一道基于三角正弦平均數的創新題解法探究

關鍵詞正弦平方平均數;創新試題;解法探究

試題呈現及分析

題目 已知集合 M={θ₁，θ₂，…，θ_n}，n∈N^* 設函數 f_n（x）=sin²（x-θ₁）+sin²（x-θ₂）+…

（1）當 和 時，分別判斷函數 f₂（x） 是否是常數函數？說明理由；（2）若 ，試求函數 f₃（ρ_x） 是常數函數的概率；（3）寫出函數 是常數函數的一個充分條件，并說明理由.

此題為廣東省2024年11月二次數學大聯考試題19題.該題以正弦平方平均數為背景的創新試題，一小題比較簡單，二小題用導函數恒為零得到一個恒等關系后，利用向量或單位圓的內接等邊三角形加以解決.三問也可用這樣的思路，還可以通過奇偶數進行分類解決，或者用復數方法進行解決.

試題題源為2019年人教版必修1230頁20題：設 N₊} ：利用三角變換，估計 f（α） 在 x=2，4，6 時的取值情況，進而猜想 x 取一般值時 f（α） 的取值范圍.

該題可看作為三角壓軸的 n 維情形．本文從不同視角對此題的解法進行分析.

2 試題分析及解析

2.1 （1）題解析

當 時 + ，此時 f₂（x） 是常數函數；當M={，} 時 （20號 ，此時 f₂（x） 不是常數函數.

2.2 （2）題解析

解法1 （常規視角）設 M={θ₁，θ₂，θ₃} ，不妨令 ?θ₁gt;θ₂gt;θ₃.f₃（x）=sin²（x-θ₁）+sin²（x-θ₂） +i（x-）=cos2θ₃）cos2x+（sin2θ₁+sin2θ₂+sin2θ₃）sin2x]

若 f₃（x） 是常函數，則 故 （20 ，得 ²⁺ （20 2c0s（20-202）=1，所以cos（2θ-20）=-， 則得 或 所以 或 同理， 或 或 則 集合 ，k ∈N，k≤12}共有13個元素，從 中任取3個元素組成集合M，共C2=13×12×11 （2 =286 個，而滿足（1）的集合 M 有記 ， （204號 （20 （20 ，共5個，則使得函數 f₃（x） 是常數函數 的概率為

解法2（求導與單位圓視角 sin²（x-θ₁）+sin²（x-θ₂）+sin²（x-θ₃） ，則 f₃（x） =cf₃^′（x）=0 ，即 sin（2x-2θ₂）+sin（2x-2θ₃）=0 ，整理得（204號 +sin2θ₃）?cos2x=0 ，從而

考慮點 A（cos2θ₁，sin2θ₁），B（cos2θ₂，sin2θ₂）， C（cos2θ₃ ， sin2θ₃^? ）， ① 式表明單位圓上 ΔABC 的重心為圓心，故 ΔABC 為等邊三角形，若設 θ₁lt;θ₂lt;θ₃ ，則 或者 k₂π（k₁，k₂∈N⁺） .即 ② 集合 ，k ∈ N，k ≤12}共有13個元素，從中任取3個元素組成集合M，共C=13×12×11 = 286個，而滿足 ② 的集合 M 有 ， （204號 共5個，則使得函數 f₃（x） 是常數函數的概率為

解法3（恒等變換視角）設 M={θ₁，θ₂，θ₃} ，不妨令 θ₁gt;θ₂gt;θ₃，f₃（x）=sin²（x-θ₁）+ （2 cos2θ₂+cos2θ₃）+（sin2θ₁+sin2θ₂+sin2θ₃）sin2x] ：若f（x）是常數函數，則[cos2θ+cos20+cos2θ=0，（20 （20從而 Φ（cos2θ₁+cos2θ₂）²+（sin2θ₁+sin2θ₂）²=1 ，得2 2 ，所以 ，得 4+2π，（k∈N），所以0，-0 或 +k₁π，（k₁∈N） ，同理， 或 Ψ∈ΨN） ，則 ① 集合 共有 13個元素，從中任

