文化浸潤 推理明法

分數除以分數是青島版小學數學五年級上冊分數除法單元的教學內容。這部分內容是在學生已經學習了整數除法、小數除法、分數乘法、分數除以整數、整數除以分數，以及商不變規律、通分等的基礎上進行教學的。在以往的學習中，學生往往根據分數除以整數的學習經驗，很自然地認為分數除以分數也是“顛倒相乘”的計算方法，導致教學中只側重運算法則的記憶及模仿運用，而缺少讓學生理解為什么要“顛倒相乘”的學習過程。沒有推理的支撐，學生雖記住了算法，但對算理的理解很難走向深入。

在一次省級教師培訓中，有幸觀摩了煙臺于慶洋教師執教的《分數除以分數》，于老師帶領學生像數學家一樣去思考和學習，注重培養學生思考及表達的有序和嚴謹，做到了方法多樣且分析有理有據，促進理法融通，發展學生的理性精神。以下擷取幾個教學片段，具體分析解讀。

一、依托推理，理解算理提煉算法

出示方法1，指名交流。 [探究卡1

你會計算[58]" ÷" [23]嗎？

畫一畫，算一算或用推理的方法，計算出[58]" ÷" [23]的結果，并記錄下思考的過程和依據。

[58]" ÷" [23]" =" [58×23]" ÷" [23×32]" =" [58×32]" ÷" 1" =" [58]" ×" [32]" =" [1516]]

生1：我發現[23] × [32] = 1，用[58] × [32]的積再除以[23] × [32]的積，等于[58] × [32]的積除以1。1可以忽略，[58] × [32] = [1516]。

[探究卡1

你會計算[58]" ÷" [23]嗎？

畫一畫，算一算或用推理的方法，計算出[58]" ÷" [23]的結果，并記錄下思考的過程和依據。

[58]" ÷" [23]" =" [58×24]" ÷" [23×24]" =" 15" ÷" 16" =" [1516]]

生1：依據商不變的規律。因為[23] × [32] = 1，這樣更好算。

師：依據商不變的規律，我們將分數除以分數轉化成了分數乘分數。

出示方法2，指名交流。

生3：被除數和除數同時乘了兩個分數分母的最小公倍數24，把它們轉化成整數除法，最后結果是[1516]。

師：為什么要同時乘24呢？

生3：同時乘了分母的最小公倍數，可以把它們轉化成整數。

師：觀察這兩種推算過程，你認為分數除以分數可以怎么計算？

生5：分數除以分數等于分數乘除數的倒數。（完善板書）

師：回顧這兩節課的學習，你覺得怎樣計算分數除法？

師：如果用甲和乙表示這兩個數，誰能再來說一說？

生：甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。

教學中，教師通過問題情境引導學生用不同的方法推算出[58] ÷ [23]的結果，在探究過程中，學生嘗試從分數的意義、除法的意義、商不變規律等方面，靈活運用已經學過的知識和方法，把分數除法轉化成分數乘法。在算法交流中教師引導學生說清推理的依據，并鼓勵學生大膽質疑，使學生透徹理解了算理和算法。雖然算法不同，推理依據各異，但最終結果都把分數除法轉化成分數乘法，殊途同歸。“顛倒相乘”的算法也最終浮出水面。隨后引導學生舉例驗證，體驗數學從一般到特殊的論證過程。最后引導學生優化運算法則的表達，感受用字母表示數量關系的優越性，體會數學表達的簡練與嚴謹，發展理性精神。在猜想、驗證、得出結論的全過程，我們看到了推理在運算教學中的價值。

二、溝通聯系，感受數運算的一致性

師：同學們發現的分數除法的計算方法，我們簡稱為“顛倒相乘法”。這里的兩個數。只能是分數嗎？請同學們選擇一個你喜歡的數，寫出一道除法算式，用“顛倒相乘法”來算一算？學生舉例驗證。

師：除了“顛倒相乘法”，剛才我們在研究[58] ÷ [23]的時候，還想到了其他的方法，我們一起再來看一看。

出示方法3：[58] ÷ [23] = [1524] ÷ [1624] = 15 ÷ 16 = [1516]

師：我們在計算[58] ÷ [23]時，為什么可以用15 ÷ 16計算？

生：因為他們的計數單位統一了。計數單位統一就可以用計數單位的個數相除。

師：看來分數除法和整數除法、小數除法、的算理都是一致的。都可以先統一計數單位，再把計數單位的個數相除。

于老師通過“顛倒相乘法”在小數除法和整數除法中的推廣嘗試，帶領學生初步感受分數除法、小數除法和整數除法之間的聯系。借助對算法“[58] ÷ [23] = [1524] ÷ [1624] = 15 ÷ 16 = [1516]”的分析，使學生發現分數除法也可以用統一計數單位，用計數單位個數相除的方法來計算。從計數單位的視角，溝通了分數除法和整數除法、小數除法在算理和算法上的一致性，即都可以先統一計數單位，再把計數單位的個數相除，深刻體會數運算的一致性。

三、滲透數學文化，優化推理過程

師：古人是怎么研究分數除法的？（播放視頻，了解分數除法的歷史）

師：古人的方法和我們的方法比，你能發現它們之間的聯系嗎？

生：“通分法”就是我們計數單位統一后用分子相除的方法。

生：“同乘法”就是同時乘分母和分母的最小公倍數，化成整數除以整數。

生：“化一法”和我們通分的方法其實是一樣的，也是化成相同的計數單位之后再用分子相除。

師：數學發展就是這樣一個不斷優化的過程。正因為“顛倒相乘”很簡便，所以從古代一直沿用至今。

教學中，于老師梳理了國內外有關分數除法的歷史，引導學生結合本節課推理的經驗，尋找自己的方法與數學家的方法之間的聯系，完善形式表征，幫助學生進一步理解算理算法、優化推理過程。在方法的對比分析中，培養了學生的文化自信，在學生發現自己的算法和數學家的方法一致時，有助于培養學生的自豪感和學好數學的自信心。

總之，整節課于老師循著學生的思維起點，引導學生在已有的知識和經驗基礎上，借助推理，從不同角度理解分數除法中“顛倒相乘”的道理。在學生發現算法、提出猜想、驗證猜想、得出并完善結論的全過程，我們見證了分數除以分數“顛倒相乘”的運算法則從“幼苗”萌芽，再到吸收四面八方的“陽光”和“水分”，最后茁壯成長為“大樹”的歷程。在整個過程中，我們聽到了學生有理有據的表達，看到了推理在運算教學中的力量，真切感受到了學生運算能力和推理意識的充分發展。