一道聯考橢圓試題的探究與思考

摘要本文從不同的角度給出了2025年八省聯考第18題的幾種求解方法，并將結論推廣至一般情形的橢圓中，最后給出了一些教學建議.

關鍵詞八省聯考；橢圓問題

2025年八省新高考適應性測試試卷中第18題是一道以橢圓為背景的，考查直線與橢圓，圓與橢圓的綜合性試題，此題對于解析幾何的復習教學有諸多啟示啟示.文章從試題的解答出發，進而得到其背景溯源，再將試題結論推廣到一般的橢圓中，最后給出一些關于解析幾何的教學建議.

1 試題呈現

題目 已知橢圓 c 的離心率為 ，左，右焦點分別為 F₁（-1，0），F₂（1，0）

（1）求 c 的方程；

（2）已知點 M₀（1，4） ，證明：線段 F₁M₀ 的垂直平分線與 c 恰有一個公共點；

（3設 M 是坐標平面上的動點，且線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點，證明 M 的軌跡為圓，并求該圓的方程

試題以橢圓為載體，第（1）問考查橢圓的簡單幾何性質，易得 c 的方程為 ；第（2）問考查直線與橢圓的位置關系，先表示出線段 F₁M 的垂直平分線方程，再與橢圓的方程聯立運用一元二次方程的判別式即可證明結論；第（3）問是探究動點的軌跡問題.設問有一定的新穎性，具有較高的區分度和選拔功能.本文重點對試題的第（3）問進行研究

2 試題第（3）問解答探究

解法1 設 M（ρ_x0，y0） ，當 y₀=0 時， F₁M 的垂直平分線為 ，此時0-1 ，所以 x₀= 5或 x₀=- 3

當 y₀≠0 時， F₁M 的垂直平分線為 代人橢圓方程得 因為線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一公共點，所以由 得 ，即（y₀²+x₀²+2x₀+1）（y₀²+x₀²-2x₀-15）=0. 又因為 y₀²+x₀²+2x₀+1gt;0 ，所以 y₀²+x₀²-2x₀ -15= 0 ，而（5，0），（-3，0）也滿足上式，所以 M 的軌跡方程為 y²+x²-2x-15=0 ，即 （x-1）²+y²= 16，軌跡為以（1，0）為圓心，4為半徑的圓.

評注解法1依據條件先表達出線段 F₁M 的垂直平分線方程，然后構建動點 M 的坐標滿足的方程，進而得到證明．其難點在于化簡方程 y₀⁴+ （2x₀²-14）y₀²+x₀⁴-18x₀²-32x₀-15=0 ，體現了新高考要求深化基礎性知識考查的理念.事實上，若以 y₀ 為主元，運用一元二次方程的求根公式尋找 x₀ 與 y₀ 的關系，也可解決問題，讀者可自行探索.

解法2 設線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點為 P（x₀，y₀） ， F₁M 的中點為 Q（x₁，y₁） .易得 c 在點 P（x₀，y₀） 處的切線方程為 即 3x₀x+4y₀y=12 直線 F₁M 的方程為 3x₀y-4y₀x =4y₀ ，又點 Q（x₁，y₁） 在 3x₀x+4y₀y=12 上，也在（204號 3x₀y-4y₀x=4y₀ 上，則 3x₀x₁+4y₀y₁=12，3x₀y₁. 14y₀x₁=4y₀ .由兩式得 144+16y₀² 又因為 P（x₀，y₀） 在 C 上，則 3x₀²+4y₀² Δ= 12 ，即 36x₀²+48y₀²=144 ，代人 （9x₀²+ 6y₀²）（x₁²+y₁²）=144+16y₀² 得 （9x₀²+ （204號 ，所以 x₁²+ y₁²= 4. 又 Q 為 F₁M 的中點，設 M（x，y） ，則 x₁= （204號y=，所以2+2 ，化簡整理得 （x-1）²+y²=16 ，所以點 M 的軌跡為以（1，0）為圓心，4為半徑的圓.

評注動點 M 的位置受線段 F₁M 的中點 Q 的位置影響，因此依據條件構建動點 Q 的軌跡，進而求得動點 M 的軌跡.解法2需要深入理解軌跡形成的原因，剖析點與點的位置依賴關系，構建動點間坐標的聯系．值得一題的是相關點法也是研究動點軌跡的重要思維方法.

