探究與三角形內接相似三角形有關的幾類問題

設 D，E，F 分別在 ΔABC 的邊 BC，CA，AB 上，若ΔDEF～ΔABC ，則稱 ΔDEF 為 ΔABC 的內接相似三角形.文[1］給出了銳角三角形與其垂足三角形相似的充要條件，文[2]給出了任意三角形與其內接三角形相似的一個充要條件，文[3]研究了任意三角形內接相似三角形的個數，三角形的內接相似三角形的周長、面積的最大值、最小值.本文在文[1]一文[3]的基礎上繼續研究三角形內接相似三角形的幾類問題

1 三角形內接相似三角形的個數問題

如圖1所示，把ΔABC 繞其外接圓圓心小于 180^° 的某一角度旋轉得 ΔA₁B₁C₁ ，對應邊AB，A₁B₁ 交于 F，BC 、B₁C₁ 交于 D，CA，C₁A₁ 交于 E ，則 （20號 ΔDEF ～ΔABC

圖1

證明 ΔABC 繞其

外接圓圓心旋轉 θ 度，得到 ΔA₁B₁C₁ ，連接 BB₁ ，（204號 CC₁ .則有 因為 ∠ABC= ∠A₁B₁C₁ ，所以 F，D，B₁，B 四點共圓，所以 ∠1^′= ∠1 ·因為 ，所以 C₁，E，D，C 四點共圓，所以 ∠3^′=∠3=θ，∠2=∠2^′. 因為 ∠FDE =180^° -( ∠1+∠2+∠3) ，所以 ∠FDE=180^°- 0 ∠ACB+∠ABC+θ-θ)=180^°-(∠ACB+ ∠ABCΨ ，所以 ∠FDE=∠A ，同理可得 ∠EFD= ∠ACB 所以 ΔDEF～ΔABC

注這個結果也說明了三角形內接相似三角形的個數有無數個.

2過三角形邊上一點作三角形的內接相似三角形的尺規作圖問題

如圖2所示，點D 是邊 BC 上一點，過點 D 作 ΔABC 的內接相似三角形ΔDEF. ，尺規作圖步驟：(1）作 DM⊥AB 于點 M ，作 DN⊥AC 于點 N ，

圖2

(2）作 ∠DMH=∠ACB ∠DNH=∠ABC，MH 與 NH 交于點 H

(3）連接 DH ，過 H 作 EF⊥DH ，分別交 AB ，AC于點 F，E

簡證由 DH⊥EF，DM⊥AB，DH⊥AC ，得 D M，F，H 四點共圓和 D，N，E，H 四點共圓，所以∠DFE=∠DMH=∠ACB，∠DEF=∠DNH= ∠ABC ，所以 ΔDEF～ΔABC

3 三角形內接相似三角形的性質問題

性質1設 ΔDEF 為 ΔABC 的內接相似三角形，則 ΔDEF 的垂心是 ΔABC 的外心

證明 如圖3所示，設 H 是 ΔDEF 的垂心，DH，EH，FH 分別與 EF 、FD，DE 交于點 因為 ΔDEF～ΔABC ，所以∠EAF=∠EDF.

圖3

由 D，Q，H，R 四點共圓，得 ∠EHF=180^° 1∠EDF=180^°-∠EAF ，所以 A，E，H，F 四點共圓.于是 ∠FAH=∠FEH. 同理可證 B，D，H，F 四點共圓得 由 D，E，P，Q 四點共圓，得 所以 ∠FAH=∠FBH ，因此 HA= HB.同理可證 HB=HC. 所以 H 為 ΔABC 的外心.

性質2設 P 是銳角 ΔABC 內一點， AP，BP，CP 分別交邊 BC，CA，AB 于點 _{D，E，F} ，已知 ΔDEF～ ΔABC ，則點 P 是 ΔABC 的重心

證明 如圖4所示，記 ∠EDC=α ， ∠AEF= （204號β，∠BFD=γ ，用 ∠A ，∠B，∠C 分別表示ΔABC 的三個內角的大小.則 ∠AFE=2∠B 1（ ∠DBE+∠DEB)=

圖4

2∠B-α. 同理可證 ∠BDF=2∠C-β，∠CED= 2∠A-γ.

現在設 ΔDEF 和 ΔDEC 的外接圓半徑為 R₁ 和R₂ ，則由正弦定理及 ∠EFD=∠C ，可知 2R₁= ，故 R₁=R₂ .類似可得ΔDEF 和 ΔAEF，ΔBDF 的外接圓半徑相等.所以ΔDEF，ΔAEF，ΔBDF 和 ΔDEC 這四個三角形的外接圓半徑都相同，記為 R

利用正弦定理得 由賽瓦定理知 ，結合上式得

若 α<∠B ，則 α=∠EDC<∠EFA=2∠B- α ，于是 γ=180^°-∠EFA-∠EFD=180^°-∠EFA -∠C<180^°-∠EDC-∠C=∠CED=2∠A- γ

類似可知 β<2∠C-β

注意到，當 0° 時，有sinx< siny.所以 0<α<2∠B-α<α+(2∠B-α) =2∠B<180^° （這里用到 ΔABC 為銳角三角形）可得sinα

類似地，若 α>∠B ，可得 ② 的左邊小于右邊，矛盾.所以 同理 β=∠C，γ=∠A

因此，由 ① 可知 D，E，F 分別為 BC，CA，AB 的中點，從而 P 為 ΔABC 的重心.

性質3 如圖5所 示，設 o 為銳角 ΔABC 的外心， ，AO，BO，CO 的 延長線分別與 BC，CA 、 AB 交于點 .D，E，F 若 ΔDEF～ΔABC ，則 ΔABC 是正三角形.

圖5

證明 設 ∠OBC=∠OCB=α，∠OCA= ∠OAC=β，∠OAB=∠OBA=γ 則 α+β+γ= 90^° 由性質1知 o 為 ΔDEF 的垂心，即 BE⊥DF CF⊥DE

由 BE⊥DF ，知 ∠BFD=90^°-γ. 由 ∠BFC= ∠ACF+∠BAC=2β+γ ，得 ∠DFC=2β+γ-(90^° -γ)=2(β+γ)-90^°=90^°-2α. 由 CF⊥DE ，得∠DFC=90^°-∠EDF=90^°-∠BAC=90^°-(β +γ)=α. 于是 90^°-2α=α ，所以 α=30^° 同理 β 所以 ∠BAC=∠CBA=∠ACB=60^° 所以 ΔABC 是正三角形.

注由性質2知 o 為 ΔABC 的重心，又 o 為銳角 ΔABC 的外 ∴ ，所以 ΔABC 是正三角形

上述3個性質涉及的是三角形的垂心、外心、重心問題以及三角形的形狀，它的內接相似三角形三個頂點分三邊的比，與它們的相似比及原三角形的三邊有如何的關系？值得探究，留給有興趣的讀者繼續研究.

參考文獻

[1]凌明燦，吳康.怎樣的銳角三角形與其垂足三角形相似[J].數學通報，2014，53(4)：60.

[2]賀基軍.三角形與其內接三角形相似的條件[J].數學通報，2014，53(10):60-62.

[3]焦青云，郭要紅.三角形與其內接相似三角形有關問題的研究[J].數學通報，2017，56（5)：58-59.