多向索隱 殊途同歸

摘要本文以一道調(diào)研填空壓軸題為切入點，分別從特殊值法、直接法、參數(shù)方程法、仿射變換法等多個角度進行探究，分析切割比問題的常見方法和一般性結(jié)論，引導學生在掌握通性通法的同時，能理解問題中蘊含的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)知識遷移能力，提升數(shù)學素養(yǎng).

關鍵詞 切割比問題；數(shù)學運算能力；數(shù)學素養(yǎng)

1 問題呈現(xiàn)

試題 （2025年蘇州市高二陽光指標調(diào)研卷14）如圖1，在平面直角坐標系 _xOy 中，已知與雙曲線C：4 的漸近線不平行的直線 l₁ 與 c 有且僅有一個公共點 T（4，3） ，直線 l₂//OT 且與 c 交于 兩點， 與 l₂ 交于點 P ，則

=

2 問題解決

本題考查了曲線的切線以及弦長公式的運用，得分率相對較低，主要原因是解析幾何中弦長問題

的常見轉(zhuǎn)化方法掌握不到位以及運算能力仍需加強.通過研究得到如下幾種解法：

圖1

解法1 不妨取A（-2，0） ，由題意可知 l₁ 與 C 相切于 T（4 ，3），方程為 1，即 ，

因為 l₂/OT ，設直線 l₂ 的方程為

2），聯(lián)立 解得 P（10，9） ，所以 PT² =72 ；聯(lián)立 解得 A（-2，0），B（14） （204

12）.所以 PA?PB=75 ，故

解法2 因為 l₂//OT ，故設直線 l₂ 的方程為 y ，聯(lián)立 得 P（4m+4，4m+ 3），所以 PT_Φ²=（4m+4-4）²+（4m+3Φ-3）²= 32m² ；由 聯(lián)立得 3x²-24mx-16m² -48= 0 設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，則 （20 所以 ，所以

點評解法1運用特值法，選取 A（-2，0） 特殊點，實現(xiàn)簡化問題快速切入主題的效果，但是不具有一般性.解法2是通解通法，具有一般性，推導過程較為復雜，需要學生具有較強的分析能力和計算

能力.

解法3由題意得 T（4，3） 處的切線方程為 y= x-1. 設 P（p，p-1） ，因為 l₂//OT ，設直線 AB 的參數(shù)方程為{α=P +4t， *）設 A（p+4t₁，p-1+3t₁） B（p+4t₂，p-1+ 3t₂ ），將 （*） 式代人 2-2=1得122+24t-p2+8p-16=0 ，得 所以 PA?PB= 2（p-4）2.故得PA·PB

點評解法3通過引入?yún)?shù)將直線的幾何性質(zhì)與代數(shù)表達緊密結(jié)合，計算過程簡潔高效；同時，參數(shù)方程的靈活性使其適用于二維和三維空間中的多種幾何分析，是研究解析幾何問題的有力工具.

解法4 如圖2，取 AB 的中點 M ，由于 k_OM?k_AB 4;又kor =kAB，所以kou=kpr，即OTPM是平行四邊形.所以 MP）（MB -MP） = （MA + MP）（MA-MP） =AB2Π-?OT² ，即 ·又 （20 所以 又 M（4m，4m） ，所以

點評 解法4是運用解析幾何中常見的二級

結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為弦長問題，體現(xiàn)了化歸的思想.

3 拓展應用

推廣1 如圖1， 已知 T（x₀，y₀） 是雙曲 線 c 上任

圖2

意一點，直線 l₁ 是 c 在 T 處的切線，點 A 是 C 上異于T 的動點，且過點 A 與 or（o 為坐標原點）平行的直線 l₂ 交 C 于 ^A，B 兩點， l₁ 與 l₂ 交于點 P 定義 為雙曲線 c 在 T 處的切割比，記為λ（x₀，y₀） ，則切割比

證明 由題意得 C 在 T 處的切線方程為

，由 l₂//OT 設直線 l₂ 的方程為

聯(lián)立

yo），所以PT

聯(lián)立

-（m²+b²）a²x₀²=0. 設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，則 PA （20

所以 （204號

推廣2 如圖3，已知 T（x₀，y₀） 是橢圓 上任意一點，直線 l₁ 是 C 在 T 處的切線，點 A 是 C 上異于 T 的動點，且過點 A 與 or（o 為坐標原

點）平行的直線 l₂ 交 c 于 ^A，B 兩點， l₁ 與 l₂ 交于點 P ，定義 為橢圓c 在 T 處的切割比，記為 λ（x₀，y₀） ，則切割比 λ （204號

圖3

仿雙曲線情形證明，此略，也可作仿射變換轉(zhuǎn)化為圓證之.

推廣3 如圖4，已 1 PB知 T（x₀，y₀） 是拋物線 c ： 上任意 一點，直線 l₁ 是 C 在 T 處 C x的切線，點 A 是 C 上異于T 的動點，且過點 A 與or（o 為坐標原點）平行的直線 l₂ 交 C 于 ^A，B 兩 圖4點， l₁ 與 l₂ 交于點 P 定義TPA|·|PB 為拋物線 c 在 T 處的切割比，記為λ（x₀，y₀） ，則切割比

證明 由題意得 c 在 T 處的切線方程為

，因為 l₂//OT ，故設設直線 l₂ 的方程為

，聯(lián)立 得 P（x₀-

；所以

由 聯(lián)立得 y₀²x²+（2mx₀y₀ （204號

2px₀²）x+m²x₀²=0. 設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，則類似

推廣 ¹ 的證明得

4試題溯源

（2016·四川（理科20））已知橢圓 E 1（agt;bgt;0）， ）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點.直線 l：y=-x+3 與橢圓 E 有且只有一個公共點 T. （2

（1）求橢圓 E 的方程和公共點 T 的坐標;

（2）設 o 是坐標原點，直線 l^′ 平行于 or ，與橢圓 E 交于不同的兩點 ^A，B ，且與直線 l 交于點 P

證明：存在常數(shù) λ ，使得 ∣PT∣²=λ∣PA∣ |PB| ，并求 λ 的值.

提示 （1）橢圓 E 的方程為

1）；（2）運用仿射變換法可得

1

5題后感悟

本文通過多視角審視、多維度剖析、多途徑探索，深人地挖掘?qū)σ坏勒{(diào)研問題的答案.并從不同的角度切入問題，分析問題內(nèi)在邏輯與關聯(lián)而獲得更全面的認知.“多項索引，殊途同歸”極大地拓寬了學生思維的廣度，提升學生思維的靈活性.這種從不同路徑出發(fā)，最終達成統(tǒng)一理解的過程，也是數(shù)學學習的魅力所在.

參考文獻

[1]寧榮富.過圓錐曲線準線上一點的切割線性質(zhì)[J].中學數(shù)學研究（江西師大），2019（6）：33-34.

[2］劉玲；王強.圓錐曲線的切割線定理—從2016年四川高考題談起[J].中學數(shù)學月刊，2017（6）：45-48.

[3」羅碎海.2021年新高考全國I卷第21題賞析與圓錐曲線的切割線定理［J].中學數(shù)學研究（華南師大），2021（7）：11-13.