非對稱Laplace分布下債券組合的尾部風險計量

摘要：本文研究了在正態分布和非對稱拉普拉斯（Laplace）分布下債券投資組合尾部風險的計量方法，并利用我國上市流通債券進行了實證分析。研究結果表明，相較于正態分布，非對稱Laplace分布能夠更加準確地刻畫投資組合尖峰厚尾及偏態分布等特征，可以更好地刻畫我國債券組合收益率的尾部風險。

關鍵詞：投資組合 風險計量 預期尾部損失 尾部條件方差

金融風險計量方法及其演進

商業銀行作為金融體系的核心組成部分，對金融資產風險的精確計量至關重要。這不僅關乎商業銀行自身的穩健運營，也影響著金融市場的穩定。

金融風險計量是使用數字來量化金融市場交易者風險敞口的方法，其通過將隨機變量集合映射到實數域的函數，將不確定性轉化為可計算的數字。經濟學家馬科維茨（Markowitz）最早使用方差來衡量投資組合的風險。然而，方差無法反映風險的非對稱特征。此后，學者們又不斷提出新的風險度量方法，如風險價值（VaR）、期望損失（ES）等方法。在對尾部風險的度量中，VaR是歷史最悠久的度量方法，最早由經濟學家鮑莫爾（Baumol）在1963年提出，1993年30國集團（G30）在《衍生產品的實踐和規則》報告中正式使用該方法。1997年，阿爾茨納（Artzner）等人提出相容風險度量的理論，該理論被廣泛認為是風險度量的基礎之一。之后，阿爾茨納（1999）提出用ES和尾部條件期望（TCE）來刻畫在超過VaR條件下的投資組合損失平均值，并通過計算論證了利用ES、TCE來度量風險比傳統的VaR更合理。同年，羅克費勒（Rockafellar）提出了條件風險價值（CvaR），該方法具有次可加性、正齊次性、單調性及傳遞不變性，可以更好地刻畫投資組合損失的平均值。巴塞爾銀行監管委員會在2017年發布的《巴塞爾Ⅲ：后危機改革的最終方案》中，明確提出推薦使用ES替代VaR。我國金融監管總局也在2023年10月發布的《商業銀行資本管理辦法》中要求商業銀行在市場風險計量中采用ES，來捕捉市場波動的尾部風險。

20多年來，CvaR、ES等指標在金融風險管理中得到廣泛應用，但其計量條件要求比較嚴格，且只能刻畫尾部損失的均值，無法刻畫尾部損失的波動性。2010年，蘭茲曼（Landsman）提出用尾部條件方差（TCV）來計量極端風險，從方差角度刻畫超過VaR部分的尾部損失波動性。對非常關注極端情況下所面臨風險的投資者來說，TCV是一個很好的風險計量方法。

為更加系統地比較不同方法在尾部風險刻畫中的特性，研究者也在不斷探索更適合金融資產極端風險建模的概率分布，以提升風險計量的準確性和適應性。拉普拉斯（Laplace）分布是比正態分布更為特殊的一種分布函數，具有尖峰厚尾的特征，能夠更好地刻畫金融資產收益分布中的非對稱性和極端風險，且在Laplace分布基礎上可以構造出非對稱Laplace分布，來體現偏態分布特征，在復雜的金融工程建模中具有較高的應用價值。

下文將基于非對稱Laplace分布來研究債券投資組合的尾部風險計量?？紤]到ES、CVaR和TCE三者在一定條件下是等價的，本文選取VaR、TCE和TCV三個指標進行比較。相關研究結論對于商業銀行等金融機構計量金融資產的尾部風險和開展壓力測試具有一定的借鑒價值。

非對稱Laplace分布的參數估計與尾部風險計量

（一）非對稱Laplace分布的參數估計

非對稱Laplace分布是在傳統Laplace分布的基礎上引入一個形狀參數，是對Laplace分布的擴展。對于隨機變量X，如果滿足分布X～AL（μ， σ， λ），則X的非對稱Laplace密度函數可以表示為：

