圓錐曲線中一類直線過定點結論的再推廣

2025-09-08 00:00:00晏炳剛朱國全

中學數學研究 2025年8期

推廣是數學研究的重要手段，數學自身的發展在很大程度上依賴于推廣.圓錐曲線的定值定點結論適用范圍的推廣值得關注，更一般化的結論也為題目命制提供更廣闊的背景.本文對文[1]中的定點結論進行再思考，得出適用范圍更廣的推廣結論，并類比到雙曲線和拋物線中

1 結論再思考

文[1］中有如下結論

結論1 橢圓 E 的左頂點為 A ，坐標系原點為 o ，直線 l:x=a 上的動點為T ，圓 T 過原點 o 且與直線 l 交于點 M，N 兩點，直線^AM，AN 分別交 E 于點 ^P，Q ，則直線 PQ 恒過定點

在此不難再思考以下問題：（1）直線 l 必須過右頂點，才有直線 PQ 過定點嗎？(2）以 MN 為直徑的圓 T 必須過原點才有直線 PQ 過定點結論嗎？(3）直線 ξ_l 與圓 H 過定點同時改變是否還有直線 PQ 定點結論？思考（1）在文獻[1］中已經解決，下文解決思考(2)和(3).

2 一般化推廣

經探究，結論1中的圓過 x 軸上定點，直線 l 過 x 軸上與點 A 不同的點時，有直線過定點，即結論2.

結論2 如圖1橢圓 E

的左頂點為 A ，坐標系原點為 o ，直線 ι_:x= s(s≠0，-a) 上的動點為 T ，圓 T 過 C(λ， 0）且與直線 l 交于點M，N ，直線 AM，AN 分別交 E 于點 P，Q ，則直線 PQ 恒過

圖1

0).

證明設 PQ 方程為 x=my+n ，聯立 a²b²= 0. 易知，設 P(x₁，y₁)，Q(x₂，x₂) ，則 y₁

設 T(s，t) ，則圓方程為 (x-s)²+(y-t)²=(λ -?s)²+t² 令 x=s 有 y²-2ty-(λ-s)²=0 ，則有由題知直線 AP 為令 x=s 紅有同理（s+a)y2）.所以yμyN 即 Ω_n)²Ω=Ω0 代人 ① 得（

化簡得[ λΦ+a²b²)nΦ+(a³(s-λ)²-ab²(s-λ)²-2a²b²(s -λ)-a³b²)](n+a)=0 ，解得 n=-a 或 n=

當 n=-a 時， PQ 過點 A ，不合題意.

當n=22-（s-）2+2（s-2+22b(s-)時，直線 PQ 過定點 0).

3 特殊化推論

在結論2中，取 λ=0 ，即為恒過原點的結論

推論1 已知橢圓的左頂點為 A ，坐標系原點為 o ，直線 l:x=s(s≠0 Π-a) 上的動點為 T ，圓 T 過原點且與直線 ξ_l 交于點M，N ，直線 AM，AN 分別交 E 于點 P，Q ，則直線 PQ 恒過定點（24號

在結論2中，取 s=a ，即得直線 l 過右頂點的結論.

推論2 已知橢圓（2的左頂點為 A ，坐標系原點為 o ，直線 l_:x=a 上的動點為 T 圓 T 過定點 C(λ，0) 且與直線 l 交于點 M，N 直線 AM，AN 分別交 E 于點 P，Q ，則直線 PQ 恒過定點 0).

在結論2中，取 s=a，λ=0 ，即為直線 l 過右頂點，圓過原點的結論.

推論3 橢圓 E 的左頂點為 A ，坐標系原點為 o ，直線 l:x=a 上的動點為T ，圓 T 過原點 o 且與直線 l 交于點 M，N 兩點，直線^AM，AN 分別交 E 于點 ^P，Q ，則直線 PQ 恒過定點

由結論2和推論1、2、3知道，結論2的適用范圍最廣，是推論1、2、3的推廣，也是文[1]中結論的推廣.

4 對偶化結論

把橢圓置換為雙曲線后有以下結論.

結論3 如圖2，雙曲線的左頂點為 A ，坐標系原點為 o ，直線l_:x=s(s≠0，-a) 上的動點為 T ，圓 T 過 C(λ，0) 且與直線 l 交于點 M，N ，直線^AM，AN 分別交 E 于點 ^P，Q ，則直線 PQ 恒過定點 0).

圖2

類似于結論2，結論3也有條件特殊化情況下的推論，此處不在贅述

在拋物線中，也有以下推廣結論，

結論4已知拋物線方程為 0)，坐標系原點為 o ，直線 l_:x=t 上的動點為 T ，圓 T 過定點 C(λ，0) 且與直線交于點 M，N ，直線oM 與分別交 E 于點 P，Q ，則直線 PQ 恒過定點

證明由題 PQ 方程為，聯立2 =2px，有y2-2pmy-2pn =0.設P(χ1，yi)），Q(x₂，y₂) ，則有 y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2pn②. 2設 T(t，h) ，圓 T 方程為 (x-t)²+(y-h)²=(t- λ)²+t². 令 x=t 有 y²-2hy-(t-λ)²=0 ，所以y_My_N=-(t-λ)² ：