借助導數知識突破高中數學解題困境

導數是高中數學知識體系的重要構成部分，高中數學教師應指導學生將導數當作解題的常規工具之一，使其在短時間內明確知識脈絡體系，充分借助導數知識優勢深入分析和研究試題，以透徹理解題意為前提找到最佳解題思路，提高他們做題的準確度.

1借助導數知識突破函數單調性試題困境

判定函數的單調性屬于高中數學中一類既基礎、又常見的題目，難度通常一般，不過有的函數表達式較為復雜，會出現函數套函數的情況，這時教師便可指導學生運用導數知識，通過對函數進行求導簡化解題步驟與程序，使其借助導數迅速獲取新條件，精準把握問題的關鍵所在，讓他們在練習中學會利用導數知識判定函數的單調性，從而提高做題的效率[1].

例1 已知函數 ax2+x，且a ，讓 g(x)=f(x)-ax²-ax+1 ，求函數 g(x) =f(x)-ax²-ax+1 的單調區間.

解根據 ，且 a∈R 能夠得到 g(x)=f(x)-ax²-ax+1 對函數g(x）進行求導，可以得到g'(??）=-

然后對參數 a 進行分類討論，當 a?0 時，由于 x>0 ，則 g^′(x)>0 ，也就是說函數 g(x) 在區間（0，

+∞ ）內單調遞增；當a>0時，g'(x)=-ax2+(1-a)x+1

讓 g^′(x)=0 ，能夠得到 那么當 時， g^′(x)>0 當 時， g^′(x)<0 ，則函數 g(x) 在 區間內單調遞增，

在區間 單調遞減.

綜合起來，當 a?0 時，函數 g(x) 的單調遞增區間為 (0，+∞) ，不存在遞減區間；

當 a>0 時，函數 g(x) 的單調遞增區間為 x∈ ，單調遞減區間為

2借助導數知識突破參數范圍類試題困境

在高中數學解題練習中，求參數范圍類試題同樣比較常見，往往伴隨著函數、方程等知識的考查，顯得較為復雜，教師可引導學生借助導數知識分析題目中函數和方程之間的關系，以及方程的根受到哪些條件的影響，并讓他們結合函數的性質及求極值等知識確定整體解題方案與思路，繼而讓他們順暢地完成解題2.

例2已知函數 f(x)=(x²-3)e^x ，而有關 x 的方程 f²(x)-mf(x)+1=0 ，剛好存在4個不同的實數根，求正數 m 的具體取值范圍.

解根據 f(x)=(x²-3)e^x

能夠得到 f^′(x)=(x²+2x-3)e^x=(x+ 3)(x-1)e^x ，

讓 f^′(x)=0 求得 x=1 ，或者 x=-3 .

當 x<-3 時， f^′(x)>0 .

說明函數 f(x)=(x²-3)e^x 在區間 (-∞ —3）內單調遞增，且 f(x)>0 ，

當 -3′

(x)<0 .

說明函數 f(x)=(x²-3)e^x 在區間 (-3，1) 內

單調遞減，當 x>1 時， f^′(x)>0 ，說明函數 f(x)=(x²-3)e^x 在區間 (1，+∞)

內單調遞增，那么函數 f(x) 的最大值是 最小值是 f(1)=-2e ，然后設 f(x)=t ，那么方程 t²-mt+1=0 有兩個不一樣的實數根，而且其中兩個根分別位于 內，

或者兩個根均位于 (-2e，0) 內，讓 g(x)=t²-mt+1=0 ，由于 g(0)=1>0 ，那么 ，也就是36 ，據此能夠得到 所以 Σ_m 的取值范圍為

3借助導數知識突破函數最值類試題困境

求最值類題目在高中數學解題訓練中普遍存在，與函數有著緊密聯系，此類試題難度通常較大，解題步驟繁瑣，對學生的運算能力也有著較高要求.教師可指引學生借助導數知識重新梳理解題思路，使其通過導數法能夠輕松求出函數的最值，簡化解題流程，減少錯誤情況的出現，促使他們快速求得正確結果[3].

例3 已知函數f(x）=a-ln?? 在點（1，f(1) ）處的切線同 x 軸相平行.求：（1）實數 α_a 的值；（2）函數 f(x) 的最大值.

解（1）根據 得到 讓 f^′(1)=0 ，即為 0由此求得 a=1 (2)讓 f^′(x)=0 ，則 ，

據此求得 x=1 .即 f(x) 的最大值是 f(1)=1 所以函數 f(x) 的最大值是1.

4借助導數知識突破不等式類試題的困境

不等式問題屬于高中數學中經常出現的一類試題，通常和函數相結合，在高考中也占據著一定的分值比例.在平時的不等式試題解題訓練中，教師可以引領學生發現導數知識在處理此類試題時的作用和價值，使其依托導數迅速確定函數的性質，精準判斷出函數的狀態，從而獲取到更多的信息，完成不等式試題的解答，擺脫解題困境.

例4 當 x>-1 時，請證明 1)?x ：詳解 根據題意可設函數 則 （由于當 -1′

(x)>0 ，當 x>0 時， f^′(x)<0 那么函數 在區間（1，+∞ ）內的最大值為 f(0)=0 ，則 f(x)?f(0)=0 ，也就是 即為 ：然后令函數 則 （20由于當- -1′(x)<0 ：當 x>0 時， g^′(x)>0 ，故函數 g(x) 在區間 (-1，+∞) ）內的最小值是g(0)=0 ，則 g(x)?g(0)=0 ，即 即為 1當 x>-1 時， 成立.

參考文獻：

[1]鄭娟娟.導數思維在高中數學解題中的應用實踐[J].數理天地（高中版），2024(17）：24—25.

[2]楊培斌.淺論如何在高中數學教學中利用導數工具指導學生解題[J].考試周刊，2024（26)：65-68.

[3]趙曉燕.高中數學導數問題新高考題型及解題方法研究[J].數理化解題研究，2024(4)：10-12.