不同長徑比下圓柱套筒的破片初速軸向分布

中圖分類號：O381;TJ410 國標學科代碼：1303520 文獻標志碼：A

Axial distribution of fragment initial velocities from cylindrical casing with different length-to-diameter ratios

BIWeixin，LIWeibing，LIJunbao，ZHUWei，LI Wenbin （MinisterialKeyboatoyjingUversitfiencendologyjing，a）

Abstract：Toaccuratelypredicttheinitialvelocitydistributionofcylindricalcasingundercentralpointdetonationatoneend with different length-diameter ratios （L/D） ， it studied the impact of L/D on the initial velocity of fragments and the applicability of existing empirical models for theinitial velocityoffragments foundedonthe numerical modelof experimental verification. On this basis， a correction term related to L/D ，which was often influenced by the axial rarefaction waves，was added to the fragment initialvelocityindex model.Byfitingthedataobtainedfromnumericalsimulations，thefunctionexpressionof the correction term was derived and thecalculation model for the initial velcity distribution ofcylindricalcasing with L/D?1 was obtained.Finally，theapplicabilityoftheestablishedfragmentinitialvelocitycalculationmodelwasvalidatedthrough experimentaldataandnumerical simulations.Theresearchresults indicate thattheinitial velocitydistributionoffragments under different L/D exhibits a trend where the initial velocities are lower at both ends and higher in the middle. Additionally， as the L/D raises，the initialvelocityofthe fragmentalsoincreases.When the L/D reaches5，the relative error between the maximum initial velocity of the fragments and the calculated result using the Gurney formula is only 1.99% .However， the existingmodels forcalculating initial velocitiesoffragment displaysignificanterrorswhen predictingsmaler L/D in cylindrical casing.The averageeror between the formula calculation resultsandtheexperimental andnumerical simulation results does not exceed 6% ，indicating that the proposed model is reliable for predicting the initial velocity distribution of fragmentsunder different L/D

Keywords：cylindrical casing; fragment initial velocity;length-to-diameter ratio; axialrarefaction wave

裝滿炸藥的圓柱套筒是破片型武器最常用的結構。在一端中心起爆后，圓柱套筒會發生膨脹變形并最終破裂成破片，當爆轟產物作用在破片上的壓力與破片受到的空氣阻力平衡時，破片的速度趨于穩定并達到最大值，此時破片的速度稱為破片初速。破片初速是衡量破片殺傷威力及評估防護結構性能的重要指標，因此大量研究采用理論分析、數值模擬及試驗等方式對炸藥驅動下的圓柱套筒產生的破片初速進行了相關研究及預測。Gurney[1]基于能量守恒定律提出了最為典型的破片初速計算公式（Gurney公式），其破片初速與裝藥質量和套筒質量的比及炸藥類型相關：

式中： 為格尼能， u₀ 為破片初速， β 為裝藥質量與套筒的質量比。雖然Gurmey公式假定裝藥瞬間起爆，且炸藥的內能全部轉換為圓柱套筒與爆轟產物氣體的動能且所有的破片沿圓柱套筒軸向分布的初速相同，但一些研究（如文獻[2-6]）表明，對較大長徑比 （L/D） 的圓柱套筒，Gumey公式的計算結果與試驗得到的最大破片初速吻合良好，相對誤差在 10% 之內。然而，實際上圓柱套筒并非無限長，端部的稀疏波會降低兩端的破片初速，Gurmey公式只能預測最大破片初速，并不能預測兩端的破片初速。因此，許多學者研究了兩端稀疏波對破片初速的影響，并基于Gumey 公式提出了計算精度更高的修正公式。

Zulkouski[2]通過大量實驗，在Gumey 公式中添加了一個指數形式的修正項，以修正起爆端和非起爆端軸向稀疏波對破片初速的影響：

式中： x 為圓柱套筒上距起爆端的軸向距離， D 為裝藥的直徑， L 為裝藥的長度。修正公式表明了軸向稀 疏波對破片初速的影響與裝藥直徑、距起爆點的距離及裝藥長度有關。