其中，，I[X＞μ]為示性函數，即：

本文參考Kozubowski（2001）提出的方法，如果隨機選取X1，X2…Xn，并按照從小到大進行排序，得到X1'，X2'…Xn'，則非對稱Laplace分布的參數估計可以采用極大似然估計法，各參數的估計結果分別為：

在Laplace分布密度函數中，μ為位置參數，代表分布函數的中心位置；σ為尺度參數，代表分布的離散程度；λ為偏度參數，也稱為形狀參數，控制分布的偏斜程度。

（二）非對稱Laplace分布尾部風險度量

1.非對稱Laplace分布下的VaR度量

設X是概率空間（Ω， Σ， p）上某一投資組合損益分布的隨機變量，記F（X）是其分布函數，F? （X）=1-F（X），記x（α）=inf{x∈R | F（x）≥α}為隨機變量α下的分位數，α∈（0，1），金融風險資產的VaR可以寫為：

VaR（X）=-inf{x∈R | P（X≤x）≥1-α}

則：

VaR（X）=-F-1（1-α）=-x（1-α）

對于非對稱Laplace分布，假定X～AL（μ， σ， λ），在一定的置信水平α下，當α≥1-λ時：

VaRα（X）=-μ+qσ

其中：

當0≤α≤1-λ時：

同樣可知，在一定的置信水平α下：

VaRα（X）=-F-1（1-α）=-x（1-α）

另外，對于非對稱Laplace分布X～AL（μ， σ， λ），分布函數滿足F（μ）=λ，有以下結論：

當α≥1-λ時，則x（1-α）≤μ，分布函數可寫為：

F（x（1-α））=-λ exp{[x（1-α）-μ]}=1-α

可得：

其中，z（α）為標準化隨機變量z=（X-μ）/σ的下α分位數。

當0≤α≤1-λ時，x（1-α） gt; μ，則：

F（x（1-α））=1-（1-λ）exp{-[x（1-α）-μ]}=1-α

可得：

（1）

同理：

2.非對稱Laplace分布下的TCE度量

設隨機變量X為某金融資產的收益率，則：

TCEα（X）=-E[X | Xlt;-VaRα（X）]

對于非對稱Laplace分布X～AL（μ， σ， λ），在一定的置信水平α下，當α≥1-λ時，金融資產風險的TCE為：

TCEα （X）=-μ+Kσ

其中：

當0≤α≤1-λ時，金融風險資產的TCE為：

TCEα （X）=-μ+Kα，λσ

其中：

，

同理，在一定的置信水平α下，得到的TCE為：

（2）

3.非對稱Laplace分布下的TCV度量

對于非對稱Laplace分布X～AL（μ， σ， λ），在一定的置信水平α下，當α≥1-λ時，金融資產風險的TCV為：

TCVα（X）=Tσ2

其中：

當0≤α≤1-λ時，金融風險資產的TCV為：

TCVα（X）=Tσ2

其中：

，

根據TCV定義，可以證明在置信水平α下的TCV為：

（3）

實證分析

本文在確保樣本券公開數據完整、連續且易于獲取的基礎上，優先選擇發行規模較大、市場流動性較好的券種，并力求覆蓋不同信用債券種及多元化行業類別，最終選取中債-信用債總指數（3-5年）中9只具有代表性的樣本券作為分析對象。樣本數據為2019年1月1日至2025年3月31日的債券收盤價格，其間共有1559個交易日。債券收益率采用日對數收益率rt來表示：

rt=（lnPt-lnPt-1）×100

其中，Pt為第t個交易日的收盤價，Pt-1為第t-1個交易日的收盤價。利用以上公式可以計算出所有交易日的對數收益率。另外，債券付息兌付行為可能引起價格波動，本文對還本日、付息兌付日提前或者行使票面調整權力等因素所造成的債券價格突然變化進行了平滑處理，使用前5個交易日收益率均值替換異常價格變化日的收益率。經過數據預處理后，9只債券收益率的直方圖如圖1所示?？梢钥闯觯?7債券A、13債券A這兩只債券的厚尾現象比較顯著，17債券C、18債券B、18債券C這3只債券的尖峰現象比較突出。

