追尋結構化思維生長的教學研究

學生結構化思維的生長需要依托結構性的知識形成過程來獲得。教師在組織教學時，要通過解讀數(shù)學知識體系，抓住結構性教學設計的核心元素，尋找有效方法，引導學生在開展結構性學習活動中，培養(yǎng)結構性思維，發(fā)展核心素養(yǎng)。

一、多側面理解，建構概念，在助力結構形成中讓結構性思維得到沉淀

面積概念的建立，是發(fā)展平面圖形面積知識的源頭。關于面積的意義教學，張奠宙認為，我們要對同一類的平面圖形指定一個合適的數(shù)，并使之滿足以下這些特性：有限相加性、運動不變性和正則性。基于此，教師可借助多元化指標，即六個側面一一解釋、闡明、應用、洞察、深入及自知，結合這六個側面幫助學生展開結構性學習，讓學生通過建立完善的認知結構，沉淀結構性思維。

（一）抽象出面積是一個數(shù)，初步感知面積的本質(zhì)和特性

例如，在教學蘇教版數(shù)學三年級下冊“長方形和正方形的面積”中的例2時，教師引導學生從數(shù)方格比較面積大小轉換到用數(shù)進行比較，逐步推進用數(shù)表達面積，促進學生對面積大小的感知。教師首先讓學生產(chǎn)生認知沖突，從而發(fā)現(xiàn)用觀察、重疊法沒辦法進行比較，嘗試用剪拼后重疊的方法，又發(fā)現(xiàn)其太煩瑣；其次，運用類比，讓學生回顧測繩子的長度、比較物體的輕重的學習過程，進而找到用一個小正方形作為測量標準是合適的辦法；再次，讓學生經(jīng)歷用單位正方形進行平鋪（不重復）的過程；最后，根據(jù)操作結果，由數(shù)出兩個長方形分別包含小正方形的個數(shù)來比較面積大小，轉換到用抽象的數(shù)來比較，使學生初步獲得對面積可抽象成數(shù)的認識和對面積的可測性、有限相加性等的感知。

（二）給圖形面積找到一個對應的數(shù)，理解面積的本質(zhì)和特性

問題一：下列不同圖形（圖1）的面積可用哪些數(shù)來表示？

圖1

教學中，教師首先要啟發(fā)學生思考，探究出每個圖形面積數(shù)的獲得方法，最重要的是要引導學生利用割補法求得梯形和右邊兩個圖形所包含的單位正方形的個數(shù)，幫助學生進一步理解面積的概念。

問題二：是不是所有圖形的面積都能用相應的數(shù)來表示？

第一，教師出示圖2中的 ① 圖，并且提問：這幅圖中包含多少個完整的小方格？你知道這個長方形的面積是多少嗎？思考一下，能不能用整數(shù)個小方格來表示呢？學生經(jīng)過討論，并且根據(jù)圖形的特點，想到了把原來的1個小方格等分成4個小正方形，然后用其中的一個去平鋪。最后教師利用課件演示、驗證（圖2中的 ② 圖）

圖2

第二，教師出示圖2中的 ③ 圖，質(zhì)疑：用剛才的小方格去鋪，但是鋪不滿，怎么辦呢？同上面一樣，教師引導學生選擇更小一點的小正方形去鋪滿圖2中的 ④ 圖。

第三，教師繼續(xù)啟發(fā)學生想象與思考：按照這樣的規(guī)律，還會出現(xiàn)鋪不滿的長方形嗎？照這樣分下去，小正方形的面積會越來越接近什么呢？

面積的本質(zhì)和特性是平面圖形面積學習的重點，也是難點，尤其是本質(zhì)意義的抽象和特性的理解兩者的整合。教師結合多元表征的方式，讓學生經(jīng)歷動手操作、用圖說明、語言表達、用數(shù)符號表示面積大小，以及具體實例、割補轉化、單位面積動態(tài)變換等，實現(xiàn)了用數(shù)符號與面積大小的對應表達，以及需要滿足的一些特性之間的來回溝通與轉化過程。學生經(jīng)歷這樣的結構性學習過程，逐步理解了面積的本質(zhì)和特性的內(nèi)涵，建立了關于面積概念的認知結構。由此，學生的結構性思維得到培育，這為他們后續(xù)學習平面圖形面積計算知識奠定了良好的基礎。

二、多維度聯(lián)結，有序拓展，在助力結構完善中讓結構性思維得到提升

布魯納指出，學習結構就是學習事物是怎樣關聯(lián)的。數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系是非常緊密的，而其在教材中的呈現(xiàn)是點狀的、跳躍式的。教學中，教師要引導學生通過溝通、轉換和融合，打開“壓縮化”的知識，將有聯(lián)系的知識聯(lián)結起來，助力組建完善的知識結構，使學生的結構性思維有生長力。