Charron3提出了一個破片初速軸向分布的修正公式，假設在圓柱裝藥的兩端分別挖去兩個錐體，其中在起爆端錐體的長度等于兩倍的裝藥半徑，非起爆端錐體的長度等于一倍裝藥半徑，以此作為圓柱套筒起爆的等效模型，得到速度分布結果：

式中： F（x） 為修正系數，可以表示為 F（x）=1-min{x/2R，1，（L-x）/R} ，其中 R 為裝藥半徑。

式（2）計算出的起爆端的破片速度為0，式（3）計算出的起爆端和非起爆端的破片速度為0，這顯然與試驗結果不符。為修正軸向稀疏波對破片初速分布的影響，解決端部破片速度為0的問題，Huang 等[4]利用X射線實驗清楚的拍攝到了不同時刻破片軸向速度分布情況，并根據試驗結果，在Gurmey 公式的基礎上，添加了指數形式的修正函數：

式中： u₀ 為 Gumey公式計算的破片初速;起爆端修正項 ，非起爆端修正項 F₂（（L-x）/D）= ， A₁，B₁ 為起爆端的修正參數， C₁，D₁ 為非起爆端的修正參數。Huang等[4]根據L/D=3.27 圓柱套筒的試驗數據，在不考慮端部稀疏波相互作用的條件下，采用最小二乘法擬合得到參數A₁，B₁，C₁，D₁ 的固定值，進而得到計算精度很高的破片初速修正公式：

Gao等5基于對有效裝藥質量的考慮，采用與文獻[4]類的方法，通過縮減有效裝藥質量來修正軸向稀疏波對破片初速分布的影響，得到如下公式：

式 （5）～（6） 雖然解決了起爆端和非起爆端速度為0的問題，但都是從 L/Dgt;3 試樣的試驗數據推導出來并進行驗證的，對 L/D 較小的套筒軸向初速分布預測并不準確，適用性較窄。因此，Liu等采用正交閃光X射線攝影技術，對不同 L/D 的圓柱套筒軸向破片初速分布進行了測量和分析，在式（5）形式上

添加了考慮 L/D 影響的修正項：

式（7雖然考慮了 L/D 對破片軸向初速分布的影響，但當試樣參數改變時，其破片初速預測誤差較大，且 L/D 適用范圍較窄。因此，應該提出一個更準確的用于描述不同 L/D 的圓柱套筒破片初速預測公式。本文中，首先通過試驗驗證的數值模型研究 L/D 對破片初速的影響;在此基礎上構造與 L/D 相關的受軸向稀疏波影響的修正函數，并構建適用于 L/D?1 圓柱套筒的軸向速度初速分布計算模型;最后通過試驗和數值模擬驗證所提模型的準確性。

1數值模擬

1.1 數值模擬方法

采用AUTODYN 軟件[7-9]的ALE （arbitraty Lagrangian-Eulerain）算法來數值模擬 L/D 對破片初速的影響，模型見圖1。套筒采用采用AISI1045鋼，炸藥選擇B炸藥[4-5.10]。套筒的Lagrange網格尺寸設置為0.3mm^[11] 。由于結構和載荷的對稱性，為了節省計算時間，建立四分之一的有限元模型?？紤]邊界對套筒動態響應的影響[12，在空氣域邊界設置非反射邊界條件，避免壓力在邊界上的反射。為獲得不同軸向位置的破片初速分布，沿軸向不同位置等距設計若干個高斯點。為了研究 L/D 對破片初速分布的影響，設置了8個不同 L/D 的數值模擬試樣，試樣的相關參數見表1，δ為圓柱套筒的厚度。

1.2 材料模型

Johnson-Cook模型[13]常用于描述金屬材料在高應變、高應力以及高溫情況下的彈塑性變形過程，因此采用Johnson-Cook模型來描述ASI1045鋼的動態變形過程：

式中： σ 為材料屈服應力； ε_pⁿ 為等效塑性應變； ε^* 為規范化等效塑性應變； T^*=（T-T_r）/（T_m-T_r） 為約化溫度（無量綱）， T_m 和 T_r 分別為材料的熔化溫度和室溫; A_JC 一 B_JC C_JC 、 n 和 m 均為材料相關常數。

