平面區域中的整數解問題解法探究

1真題呈現

（2024湖北中考數學T24）在平面直角坐標系中，拋物線 y=-x²+bx+3 與 x 軸交于點 A（ε-1，0） （2和點 B ，與 y 軸交于點 C

（1）求 b 的值;

（2）如圖 ^1，M 是第一象限拋物線上的點，∠MAB=∠ACO ，求點 M 的橫坐標;

（3）將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為 _L，L 與 y 軸交于點 N. 如圖2，設 L 的頂點橫坐標為 n，NC 的長為 d

① 求 d 關于 n 的函數解析式；

圖1

圖2

②L 與 x 軸圍成的區域記為 ΔU，U 與 ΔABC 內部重合的區域（不含邊界）記為 W ，當 d 隨 n 的增大而增大，且 W 內恰好有兩個橫、縱坐標均為整數的點時，直接寫出 n 的取值范圍.

解析 （1）（2）略.

（3）①? ：將二次函數沿水平方向平移，：圖象L 的解析式為 y=-（x-n）²+4=-x²+2nx-n² ∣-n²+4-3∣=∣-n²+1∣ ，

② 由 ① 得的解析式可畫出大致圖象如圖3，： d 隨著 n 增加而增加，： - 1?n?0 或 n?1 ΔABC 中含（0，1），（0，2），（1，1）三個整點（不含邊

界）.

情形1：當 U 內恰有2個整數點（0，1），（0，2）時，當 x=0 時， .y_Lgt;2 ，當 x= 1 時， .y_L?1 ， -n²+ 4gt;2 且 -（1-n）²+ 4?1 ，

圖3

或 或

情形2：當 U 內恰有2個整數點（0，1），（1，1）時，當 x=0 時， .1L?2 ；當 x= 1 時， ，： ?-n²+4≤2 且 -（1-n）²+4gt;1 ， 或 或

情形3：當 U 內恰有2個整數點（0，2），（1，1）時，此種情況不存在，舍去.

綜上所述， n 的取值范圍為 或

評注本題主要考查了二次函數綜合，包括用待定系數法求二次函數表達式及二次函數與線段交點的問題，也考查了二次函數與不等式，相似三角形的判定和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質以及數形結合法是解題關鍵.

2 變式探究

變式在平面直角坐標系 _xOy 中，直線 l：y= a（x+2）（agt;0） 與 x 軸交于點 A ，與拋物線 E_：Y= ax² 交于 ^B，C 兩點（ B 在 c 的左邊）.

（1）求 A 點的坐標;

（2）如圖4，若 B 點關于 x 軸的對稱點為 B^′ 點，當以點 A，B^′，C 為頂點的三角形是直角三角形時，求

實數 a 的值;

（3）定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數的點叫作格點，如（-2，1），（2，0）等均為格點.如圖5，直線 l 與拋物線 E 所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點數恰好是26個，求a 的取值范圍.

圖4

解析 （1）（2）略.（3）如圖6，直線 l 與拋物線 E 所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在 y 軸和直線 x=1L…D（0，2a） E（1，a），F（1，3a），∴OD =EF=2a? ：格點數恰好是26個，落在 y 軸和直線 x=1 上的格點數應各為13個，：落在 y 軸的格點應滿足13lt;2a?14 ，即

圖5

圖6

① H 13 lt; 2 alt;7 ，則即

Elt;7 ，所以線段 EF 上的格點應該為（1，7），（1，

② 若 a=7，y_E=7，y_F=21 ，所以線段 EF 上的格點正好13個.

綜上， 或 a=7

評注本題關鍵是弄清格點只能落在 y 軸和直線 x=1 上，各為13個，并對點 D，F 進行定位.

3 類似題求解

例已知函數 +12）x+2a ，若不等式 f（x）?g（x） 的解集中恰有兩個整數，則實數 α_a 的取值范圍是

解析 ，故當 時，（204號 f^′（x）lt;0 ;當 時 （20在 上單調遞減， 上單調遞增，且f（1）=0 ，又 的函數圖象開口向下，對稱軸為 x f（x）?g（x） 個整數，作圖如7、8所示.

圖7

圖8

（1）若不等式 f（x）?g（x） 的解集中恰有兩個

整數是 無解.（2）若不等式 f（x）?g（x） 的解集中恰有兩個 （204號

整數是2，3， ，解得 （204號

：實數 Ω_a 的取值范圍是

4 解題方法歸納

函數中的整數解問題是一般含參問題的特殊化，解題中可采用以下方法求解

（1）能夠參數分離的，通常情況下可利用半分離方法將問題轉化為直線與曲線的位置關系，分別作出兩個函數的圖象找交點；對于直線過定點，只需將直線旋轉即可得到臨界位置，進而列出不等式（組）求出參數的取值范圍；

（2）對于有些函數不能參數分離或者分離很復雜的時候，需要根據函數的特點，對參數進行分類討論再求解；

（3）整數解的問題，關鍵是找出相應的整數解；（4）數形結合和構造思想是解決整數解問題的關鍵.