解法3當 F₁M 與坐標軸平行時， M 的坐標為 或（5，0），容易驗證這四個點都在圓 （x-1）²+y²=16 上.以下證明運用參數方程證明一般情況下 M 的軌跡方程是（x-1）²+y²=16. 設線段 F₁M 的垂直平分線與 c 恰有一個公共點為 P

當 F₁M 不與坐標軸平行時，設 P 坐標為（ 2cosθ ， F₁M 的中點為 N ，則垂直平分線 PN 的方程 直線 F₁M 的方程為 聯立得 3xcosθ+4（x+1）tanθsinθ=6 ，即 x 則 根據幾何關系有 ，計算得 所以 （x_M-1）²+y_M²= （24 =16 ，故 M 的軌跡方程是 （x-1）²+y²=16 ，是以（1，0）為圓心，4為半徑的圓.

評注解法3的解題思路是先猜后證法，即先由動點 M 取特殊位置，求出動點所在圓的方程，再證明對于 M 的一般位置也成立.先猜后證法常常借助幾何元素的特殊位置、極限位置、幾何圖形的對稱性等探究結果，再運用幾何方法或者代數方法證明一般情況.

解法4如圖1，設線段 F₁M 的垂直平分線 l 與C 恰有一個公共點為 P. 則當點 P 不在長軸時，線段F₁M 的垂直平分線 ξ_l 即為點 P 處的切線，也為∠F₁PM 的角平分線，作 ∠F₁PF₂ 的角平分線 PH. 銀據橢圓的光學性質得 PH⊥l ，所以 ∠F₁PE+ ∠F₁PH=90^° ，則 ∠F₂PH+∠EPM=90^° ，故∠F₂PF₁+∠F₁PM=180^° ，所以 M，P，F₂ 三點共線，所以 ∣MF₂∣=∣MP∣+∣PF₂∣=∣PF₁∣+∣PF₂∣=4 ，

所以點 M 的軌跡是以 F₂ 為圓心，4為半徑的圓.當 P 在橢圓長軸上時， M 點為（5，0）或（-3，0）也滿足 |MF₂|=4 所以點M 的軌跡為以（1，0）為圓心，4為半徑的圓.

圖1

評注 解法4基于 橢圓的光學性質，從幾何

角度給出問題的解答，構思精巧，幾何直觀性強，有利于提升學生的幾何直觀素養和運用數形結合解決問題的能力，

3結論推廣

結論 已知橢圓 的左，右焦點分別為 F₁，F₂ 設 M 是坐標平面上的動點，且線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點，M 的軌跡方程為 （x-c）²+y²=4a²

證明若線段 F₁M 的垂直平分線與 c 恰有一個公共點分別是橢圓的左，右頂點和上頂點時，點 M 的坐標分別為 （?-2a+c，0） ， （2a+c，0），（-c，2b） 經過這三點的圓方程為 （x-c）²+y²=4a² 下面證明： M 的軌跡為圓 （x-c）²+y²=4a² 設點 M 的坐標為 （Φ_x0，y₀） ，當 y₀≠0 時，線段 F₁M 的垂直平分線方程為

代人橢圓方程得 Θ=Θ0 ，則由 （2即 （x₀²+y₀²+2cx₀+c²）（x₀²+y₀²-2cx₀+c²-4a²）=0. （20因為 x₀²+y₀²+2cx₀+c²gt;0 ，所以 x₀²+y₀²-2cx₀+c² （20-4a²=0 ，即 當 y₀=0 時，顯然有 （x₀-c）²+y₀²=4a². 因此，點 M 的軌跡方程為（x-c）²+y²=4a². （204號

其他類型的圓錐曲線中是否有類似的結論留給讀者探究.

4教學建議

（1）重視教材，研究教材 教材是教學的載體，教師在日常教學中要，深入研究教材的內容體系，方法體系，抓住教學之根本．深入研究教材中的一些例題、習題，進行改編，重組，綜合，使之適應教學之需要，提高教學效果

（2）研究真題，立足高考高考是對高中學生學習質量的一次重要評價.教師要認真研究高考試題，制定詳細的備考計劃，引領學生掌握必備基礎知識，提高綜合能力，從容地應對高考.