2025年數學新高考Ⅰ卷第18題解法探究

1真題呈現

題目 （2025年數學新高考Ⅰ卷 ?18 ）已知橢圓 的離心率為 ，橢圓下頂點為 A ，右頂點為

（1）求 c 的方程;

（2）已知動點 P 不在 y 軸上，點 R 在射線 AP 上，且滿足 ∣AP∣?∣AR∣=3

（i）設 P（m，n） ，求 R 的坐標（用 ^m，n 表示）；

（ii）設 o 為坐標原點， Q 為 C 上的動點，若直線OR 的斜率是直線 OP 斜率的3倍，求l PQ∣ 的最大值.

該題以橢圓問題為設置場景，結合兩個小問題來設計，同時第二問中又涉及兩個小問題.問題整體梯度設置妥當．題中所涉及的圓錐曲線中對應線段長度的最值確定問題，依托過定點且在同一直線上的兩動點所對應的直線斜率之間的倍數關系，引入圓的相關知識與模型，是比較常見的考查方式之一.

第（1）小問比較簡單，借助橢圓的離心率，對應的弦長，以及三參數之間的關系 a²=b²+c² ，聯立方程，即 解得 a²= 9，b²= 1 所以橢圓 c 的方程為

第（2）小問將平面向量作為工具融入到圓錐曲線中，考查用已知點表示另一個已知點的坐標，具有動態性、前瞻性、創新性.同時，第（2）（ii）小問將線段長度最值問題和軌跡問題融合起來進行考查，相當于將隱形圓加入其中，彌補了直線與圓考查的空缺，是2025年數學新高考Ⅰ卷中較為“亮眼”的一道綜合題.

2 第（2）問求解探究

2.1 第（i）小題的求解解法1 （距離法）由（1）可知 A（0，--1） .設

R（x₀，y₀） ，由 P（m ，n ）不在 y 軸上，則 ?_m eq0 ，如圖1所示.又點 R 在射線 AP 上，且滿足 ∣AP∣?∣AR∣ =3 ，則有

解得 所以點 R 的坐標為

解法2（向量坐標法）由（1）可知 A（0，-1） 設 ，因 P（m，n） 不在 y 軸上，則 m≠0 由點R 在射線 AP 上，且滿足 ∣AP∣?∣AR∣=3 ，則知 ·AR=3.即AP.AR= mxo+（n+1）y+n+1=3，即 mx₀+（n+1）y₀=2-n①.

設直線 AP 的方程為 ，由于點 R 在 射線 AP 上，則有 ，整理得 （n+1）x₀ -my₀=1②. （204

聯立 ①② 得 所以點

R 的坐標為

解法3（向量線性關系法）由（1）知 A（0 -1）.設 R（x₀，y₀） ，由 P（m，n） 不在 y 軸上，則 m≠

0.由點 R 在射線 AP 上，且滿足 ∣AP∣?∣AR∣=3 ，令 ，其中 tgt;0 則 3，即 t[m²+（n+1）²]=3 ，可得 （204所以 =

m2+（n+1）2（m，n+1），可得x =

m2+（n+1）2-1.所以點R的坐標為

解法4（方向向量法）由（1）可知 A（0，-1） ：設 R（x₀，y₀） ，由點 P（m，n） 不在 y 軸上知直線 AP 的斜率存在，設其斜率為 k ，則直線 AP 的方向向量為（20 ^（1，k） .故可設 . .由于點 R 在射線 AP 上，故 prgt;0 ，可得 =3 而 ， ，則有 m =p，n+1=pk，x₀=r，y₀+1=rk ，且 3，解得 所以 x₀= m2+（n+1）2-1.所以點R的坐標為

點評通過已知點的坐標來表示另一個相關點的坐標，“動”中有“靜”，形成變化過程的相關性與應用性.通過“動”“靜”結合來綜合應用，巧妙化解題設條件中線段長度的乘積關系，或通過兩點間的距離公式，或通過平面向量的相關知識，有效發散考生的數學思維.

2.2 第（ii）小題的求解

解法1（消參法）由于直線 OR 的斜率為 k₁= -m2-n2+n+2，直線OP斜率為k=又由于直線 OR 的斜率是直線 OP 斜率的3倍，則 k₁=3k₂ 即 化簡得 m²+（n+4）²= 18.所以點 P 在以 （0，-4） 為圓心， 為半徑的圓上（ y 軸上的點除外），如圖2所示.設 Q（x，y） 又 Q 為橢圓 上的動點，所以 ∣PQ∣ 的最大 ，當且僅當 時等號成立.所以l PQ∣ 的最大值為

圖2

解法2（三角換元法）由于直線 OR 的斜率為 ，直線 oP 斜率為 k₂= 同解法1知點 P（m，n） 在以 （0，-4） 為圓心， （2為半徑的圓上（ y 軸上的點除外）.又 Q 為橢圓 +y²=1 上的動點，設 Q（3cosθ，sinθ） .所以 ∣PQ∣ 的最大值為 （204號 ，當且僅當 時等號成立.所以 ∣PQ∣ 的最大值為

點評通過兩直線的斜率的比例關系，將“隱形圓”加入其中，滲透軌跡意識，并借助線段長度最值來設置問題.而最值的求解，可以基于二次函數的圖象與性質，三角函數的基本性質等來處理.

3 教學啟示

3.1合理降低難度，優化思維方法

該道解析幾何試題的設計，通過多問題設置來形成梯度，使得大部分考生都有所獲，并形成難度梯度，合理加以區分與選拔.在實際數學教學與學習過程中，要合理拓展學生的數學思維，優化學生的解題習慣，特別是基于平面解析幾何問題的應用場景，多數學思維，少數學運算，培養學生的數學核心素養等.特別對于基本的數學運算，在實際解題與應用時還要繼續加強，避免繁雜或純數學運算的高難要求.

3.2 剖析常規思維，合理創新應用

解決平面解析幾何問題時，關鍵在于把握解決此類問題的常規數學思維，加以訓練，使學生能夠全面理解，并在在解決實際問題時，從“數”的思維視角來數學運算與邏輯推理，從“形”的思維視角來直觀想象與運算推理等.同時，還要剖析平面解析幾何問題的本質與內涵，挖掘問題的深層思維與應用，結合創新思維與創新意識加以綜合與應用，使得問題加以合理化歸與轉化，解決起來更加直接有效，也是學生創新意識與創新應用不斷培養與提升的一個過程.