數運算本質一致性的教學思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）明確指出：第三學段的學生已經處于從具體運算向形式運算的過渡期，要求學生從整數、小數、分數運算的共性中探索數運算本質的一致性，更強調了溝通數運算本質一致性的重要性。整數、小數、同分母分數加減法，學生都很容易從算理上理解相同計數單位進行運算，但是到了異分母分數加減法和分數乘除法內容時，學生難以理解比較抽象的運算，很難找到和以往運算的共性。本文以分數四則運算為例，將從以下四塊內容來探究數運算本質的一致性。

一、同分母分數加減法數運算本質的一致性

人教版數學五年級下冊第六單元第一個課時集中探討了同分母分數加減法。此內容在學生以往學習的基礎上，很容易理解分子相加減的結果做分子，但是分母為什么不相加減，教師一定要讓學生深入探究，這是揭示同分母分數相加減算理的關鍵問題。教材出示了3/8+1/8=？的情境圖。教師要從情境圖中挖掘這張餅總共分出8份，計數單位是1/8，是3個1/8和1個1/8的和，合起來就是4個1/8，4個"1/8合并起來就是4/8，分數單位還是1/8，分數單位不變。分子相加表示計數單位的個數相加，分數單位不變所以分母不變。同分母分數加減法的計算法則是：只把分子相加減、分母不變。

即：3/8+1/8→計數單位都是1/8

=（3+1）/8→3個1/8和1個1/8的和

= 4/8→4個1/8

同分母分數加減法實際就是把相同計數單位相加減的結果，這就和整數、小數的運算本質建立了一致性。

二、異分母分數加減法算理的一致性

異分母分數加減法是學生在學習了同分母分數加減法的基礎上，讓學生把異分母分數加減法再轉化成同分母分數加減法的過程。以教材中1/8+1/4的運算為例，教師引導學生理解分母不同實際上就是分數單位不同，不同的計數單位不能相加，那么怎樣把不同的計數單位轉化成相同的計數單位呢？引導學生思考把大的分數單位1/4再細分成更加細小的分數單位，比1/4更小的分數單位有無數個，但是要和1/8的分數單位相統一，就必須是4和8的最小公倍數，從而找到1/4和1/8共同的分數單位是1/8，這個過程就是通分。通分的實質是把兩個不同的分數單位再細分，從而統一分數單位的過程，順勢就把異分母分數加減法轉化為同分母分數的加減法。

即 ：1/8+1/4→（計數單位分別為1/8和1/4）

=1/8+2/8→（計數單位統一為1/8）

=（1+2）/8→（1+2是計數單位的個數）

=3/8→（3個 1/8）

通過讓學生經歷通分的過程，學生明白通分的意義，便對統一分數單位有了更深入的認識，轉化為同分母分數加減法，仍然是相同計數單位相加減的運算本質。

三、分數乘法算理的一致性

六年級上冊在教學分數乘法的內容時，教材先安排了分數乘整數的內容。分數乘整數的內容，其本質是同分母分數加法的簡便計算，學生很容易轉化為同分母分數的加法。

即：2/9+2/9+2/9→（分數單位都是1/9）

=（2+2+2）/9→（合并計數單位的個數）

= 2X3/9→ （6個1/9是多少）

= 6/9

因為分母相同，所以計數單位也相同，只要把分子的個數相加，所以分子乘整數的積表示計數單位的個數；計數單位都是相同的，所以分母不變。在已學過同分母分數加法的基礎上，學生很容易理解分數乘整數運算的本質也是相同計數單位相加。

打通數運算本質的一致性，難點是分數乘分數的運算方法，這是學生由具體運算向形式運算的典型案例。到這個環節的教學，教師如果講不清楚其中的關鍵，學生就很容易形成死記硬背的機械運算。以教材1/2×1/5為例，1/2和1/5的計數單位各不相同，借助已有的學習經驗，學生很難找到數運算本質的一致性。通過教材情境，讓學生理解1/5是在1/2的基礎上再細分，把1/2等分為5份后，實際上重新等分成了10份，產生了新的計數單位，1/2和1/5的共同的計數單位變成了1/10。

即：1/2×1/5→（計數單位分別是1/2和1/5）

= 1×1/ 2×5→（1×1表示兩個計數單位個數的積；2×5表示兩個計數單位份數的積）

= 1/10→（1表示新的計數單位的個數，10表示二次平均分的總份數）

所以分子相乘表示新的計數單位的個數相乘，分母相乘表示新的計數單位的份數相乘。在分數乘分數的教學中，一定要讓學生理解產生新的計數單位的過程，從而找到數運算本質是相同計數單位運算的共性。

四、分數除法算理的一致性

教學分數除法時，教材先安排了分數除以整數，無疑和分數乘整數的安排一樣，都是基于學生對整數乘除法已經非常熟練的基礎上，讓學生借助整數乘法的意義來理解分數除法的意義。分數除以整數，其意義和整數除法一樣，平均分只是把份數變少而不能改變份數的大小，份數變少只要把分子平均分，份數的大小不變就是計數單位不變。所以分子除以整數得到新的份數做分子，分母不變。這種算法對于分子正好可以平均分的情況下，學生可以無障礙理解數運算本質的一致性。

但是當出現分子除以整數得不到一個整數時，如何打通數運算本質的一致性又是一個難點。在學生已經有了不夠分就再分成更小份數學習經驗的基礎上，引導學生把分數的分子分母同時擴大成整數的倍數，再用擴大后的新的分子除以整數，二次均分的結果實際上產生了新的計數單位。

即：4/5÷3

=（ 4÷3）/5→（4不可以剛好均分成3份）

=（4X3）/（5X3）÷3→（分子分母同時擴大3倍，計數單位變成1/15 ）

=12/15÷3→（新的份數12除以整數做分子）

= 12÷3 →（分母不變）

= 4/15（均分得4個1/15）

通過以上過程，讓學生理解分數除以整數的運算，本質上也是相同計數單位的運算。

分數除以分數，仍然要引導學生明白計數單位不相同不可以直接算。以教材 5/6÷5/12=？為例，5/6的分數單位是1/6，5/12的分數單位是1/12，1/6和1/12共同的最小分數單位是1/12，在統一分數單位的過程中，也就把相同計數單位分別進行了運算。

即：5/6÷5/12→（計數單位不同，不能直接運算）

=10/12÷5/12→（分數單位統一成1/12）

=（10÷5）÷（1/12÷1/12）→（分數單位的個數除以個數，分數單位除以分數單位）

=2÷1

=2

分數除以分數的教學中，教師切不可以單向灌輸“一個數（零除外）除以分數等于乘這個數的倒數”的計算法則，這樣學生很難關聯相同計數單位運算的算理。

綜合分數四則運算運算的過程，不論是同分母分數加減法、異分母分數加減法，還是分數乘除法，我們都要在學生理解是相同計數單位相加、相減、相乘、相除的基礎上，再總結各自簡潔明了的運算法則。從而順理成章地揭示整數、小數、分數運算本質上都是相同計數單位的運算。

以上教學思考是居于一線教學中，部分教師簡單粗糙地讓學生死記硬背計算法則，忽視算理，把各種數運算方法孤立教給學生，沒能從根源上深入為學生溝通數運算本質的一致性。在新課標要求溝通數運算本質一致性的大背景下，希望本文粗淺的觀點能夠引發教學同仁更多的思考和關注，從而深入推動小學數運算本質一致性的理解。