《數學通訊》第697問題的多解、推廣及拓展

題目已知非負實數 ^{a，b，c} 滿足 a²+b²+c²= 6，求 P=6（a+b+c）-abc 的最大值.

多元函數最值問題與不等式，函數等緊密相關，是數學競寒中常見的題型.該題結合平方和條件與多元函數，具有較高的綜合性，能有效培養學生代數變形，函數分析，以及解決復雜問題的能力，

1 解法探究

解法1（均值不等式法）由均值不等式 a²+ b²+c²?ab+bc+ca 可得 ab+bc+ca?6. 又因為（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=6+ ～ 2 ，所以 （當且僅當 時等號成立）.再根據均值不等 ，則 P=6（a+b+c）-abc?

令 ，設 f（t）=6t- 2.求導得f（t）=6 令 ，解得 2或 （舍去）.當 時 f^′（t）gt;0 f（t） 單調遞增;當 時 ，f^′（t）lt;0，f（t） 單調遞減.所以 在 處取得最大值，故

評注該方法多次運用均值不等式，將 P 轉化為關于 a+b+c 的函數，再利用導數求解最值，這是求解此類問題的常見思路.

解法2（放縮法）因為 a²+b²+c²=6 ，同解法1得 ab+bc+ca?6 ，且 從而abc（a++c）3≤（√2）3 =2√2.故P=6（a+b+ 當且僅當 時等號成立.（后文取等號的條件略）

評注通過多次放縮，將 P 中的各項進行范圍限定，從而求得 P 的最大值.在放縮過程中，要把握好放縮的程度和方向，否則容易導致結果不準確.

解法3（排序不等式法）不妨設 a?b?c? 0.由 a²+b²+c²=6 ，根據排序不等式，對于 P= 6（a+b+c）-abc，a+b+c 在 a=b=c 時取得相對較大的值，當 a=b=c 時，代人 a²+b²+c²=6 ，可得 此時 （2

下面證明該值是最大值.假設存在 ^a，b，c （不全相等）使得 P 更大.設 x（x?0，Δx，Δy?0） ，且 （x+Δx）²+（x-Δy）²+x² =6 ，則 P=6（（x+Δx）+（x-Δy）+x）-（x+Δy） Δx）（x-Δy）x ，化簡后與 比較發現

評注排序不等式法通過對變量排序，利用特殊情況（ ）來分析和證明最值.這種方法思路簡潔直觀，基于排序不等式的性質，能快速找到可能的最值點.在證明最大值的唯一性時，需通過假設和代數變形進行比較.

解法4（構造函數法）設 a 為變量，將 ^b，c 看作常數，令 （204號[0，√6-b2-ε2].則f（a）=6-bc.由b2+c2=6 ，根據均值不等式 b²+c²?2bc ，即 ，所以f（a） 在[o， 上單調遞增.同理，分別將^b，c 看作變量也有類似結論.所以當 時，f（a） 取得最大值，代人 a²+b²+c²=6 解得 a=b= ，此時

評注將其中一個變量看作主元，構造函數并分析其單調性來求解最值.將多元問題轉化為一元函數，有助于簡化問題.但在分析過程中，需要結合已知條件考慮變量的取值范圍.這種方法體現了函數思想在多元函數問題中的應用.

解法5 （向量法）設向量 （1，1，1）.由 ，根據向量的數量積 （204號 為 與 的夾角）.因為 ^{a，b，c} ?0 ，所以 ，則 又 abc? .則 P=6（a+b+c）-abc?6（a+b +c） .令 設 ，后續過程同解法1可得f（t）在t = 處取得最大值

評注向量法巧妙地將 a+b+c 用向量的數量積表示，借助向量的模和夾角的性質得出 a+b+c 的取值范圍，再結合均值不等式求解 P 的最大值.這種方法將代數問題與向量知識有機結合，拓寬了解題思路.

解法6（柯西不等式法）由于 （a+b+c）²= （ 1×a+1×b+1×c）²?（1²+1²+1²）（a²+b² +c²）=18 ，所以 ，當且僅當 a=b= c 時等號成立.又 ，則 P=6（a+ （20

令 ，設 f（t）=6t- 后續過程同解法1可得 f（t） 在 處取得最大值為

解法7 （利用判別式法）設 a+b+c=k ，則c=k-a-b 將其代人 a²+b²+c²=6 得 a²+b² 整理得 2a²+2b²-2ka-2kb +2ab+k²-6=0.

將上式看作關于 α_a 的一元二次方程，則 （20 （2k-2b）²-8（2b²-2kb+k²-6）?0 （因為 a 為實數）.化簡得 2b²-2kb+k²-8?0. 因為 b 為實數，所以 Δ_b=（2k）²-8（k²-8）?0 ，解得 k²?18 ，即 a +b+c≤3√2.又abc≤（a+b+c）2 ，后續同前面解法得到 P 的最大值為

評注通過將問題轉化為一元二次方程有實數解的問題，利用判別式得到變量的取值范圍，進而求解 P 的最大值.判別式法體現了方程思想的應用.

2 變式探究

（1）條件變式 將條件 a²+b²+c²=6 改為 a²

或 a²+b²+c²?6 ，求 P=6（a+b+ （c）-abc 的最值.

（2）函數變式將函數 P=6（a+b+c）-abc 改為 P=3（a+b+c）²-2abc 或 （24號-abc等形式，在 a²+b²+c²=6 的條件下求最值.

（3）變量范圍變式將非負實數 ^a，b，c 改為實數 ^{a，b，c} ，在 a²+b²+c²=6 的條件下求 P=6（a+ b+c）-abc 的最值.

上述三類變式的求解過程與前述解法類似，我們留給讀者探究.

3題目推廣

推廣1（增加變量個數）假設 n 個非負實數a₁，a₂，…，a_n 滿足 a₁²+a₂²+…+a_n²=m（mgt;0） ，求P=k（a₁+a₂+…+a_n）-a₁a₂…a_n（kgt;0） 的最值.

推廣2（改變條件形式）已知非負實數 ^{a，b，c} 滿足 a³+b³+c³=n（ngt;0） ，求 P=p（a+b+c） （2-abc（pgt;0） 的最值.

推廣3（拓展函數形式）已知非負實數 ^{a，b，c} 滿足 a²+b²+c²=6 ，求 P=f（a，b，c）（f（a，b，c） 為更復雜的多元函數形式，如P=6（α+b+c）+（a²+b²+c²） 等）的最值.

上述三個推廣的求解過程與原題的求解過程類似，具體過程留給讀者完成

4教學建議

（1）知識整合與拓展在教學中，應注重將題目所涉及的多個知識點進行整合和拓展.例如，在講解均值不等式時，可以結合本題的多種解法，深入探討均值不等式的應用技巧和變形方式，讓學生感受均值不等式在解決多元函數最值問題中的重要作用.同時，拓展相關的不等式知識，如柯西不等式，舒爾不等式等，拓寬學生的知識面和解題思路

（2）思維培養與訓練通過多種解法的講解和分析，鼓勵學生從不同的角度思考問題，嘗試用不同的方法解決問題，比較各種方法的優缺點和適用范圍，培養學生的發散思維和創新思維

（3）聯系實際與應用將多元函數最值問題與實際生活中的問題相結合，讓學生體會數學的應用價值.例如，可以引入實際問題，如在一定的材料限制下（類似于本題的條件限制），如何設計一個立體圖形（如長方體）的長，寬，高，使得其表面積或體積最大（類似于本題求函數的最值）.通過這樣的實際問題，提高學生的學習興趣和解決實際問題的能力.