取3個元素組成集合 M ，共 286個，而滿足（1）的集合 M 有難 ， （2 {，m}，共5個，則使得舟（x）是常數函數的概 率為

解法4（向量視角） 故 f_n（x） 是常數函數的充要條件為 0.從而在 f₃（x） 中，有 考慮向量 ， （20號（ cos2θ₂ sin2θ₂^， ），’ ，則 +OC =，注意到三個向量都是單位向量，故它們任意兩者的夾角只能是 ，又由條件可知 （20 Ak∈N，k?12 ，從而易得 ，" 只能有以下5組取值： ， ， （204號 愛和雲 故 f₃（x） 是常數函數的集合 M 為祎 （204 故概率為

評析 通過三角恒等變換易發現 f_n（x） 為常函數時必有 ，進而聯想到單位圓上的點和對應的向量，借助向量的幾何意義得以巧妙求解，避開了繁瑣的討論.

2.3 （3）題解析

解法1 不妨令 θ₁gt;θ₂gt;…gt;θ_n ，因為 f₂（x）

，若函數f₂（x） 是常數函數，則 '得2+2cos（2θ₁-2θ₂）=0 ，所以 cos（2θ₁-2θ₂）=-1 得（20 2θ₁-2θ₂=π+2kπ，k∈N 所以 ，k∈N. （20

① 當 n 為偶數時， f_n（x） 可以拆分成 組兩項

（202 （20

的和，每一組為定值時 I_n（x） 也為定

值，所以函數 f_n（χ_x） 是常數函數的一個充分條件可以

這是難 ② 當 n 為奇數時， f_n（x） 可以拆分成1組三項

的和與

n?組兩項[sin2（x-θ）+sin2（x-θ+1）]

的和，每一組為定值

時 f_n（x） 也為定值，所以函數 是常數函數的一

個充分條件可以是

綜上所述，當 n 為偶數時，函數 f_n（x） 是常數函

數的一個充分條件可以是 當 n 為奇數時，函數 f_n（x） 是常數函數的一個充

分條件可以是

解法2（復數視角）取

2，…，n ，下同）即可滿足函數 f_n（x）（n≥2） 是常數函數，理由如下：

考慮復數 則 所以 z_k=z₂^k-1，z₂ⁿ=z₂?z_n=cos2π+isin2π =1，從而++ z₁+z₂+z₃…+z_n=1+z₂+z₂²+…+ 從而有 2（k-1）π=0，由（2） 可知，取 時，則 f_n（x）（n≥2） 是常數函數.

評析（3）小題的通過復數視角進行求解，其思路有明確的幾何意義，它源于”從正多邊形中心指向各頂點的所有向量之和為零向量”這一事實．考慮到教材不要求掌握棣模弗公式，此處借助等比數列來導出所需結論，回避了陌生的知識.

3變式拓展

對于集合 Ω={θ₁，θ₂，…，θ_n} 和常數 θ₀ ，定義 σ 為集合 Ω 相對于 θ₀ 的“正弦方差”.（1）若集合 ，求集合 Ω 相對于 θ₀ 的“正弦方差”；（2）若集合 ，寫出一個 θ 的值，使得集合 Ω 相對于任何常數 θ₀ 的“正弦方差”是一個常數，求出這個常數，并說明理由；（3）若集合 ，相對于任何常數θ₀ 的\"正弦方差”是一個常數，求出 α，β 的值.

解析 （1）當集合 時，集合 Ω 相對于 θ₀ 的“正弦方差”為 （2）當 時，集合 ，集合（204號 Ω 相對于 θ₀ （2 的“正弦方差”為 σ （20

1 COS T 200 1 cos 5π 20 3 3 + + cos200 2 2 = 3

此時集合 Ω 相對于任何常數 θ₀ 的\"正弦方差”為常數

（3）當集合Ω={，α，β}時，集合Ω相對于θ0的“正弦方差”為 cos2β）cos2θ₀] ，要使得上式對任何常數 θ₀ 是一個常數，則 所以 1-cos²2β= （204（202 （1-sin2β）² ，整理得 ，所以 2kπ 或=+2π，k ∈Z，又因為sin2α = cos2β=0 ，所以 或 即 此時這個常數為