兩道涉及三角形旁切圓半徑問題的類比探究

2025-09-08 00:00:00黃海洋

中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2025年8期

關(guān)鍵詞三角形旁切圓半徑;不等式

題目1（《數(shù)學(xué)通報》2018年第7期問題2432）設(shè) ΔABC 的邊長為 ^a，b，c ，對應(yīng)的旁切圓半徑分別為 r_a，r_b，r_c，Σ 表示循環(huán)求和，則

題目2（《數(shù)學(xué)通報》2021年第5期問題2603）設(shè) ΔABC 的邊長為 ^a，b，c ，對應(yīng)的旁切圓半徑、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為 r_a，r_b，r_c，R，r ，則

不等式 ①② 均涉及到三角形的旁切圓半徑，文[1］-[2]均借助三角變換給出了不等式的證明，但關(guān)于 ① 的證明有些復(fù)雜，文[3]通過探究得到了不等式 ② 的一個隔離，即：設(shè) ΔABC 的邊長為 ^a，b，c 對應(yīng)的旁切圓半徑、高線長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為 r_a，r_b，r_c，h_a，h_b，h_c，R，r_c ，則有

，Gerretsen不等式 ;16Rr-5r²?s²?4R²+4Rr+3r²

定理1 在 ΔABC 中，有

文[4]得到了不等式 ② 的一個加細(xì)，即設(shè)ΔABC 的邊長為 ^a，b，c ，對應(yīng)的旁切圓半徑、高線長、內(nèi)角平分線長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為 r_a r_b，r_c，h_a，h_b，h_c，t_a，t_b，t_c，R，r_c ，則有

本文繼續(xù)對上述問題進行探究，先給出不等式① 的一種簡潔證明，然后類比得到一組類似不等式.

1 不等式 ① 的簡單證明

證明由歐拉不等式 R?2r 得） =-8s²+32R²+40Rr+8r²=-12（4R²+4Rr+3r²） +32R²+24Rr+4r²?-8（4R²+4Rr+3r²）+32R₁¹ 0 +40Rr+8r²=8Rr-16r²=8r（R-2r）?0 ，所以（20

定理2 在 ΔABC 中，有

證明由歐拉不等式 R?2r 得

所以

定理3 在 ΔABC 中，有

同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng) ΔABC 為等邊三角形時等號成立.

2 不等式 ①② 的類似

不等式 ①② 涉及了三角形的旁切圓半徑，實際上三角形還有高線、中線，通過類比研究，可以得到下述幾組類似不等式.下面的證明用到熟知的結(jié)論

證明在 ΔABC 中，，所以 ≥0，所以∑h

注由（204號，于是

1）2，結(jié)合不等式①亦可證明定理1.

定理4 在銳角 ΔABC 中，有

證明（2 ，只需證

不妨設(shè) a?b?c ，則 A?B?C ，則在銳角三角形中，必有 45^°?Blt;90^° ，否則，若 C?Blt;45^° ，則A=180^°-（B+C）gt;90^° ，矛盾，因此 cos2B?0 于是有 1 （204號C）（a-b）²+2cos2B（a-b）（b-c）?0. 所以（204號

定理5在 ΔABC 中，有（20

證明原不等式等價于 m_am_b-m_bm_c-m_cm_a）?a²+b²+c²-ab-bc-ca_b. 等價于 4（m_am_b+m_bm_c+m_cm_a）?2（a²+b²+c²）（204號+ab+bc+ca ，由三角形中線公式可知，所以 2 b²-c²）-（2a²+bc）²=4a⁴-2b⁴-2c⁴+5b²c²+ ，所以 4m_bm_c?2a²+bc 同理4m_cm_a?2b²+ca，4m_am_b?2c²+ab. 三式相加得（20 4（m_am_b+m_bm_c+m_cm_a）?2（a²+b²+c²）+ab+ bc+ca. 故原不等式成立.