一道以對(duì)數(shù)等和數(shù)列為背景的聯(lián)考題探究

1 試題呈現(xiàn)

題目（2025屆豫西北數(shù)學(xué)聯(lián)考?jí)狠S題）若數(shù)列 {c_n }洪有 m（m∈N^* m?4） 項(xiàng)， ?i（i∈N^* ， i? m ）都有 lnc_i+lnc_m+1-i=K（K 為常數(shù)），則稱數(shù)列{c_n }是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為 ?_m 的 \"- 對(duì)數(shù)等和數(shù)列\(zhòng)"，其中 K 稱為 \"- 對(duì)數(shù)等和常數(shù)\".已知數(shù)列 {a_n }是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為 m 的對(duì)數(shù)等和數(shù)列.

（1）若 m=9，a₁=2，a₅=4 ，求 a₉ 的值;（2）已知數(shù)列 {b_n} 共有 ?_m 項(xiàng)，且滿足 b_i= m+-i，i=1，2，3，…，m.（i）證明：{b}是一個(gè)對(duì)數(shù)等和數(shù)列；（ii）若 {b_n }是首項(xiàng)為 b₁（b₁gt;0） ，公比為 的等比數(shù)列，且 {a_n }的對(duì)數(shù)等和常數(shù)為0，是否存在 q∈[3，+∞） ，使 {a_n 中某一項(xiàng)等于另外三項(xiàng)之和？若存在，求出 q 的值;若不存在，說明理由.

該題第1小題比較簡單.依題得 K=lna₅+lna₅ ，又由于 ，所以 ln16 ，即 2a₉= 16，a₉= 8 本文重點(diǎn)研究第（2）小題，將從多角度、多維度對(duì)該小題的求解進(jìn)行了分析.

2 第（2）小題求解探究

2.1 第（i）小問解法探究解法1 由 所以 ln1=0. 故 {b_n }是一個(gè)對(duì)數(shù)等和數(shù)列.

解法2 設(shè) {a_n}. 的對(duì)數(shù)等和常數(shù)為 K ，則 （20 ，則 （204 α= lna；-lnam+1-i所以 lnb;+ lnb_m+1-i=（lna_m+1-i-lna_i）+（lna_i-lna_m+1-i）=0 ， 故 {b_n} 是對(duì)數(shù)等和數(shù)列.

2.2 第（ii）小問解法探究

解法1 假設(shè)存在 q∈[3，+∞） ，使 {a_n} 中某一項(xiàng)等于另外三項(xiàng)之和.因?yàn)?{b_n} 的通項(xiàng)公式為 b_n ，且 {a_n} 的對(duì)數(shù)等和常數(shù)為0，則可得a_ia_m+1-i= 1 ，又由于 即 設(shè)存在 n₄gt;n₃gt;n₂gt;n₁ ，使得 a_n4=a_n3+a_n2 即 將 b_n= 代人得 ，即 因?yàn)?q∈[3 （20 ，所以 矛盾.所以不存在 q∈[3，+∞） ，使 {a_n} 沖某一項(xiàng)等于另外三項(xiàng)之和.

評(píng)注此解法利用定義逐步推導(dǎo) {b_n }的性質(zhì)以及 {a_n} 項(xiàng)之間的關(guān)系，通過假設(shè)存在滿足條件的項(xiàng)，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式，再利用不等式進(jìn)行推理得出矛盾.

解法2 假設(shè) a_n4=a_n3+a_n2+a_n1（n₄gt;n₃gt; n₂gt;n₁? ，則 ，即 b_n4a_n4=b_n3a_n3+b_n2a_n2+b_n1a_n1， 又因?yàn)? 將其代人上式可得 已知 ，且 q∈[3，+∞） 因?yàn)?q? 3.則該指數(shù)函數(shù) 單調(diào)遞減.所以根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知， 盾.所以不存在滿足條件的 q

評(píng)注該解法從 b_n 與 a_n 的另一種關(guān)聯(lián)方式入手，通過等式變形和代換，巧妙地利用了數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì).

解法3設(shè) ，則 f（n） 是增函數(shù).假設(shè)存在 q∈[3，+∞） ，使 a_n4=a_n3+a_n2 +a_n1（n₄gt;n₃gt;n₂gt;n₁） ，由上述解法，推理可知

令 n₄-1=N，n₃-1=N-k₁，n₂-1=N-k₂， n₁-1=N-k₃（k₁，k₂，k₃∈N⁺ 且 k₁23 ，則 ，兩邊同時(shí)除以 得到 ，因?yàn)?q∈[3，+∞），k₃-k₁ ?2，k₃-k₂?1 ，所以 通過數(shù)學(xué)歸納法可證，當(dāng) k₃?1 時(shí)，

，即 ，矛盾.所以不存在 q∈[3，+∞） ，使 {a_n }中某一項(xiàng)等于另外三項(xiàng)之和.