為了驗證該組債券收益率數據是否具有正態分布的特點，本文采用雅克-貝拉（JB）與柯爾莫可洛夫-斯米洛夫（K-S）兩種方法對樣本數據進行檢驗，檢驗結果如表1所示?？梢钥闯?，9只債券個體及其投資組合的偏度系數都不為0，說明該組樣本及投資組合的收益率分布具有非對稱性。此外，由于表1中所有債券樣本收益率的峰度值都大于3，且JB統計值與K-S統計值對應的P值都小于顯著水平，表明有足夠的證據拒絕原假設，說明各樣本債收益率不服從正態分布。此外，從圖1可以直觀地看出，幾乎所有債券收益率數據都表現為非對稱性。因此，非對稱Laplace分布與該組債券收益率數據的特征較為吻合。

在考慮多只債券組合的情況下，根據資本資產定價理論，首先得到收益率向量協方差矩陣的估計結果，如表2所示。

根據馬科維茨均值方差模型理論，在無風險收益率為3%的假設條件下，暫不考慮賣空行為，求解表2中投資組合方差最小條件的組合結果，得到的最優投資組合見表3。

為了進一步分析投資組合收益率的特點，筆者根據上述最優權重構建債券投資組合，所獲得的收益率走勢與收益率分布情況如圖2與圖3所示。

從圖3可以直觀地看出，相對于正態分布，非對稱Laplace分布可以更好地刻畫債券投資組合收益率的分布。對兩種分布分別進行參數估計，結果如表4所示。從中可以看出，正態分布參數μ的估計值在0附近波動，與非對稱Laplace分布中的位置參數μ的估計值均大于0。結合圖2、圖3組合收益率的實際分布情況來看，非對稱Laplace分布波動參數σ的估計值更小，說明數據集中度更高，曲線更加陡峭，更符合實際收益率分布的尖峰現象。另外，形狀參數λ? =0.5401gt;0.5，說明分布圖形左偏，表明非對稱Laplace分布較好擬合了債券投資組合的收益率數據。

根據上文求得的債券投資組合最優權重以及參數估計結果，可得到正態分布與非對稱Laplace分布下投資組合的尾部風險計量結果（見表5）。從表5中可以看出，在不同顯著水平下，相對于正態分布，非對稱Laplace分布投資組合VaR、TCE和TCV的估計值與實際值的誤差均更小。

為進一步觀察在不同分布假設下投資組合尾部風險計量的準確度，本文對不同顯著水平下的情況進行對比，分析結果如圖4、圖5和圖6所示。可以看出，在不同置信水平下，正態分布假設條件下計算的VaR、TCE、TCV估計值與債券投資組合的實際值誤差較大，非對稱Laplace分布則能夠較好地擬合實際值。尤其是在對VaR、TCE的估計方面，后者幾乎完全擬合了實際值的變化趨勢，更準確地刻畫了金融資產的尾部風險。

結語

對金融資產尾部風險的準確計量是金融機構進行風險管理的重要過程。本文考慮了不同風險計量指標在最優投資組合模型中的應用問題，并以9只中債-信用債總指數（3-5年）的樣本券作為分析對象進行了實證分析。結果發現，相較于正態分布，非對稱Laplace分布能夠更加準確地刻畫投資組合尖峰厚尾及偏態分布等特征。從應用角度看，在不同顯著水平條件下，非對稱Laplace分布對VaR、TCE、TCV的估計結果與實際值均較為接近，說明其可以更好地刻畫債券組合收益率的尾部風險。

在實踐中，對投資組合尾部風險的度量是一個復雜的過程，相關理論與實踐都還在不斷地發展。本文上述研究結果只適用于正態分布與非對稱Laplace分布的情形，對于其他分布類型，如t分布、極值分布、對數正態分布、Copula分布，未來仍需要進一步探究。

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