例如，在教學“直線平面圖形的面積計算公式”時，教師基于圖形面積相互轉化的視角，應用轉化思想，引導學生尋找聯(lián)結關系，拓展知識結構，從而形成完整的知識結構體系。

一是建構圖形之間元素關聯(lián)結構，如在學習“長方形和正方形的面積”時，從學生已有的面積認知經(jīng)驗出發(fā)，用單位面積小正方形拼擺等方法，推導出長方形（正方形）面積公式后，又引導學生觀察長方形（正方形）兩條邊之間的關系，發(fā)現(xiàn)長方形（正方形）之所以可以用作為單位面積的小正方形進行拼擺、度量，是因為長方形（正方形）兩條邊互相垂直。在學習平行四邊形的面積公式時，教師可以結合把平行四邊形分割并拼成面積相等的長方形圖，引導學生進行比較后得出“原來平行四邊形的底和高，相當于拼成的長方形的長和寬”。這樣，學生就清晰地理解了平行四邊形面積、底和高與長方形面積、長和寬之間的元素關聯(lián)，為后面平行四邊形面積公式的推導做了很好的鋪墊。用同樣的方法，把三角形、梯形割拼成長方形，引導學生了解三角形（梯形）的面積、底和高與拼成的長方形的面積、長和寬（底和高）之間的關聯(lián)。如此，學生在直線平面圖形之間建構起關于面積計算核心元素的關聯(lián)結構，即“都是在相互垂直的一組線段的乘積基礎上進行的一種關聯(lián)變化”。

二是建構圖形之間轉化的方法結構。如在學習平行四邊形面積時，教師可以引導學生從反思、推導其面積公式的過程中發(fā)現(xiàn)割補的方法，這樣在不改變圖形面積的情況下，就可以通過改變圖形的形狀，建立起平行四邊形與長方形的元素聯(lián)結，推導出平行四邊形的面積公式，用同樣的圖形轉化方法引導學生建構三角形、梯形與平行四邊形的面積計算核心元素關聯(lián)，推導出它們的面積計算公式。在學習完上述系列圖形面積公式的推導方法后，教師從轉化的方法視角統(tǒng)整，按知識發(fā)展的邏輯關聯(lián)，從長方形出發(fā)，構筑成塊，以便學生突破知識結構的局限性，從知識結構走向方法結構，實現(xiàn)一次認知的飛躍，從而促進學生的知識建構。

上述教學中，比較、觀察、反思、轉化等方法的運用過程，實質(zhì)上是將要發(fā)展的新知識與面積本質(zhì)特性等已有知識聯(lián)結的過程。學生在溝通、轉換、融合中建立整體性的結構體系，從而提升結構性思維。

三、在多層次應用中解決問題，助力結構遷移，讓結構性思維得到深化

學生將自己所學知識遷移到新情境的能力為適應性和靈活性學習提供了一個重要的標志。應用與解決問題是從“學結構”到“用結構”的遷移過程，在全新情境下，學生能識別儲備知識，并進行有效應用。這樣，學生就把學習結構的經(jīng)驗快速遷移到了新的情境中，類比學習新知，解決新的問題，再建立新結構。

例如，在教學“釘子板上的多邊形”時，當學生看到探究問題因為“多邊形邊上的釘子數(shù)”和“釘子板內(nèi)部的釘子數(shù)”同時變化，無法看出釘子板上的多邊形面積與邊上釘子數(shù)以及內(nèi)部釘子數(shù)之間的關系時，教師可相機引導學生回憶研究“積的變化規(guī)律”時采用的方法，即固定一個因數(shù)不變，看另一個因數(shù)與積的變化規(guī)律。由此學習方法遷移得出，研究釘子板上的多邊形面積問題時，也可以固定多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，來研究多邊形邊上釘子數(shù)與面積之間的關系。教師引導學生從內(nèi)部釘子數(shù)為1的情況入手研究，在不同的多邊形中找到相同點，通過對比觀察、舉例驗證，得出規(guī)律。在這樣解決問題的過程中，學生學會了把新知納入原有認知結構的方法，形成了新的認知結構。

綜上所述，學生在學習活動中，借助已有知識結構經(jīng)驗、思維結構經(jīng)驗以及數(shù)學思想方法基礎，運用類比學習新知的數(shù)學方法，在經(jīng)歷用結構化思維解決問題的過程中，在更高的層面上實現(xiàn)了理解與遷移，發(fā)展了結構化思維。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022