是判斷點與曲線的位置關系，還是探尋曲線某一特征的最值，知識遷移在數學學習進程中扮演著關鍵角色，它是學生實現知識融會貫通，提升綜合素養的重要橋梁.更為重要的是，知識遷移為創新能力的培養提供了肥沃土壤.學生在不斷遷移知識的過程中，逐漸打破思維定式，開始嘗試從不同角度去思考問題、解決問題，為創新思維的萌芽奠定了基礎.

4.2“一題多解”與“一題多變”策略“一題多解”和“一題多變”是高中數學教學中培育學生思維能力、創新素養的兩把“金鑰匙”.在對高考題的深度教學探索中，針對同一道題目的不同選項，我們充分展現了多種解法的魅力.在解析2024年新課標全國1卷數學第11題時，選項 _A，B 分別從幾何觀點和解析幾何觀點給出了不同的解答路徑，選項 C 運用特殊值法、函數法、反證法、微觀法等四種截然不同的方法進行剖析，選項 D 也借助分析法、放縮法等多種思路巧妙破解.這種一題多解的教學方式，如同為學生打開了多扇觀察問題的窗戶，極大地拓寬了他們的思維視野，讓學生對知識的理解更加深人透徹.更為關鍵的是，在一題多解的過程中，學生的思維被充分激活，他們會思考不同解法背后的邏輯聯系，嘗試將不同的思路進行融合創新，這無疑為創新能力的培養提供了直接的思維鍛煉機會.

“一題多變”則通過巧妙改變題目條件，引領學生探索全新的曲線特征和解題策略.例如，改變題自中的定點坐標、定直線方程，或者別出心裁地調整距離的計算方式，讓學生重新推導曲線方程并深入分析性質變化.以雙紐線相關題目為例，學生在分析過程中積極運用與原高考題類似的研究方法，進一步鞏固了知識遷移的能力.在這一充滿挑戰與樂趣的過程中，學生的好奇心被充分點燃.他們主動將已有的解題方法和知識靈活遷移到新的問題情境中，在不斷探索和嘗試中，逐漸突破傳統思維的束縛，形成創新思維.這兩種策略相輔相成，“一題多解”為“一題多變”提供了豐富的思維素材和方法儲備，“一題多變”則為“一題多解”創造了更多實踐和創新的機會，二者共同發力，讓學生在不斷變化的問題中深化對知識的理解和掌握，切實提高學生的數學素養、遷移創新能力，為學生的數學學習之路點亮明燈，助力他們在未來的學習和生活中，能夠以創新的思維和方法應對各種挑戰。