Johnson-Cook失效模型常用于描述金屬的失效斷裂過程：

式中： ε_f 為失效時刻的應變; σ^* 為壓力與有效應力的比; D₁～D₅ 為失效參數，由試驗測得。AISI1045材料參數見表2。

采用JWL狀態方程描述B炸藥的動態力學性能：

式中： p 為壓力; A，B，R₁，R₂ 及 ω 為常數，可通過炸藥圓筒試驗得到; V 為爆轟產物的相對比容; E 為初始體積內能。 B 炸藥的材料參數見表3。

空氣使用AUTODYN軟件的理想氣體狀態方程進行描述：

p=（γ-1）ρ_aire

式中： e 為空氣的比內能，空氣密度為 ρ_air=1.225kg/m³ ， γ=1.4 為空氣的絕熱指數[17]

1.3 準確性驗證

本文主要研究不同 L/D 下破片初速的分布，而破片初速的分布主要受軸向（ x 方向）稀疏波的影響，因此只要驗證軸向稀疏波對圓柱套筒動態響應的影響，就能驗證模型的準確性。Huang等4利用X光試驗機清晰地拍攝到破片沿軸向位置的分布情況。本文根據Huang等[4]的試驗工況建立數值計算模型，并與 Huang等通過X光試驗機拍攝到的破片沿軸向位置的分布情況進行對比，驗證數值模型的準確性，試驗樣本參數見表4。

從圖2（a）可以看出，破片初速隨著Euler網格尺寸的減小而增加，而網格尺寸為0.4和 0.5mm 的破片初速差異不大。此外，數值模擬的初速分布（Euler網格尺寸為 0.5mm ）與兩組試驗得到的初速分布具有較好的一致性。從圖2（b）可以看出，由于起爆端和非起爆端軸向稀疏波的影響，起爆端附近的套筒發生較少的軸向斷裂，非起爆端附近的套筒發生較多的軸向斷裂，而套筒中部未發生軸向斷裂，數值模擬（Euler網格尺寸為 0.5mm ）的套筒斷裂結果與文獻[4]中第一組試驗結果吻合性較好。因此，尺寸為0.5mm 的Euler網格足以提供準確的結果，且該數值模型能夠模擬軸向稀疏波對破片初速的影響。

2數值計算結果及分析

2.1長徑比對破片初速的影響

為研究 L/D 對圓柱套筒初速的影響，統計了不同 L/D 下不同軸向位置對應的破片初速，破片初速分布如圖3所示。圖3（a）中各個 L/D 下裝藥質量與套筒質量之比相同，按照Gumey公式[進行計算，不同L/D 下每個軸向位置的破片速度均是相同的，但顯然數值模擬結果和Gurmey公式[1計算結果不一致，且不同 L/D 下的同一位置數值模擬結果也不一致，因此不能忽略 L/D 對破片初速沿軸向分布的影響。

從圖3中可以明顯看出，不同 L/D 的套筒初速都受到軸向稀疏波的影響，破片初速分別均呈現出相似的中間高，兩端低的變化趨勢。炸藥起爆后，起爆端軸向稀疏波會立即傳播到起爆端，從而削弱了沖擊波與爆轟產物對起爆端套筒的加速作用，而非起爆端的軸向稀疏波只有在爆轟波傳播到非起爆端時才會產生。爆轟波傳播到非起爆端時沖擊波已經加速其他位置套筒一段時間，且起爆端軸向稀疏波在爆轟產物中隨傳播過程迅速減弱。因此，非起爆端的套筒初速受軸向稀疏波的影響較小，導致不同L/D 下起爆端的破片初速均低于非起爆端。