評(píng)注此解法借助函數(shù) f（n） 的單調(diào)性，通過變量代換將等式轉(zhuǎn)化為便于比較的形式，最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明矛盾.這種方法將函數(shù)思想和數(shù)列問題相結(jié)合，為解決數(shù)列中的不等式關(guān)系提供了新的視角.

解法4 由解法1可知 假設(shè)存在 q∈[3，+∞） ，使得 （204號(hào) a_n1（n₄gt;n₃gt;n₂gt;n₁）. 由 可得 a_n ，則 ，即

令xj =1，2，3，4），且x4gt;χgt;xgt;x₁ ，則 考慮函數(shù) [3，+∞） ），由 ，知函數(shù)圖象是下凸的．則對(duì)于 x₄gt;x₃gt;x₂gt;x₁ ，有 ，矛盾.所以不存在 q∈[3，+∞） ，使 {a_n} 中某一項(xiàng)等于另外三項(xiàng)之和.

評(píng)注該解法先推導(dǎo)出 a_n 的通項(xiàng)公式，然后將等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于指數(shù)的形式，再引入函數(shù) g（x） ，利用函數(shù)的凸性進(jìn)行放縮得出矛盾.這種方法綜合運(yùn)用了數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與凸性等知識(shí).

解法5 由解法1可知 a_ia_m+1-i= 1 ，則 b_i= 即 即 .假設(shè)存在 q∈[3，+∞） ，使數(shù)列{a_n 中存在一項(xiàng)等于另外三項(xiàng)之和.不妨設(shè) n₄gt;n₃ （20 ，即 ，又 即 不成立.故不存在 q∈[3，+∞） ，使 {a_n }中某一項(xiàng)等于另外三項(xiàng)之和.

3 變式訓(xùn)練

例1若數(shù)列 {c_n }共有 m（m∈N^*，m?4） 項(xiàng)，?i（i∈N^*，i?m） 都有 lnc_i+lnc_m+1-i=K ，且 c_n+1 ，已知 c₁=2，K=ln6 ，求 c_m 的值.

解由 lnc_i+lnc_m+1-i=K，K=ln6 ，可得（20 ，則 c_ic_m+1-i=6. 當(dāng) i=1 時(shí)， c₁c_m= 6.將 c₁=2 代人 c₁c_m=6 ，可得 2c_?m=6. 解得 c_m= 3.

例2數(shù)列 {a_n }是對(duì)數(shù)等和數(shù)列，對(duì)數(shù)等和常數(shù)為 K，{c_n} 是首項(xiàng)為 c₁ ，公比為 r 的等比數(shù)列，且 a_n =k₁c_n+k₂c_m+1-n（k₁，k₂ 為常數(shù)），試求 K 關(guān)于 c₁，r k₁，k₂ 的表達(dá)式，并分析 {a_n 的單調(diào)性

解因?yàn)閿?shù)列 {a_n }是對(duì)數(shù)等和數(shù)列，所以 lna_i +lna_m+1-i=K（i∈N^*，i?m） ，即 a_ia_m+1-i=e^K 且由題得 c_m+1-n=c₁r^m-n

又由于 a_n=k₁c_n+k₂c_m+1-n，a_m+1-n=k₁c_m+1-n+ k₂c_n ，下面求 K 關(guān)于 c₁，r，k₁，k₂ 的表達(dá)式．因?yàn)椋?04 Σ=Σ （Δk₁²Δ+k₂²）c_nc_m+1-nΔ+k₁k₂（Δc_n²Δ+c_m+1-n²） ，將 c_n=c₁r^n-1 c_m+1-n=c₁r^m-n 代人上式得

因?yàn)?a_na_m+1-n=e^K ，所以

最后分析 {a_n }的單調(diào)性，由于 a_n+1=k₁c₁rⁿ+ ，所以 k₁c₁r^n-1（r-1）+k₂c₁r^m-n-1（1-r）=（ r-1）（k₁c₁r^n-1-k₂c₁r^m-n-1）

當(dāng) rgt;1 時(shí)，若 k₁c₁r^n-1gt;k₂c₁r^m-n-1 ，即 k₁r^2n-2gt; k₂r^m-2，a_n+1-a_ngt;0，{a_n} 單調(diào)遞增;反之單調(diào)遞減.

當(dāng) rlt;1 且 rgt;0 時(shí)，若 k₁c₁r^n-12c₁r^m-n-1 ，即 單調(diào)遞增；反之 單調(diào)遞減.

當(dāng) r=1 時(shí)， {a_n }為常數(shù)列.

4結(jié)語

對(duì)數(shù)等和數(shù)列作為一類具有獨(dú)特性質(zhì)的數(shù)列，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究提供了豐富的素材.本文通過試題的深人分析，不僅給出了對(duì)數(shù)等和數(shù)列相關(guān)問題的多種解法，還對(duì)試題進(jìn)行了推廣和變式，拓展了對(duì)該類數(shù)列的認(rèn)識(shí).在解法探究過程中，不同的解法體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思想和方法，如函數(shù)與方程思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想等.這些解法相互補(bǔ)充，從多個(gè)維度加深了我們對(duì)數(shù)列性質(zhì)的理解.