L/D 越小，破片初速越低，如圖3（b）所示。為探究 L/D 對破片初速的影響機理，分析了 L/D 對裝藥中稀疏波傳播過程及套筒加速過程。圖4為軸向稀疏波的傳播過程， T₁ 為起爆端軸向稀疏波傳播到非起爆端的時間， T₂ 為非起爆端軸向稀疏波傳播到起爆端的時間?；诒Z產物膨脹理論[18]可知，起爆端軸向稀疏波和非起爆端軸向稀疏波的傳播速度分別為裝藥爆速的1倍和0.5倍。因此， T₂=2T₁ ，與數值模擬結果一致，這再次證明了數值模擬方法的準確性。

圓柱套筒從速度零加速到破片初速的時間為 T₃ ，當 L/D 較小時， T₁⁺T₂ 較小，則 T₃gt;T₁⁺T₂ 說明非端軸向稀疏波傳播到起爆端時，破片加速未完成；當 L/D 較大時， T₁+T₂ 較大，則 T₃lt; T₁+T₂ ，說明部分破片只受到起爆端軸向稀疏波的影響。這是因為，當 L/D 逐漸增大時， T₁⁺T₂ 逐漸增大，只受到起爆端軸向稀疏波影響的破片增多，破片初速出現增加的趨勢。由于起爆端軸向稀疏波在傳播過程中是逐漸減弱的[4]。因此，當L/D 足夠大時，起爆端軸向稀疏波和非起爆端軸向稀疏波中間存在基本不受稀疏波影響的區域，稀疏波未影響區域內的破片初速非常接近Gurmey公式[的計算結果，如圖5所示：最大破片初速隨著 L/D 的增加呈現指數型增長; L/D 越大，最大破片初速增量越少；當 L/D 達到5時，模擬結果與Gurney公式的相對誤差僅為 0.15% 。

2.2 已有的破片初速計算公式適用性驗證

如上文所述， L/D 通過影響軸向稀疏波傳播來影響破片的加速歷程，進而影響破片初速分布。因此，有必要驗證已有破片初速計算公式在不同 L/D 下的適用性。式 （2）～（3） 在端部的速度計算結果為0，與實際不符合，本節不再繼續驗證其適用性。本節主要通過數值結果來驗證式 （5）～（7） 的適用性。不同L/D 下破片初速分布及與數值結果的相對誤差分布如圖 6～10 所示?？梢钥闯?，式 （5）～（6） 能夠準確預測 L/D=3，4，5 的試樣的破片初速分布，且 L/D 越大，預測值越接近數值計算值;但不能準確預測 L/D=1 ，2試樣的軸向初速分布， L/D 越小，預測值越偏離數值計算值，當 L/D=1 時，式 （5）～（6） 的最大相對誤差分別為 48.7% 、 46.7% ，平均相對誤差分別為 31.2% 和 26.5% ，這是因為式 （5）～（6） 在推導過程中未考慮L/D 對破片初速的影響。式（7）雖然添加了考慮 L/D 影響的修正項，在預測 L/D=1 的試樣時具有較高的準確性，但最大相對誤差仍高達 28.1% 。文獻[6]給出了式（7）適用的 L/D 范圍 （0.5～3） ，但當 L/D=2 和3時，式（7）預測值的精度遠遠不如式 （5）～（6） ，最大相對誤差分別為 29.4% 、 39.3% 。因此，需要提出一個更準確的用于描述不同 L/D 下圓柱套筒破片初速預測公式。

3軸向初速分布模型

通過上文分析可知， L/D 會導致破片速度分布存在差異，而Huang 等[4]的模型中， A₁，B₁，C₁，D₁ 是與 L/D 不相關的常數，因此式（5）存在較大的誤差。從圖3可以看出， L/D 雖然影響破片的初速分布，但初速分布的形式基本不發生變化。因此，本文繼續采用式（4）指數函數的修正項修正不同 L/D 下破片初速分布，但此時 A₁，B₁，C₁，D₁ 是隨 L/D 變化的變化量，即：

式中： 和 分別為考慮 L/D 影響的起爆端和非起爆端修正項， A₁，B₁，C₁，D₁ 在不同 L/D 條件下的值可以通過最小二乘法擬合得到。

為得到Gurney公式[1計算的破片初速，需計算炸藥的格尼能 。Dane等[19]在擬合實驗數據的基礎上建立了只與炸藥化學式 C_aH_bN_cO_d 中原子有關的計算公式：

式中： ρ₀ 為炸藥的密度。式（13）無需對爆轟產物成分及爆炸熱量進行假設，更能反映炸藥的本質，計算結果具有很高的準確性。

當 L/D 較小時，兩端軸向稀疏波相互影響，因此不能通過單獨分析起爆端和非起爆端得到系數 A₁ ）B₁，C₁，D₁ 的值[20]，只能通過整體擬合獲得各個系數的值。由此得到不同 L/D 下如表5所示的系數，系數與 L/D 的關系如圖7所示，顯然，在不同的 L/D 條件下，系數發生了變化。

從圖11可以看出：當 L/D 較大時，系數都會趨于平緩，這是因為 L/D 較大時，兩端軸向稀疏波相互不影響且破片初速基本不發生變化， L/D 的變化并不引起系數的顯著變化，這進一步說明了修正公式的合理性。根據圖11的曲線，參數的函數采用如下形式：

式中： q₁?q₂?q₃?q₄?m₁?m₂?m₃?m₄?n₁?n₂?n₃?n₄ 為待定參數，可以通過圖11中 A₁，B₁，C₁，D₁ 和 L/D 的關系擬合得到。最終，可獲得計算不同 L/D 下圓柱套筒的破片軸向初速分布公式：

u（x）=ν₀[1-0.465e^{-i7.24ie-i7.0709829+1.185i/D}][1-（1333.308e^{-i2.D）/0.108}+0.298）e^{i5.263e-i7.030715-2.105i（L-x）/D}]

式（15）雖然是 L/D 在 1～5 范圍內推導出來的，但 L/D 越大，軸向稀疏波對式（15）中的系數影響越小，當 L/Dgt;4 時，式（15）中的系數變化量很小，基本可以忽略 L/D 對其的影響，這就意味著式（15）可以適用于更大 L/D 下圓柱套筒的初速分布預測，因此式（15）適用于 L/D?1 的圓柱套筒。

4新公式普適性驗證

為驗證提出的破片初速分布計算模型的準確性，采用文獻[4，21]的試驗結果進行驗證。文獻[4]的兩組試樣參數見表4；文獻[21]中β=0.429 L/D=2 ， 。圖12為文獻

結果和式（15）的計算結果對比情況。從圖12能明顯看出公式計算結果和試驗結果吻合較好，平均相對誤差不超過 6% ，表明所提公式具有足夠的精度。

為進一步驗證式（15）的可靠性，對另外9個帶有不同 L/D 、裝藥類型和 β 的圓柱套筒進行了數值計算，用于數值計算和公式計算的相關參數見表6，HMX炸藥的數值計算參數見表7。三組工況（V1、V2、V3）下破片初速分布的計算結果和數值結果的對比分別如圖 13～15 所示?？梢钥闯?，式（15）計算結果與數值計算結果吻合較好，最大相對誤差不超過 10% ，平均相對誤差不超過 4% 。以上表明，式（15）能夠準確預測圓柱套筒在不同 L/D 下的破片初速分布情況。

5結論

通過試驗驗證的數值模擬研究了不同長徑比 L/D 下圓柱套筒的破片初速分布。

不同 L/D 下的破片軸向速度分布均呈現出相似的中間高，兩端低的變化趨勢，且起爆端的破片初速均低于非起爆端。

L/D直接影響著軸向稀疏波傳播及破片加速歷程， L/D 越小，破片初速衰減量越大，導致破片初速分布不能用已有公式進行準確計算。

在之前的公式基礎上，提出了與 L/D 相關的受軸向稀疏波影響的修正函數，通過擬合數值計算結果得到修正函數中的系數。

此外，通過試驗和數值模擬對所提出的公式進行了進一步驗證，驗證結果表明，平均誤差不超過6% ，公式的計算結果與試驗結果和數值計算結果吻合較好。因此，本文中提出的公式能夠準確計算不司 L/D 下的破片初速分布。

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（責任編輯 王小飛）