借助數(shù)學(xué)思想，提高解題能力

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常見的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、函數(shù)思想、方程思想等.巧用這些數(shù)學(xué)思想，可以使數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，有效地提高解題效率.

1應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，提高解題能力

例1已知 mgt;ngt;0 ，若關(guān)于 x 的方程 x²+ 2x-3-m=0 的解為 x₁…x₂（x₁2） ，關(guān)于 x 的方程 x²+2x-3-n=0 的解為 x₃…x₄（x₃4） ，則下列結(jié)論正確的是（ ）

（A）x₃124. （20

（20

（C）x₁234. （2

（D）x₃421. （2

思路解析 數(shù)形結(jié)合思想是指將問題的數(shù)量與圖形結(jié)合，用圖形直觀地表示數(shù)量關(guān)系，力求找到解題思路的一種思想.

解析由 x²+2x-3-m=0 的解為 Ψ_x1 、x₂（x₁2 ）可知，函數(shù) y=x²+2x-3 與函數(shù) y= m 的交點(diǎn)為 x₁…x₂（x₁2） ：

由 x²+2x-3-n=0 的解為 x₃…x₄（x₃4） 0可知，函數(shù) y=x²+2x-3 與函數(shù) y=n 的交點(diǎn)為x₃…x₄（x₃4） ：

又已知 mgt;ngt;0 ，可畫出大致圖象，如圖1.

由圖可知， x₁342 .故選擇（B）.

2 應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化思想，提高解題能力

例2已知點(diǎn) P 為半圓 O 上的一動(dòng)點(diǎn)，直徑 AB =8 ，求 PA+PB 的最大值.

思路解析化歸轉(zhuǎn)化思想是指將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為易于解決或已經(jīng)解決的問題的一種思想.

解析 如圖2，過點(diǎn) P 作 PQ⊥AB

求 PA+PB 的最大值，即求 （PA+PB）² 的最大值.

因?yàn)?（PA+PB）²=PA²+PB²+2PA?PB= AB²+2PA?PB ，

所以求 （PA+PB）² 的最大值即求 PA?PB 的最大值.

在 RtΔPAB 中， AB×PQ ，可知求 PA?PB 的最大值，即求 AB× PQ 的最大值.

又因?yàn)?AB 的值一定，所以求 AB×PQ 的最大值即求 PQ 的最大值.

綜上，可將求 PA+PB 的最大值轉(zhuǎn)化為求 PQ 的最大值，即

由題意可知，當(dāng)點(diǎn) P 為半圓中點(diǎn)時(shí)， PQ 最大.且此時(shí) PQ 等于半圓的半徑，即 PQ_max=4 ，

所以 （PA+PB ）

3應(yīng)用分類討論思想，提高解題能力

例3關(guān)于 x 的函數(shù) y=（m²-1）x²- 的圖象與 Ψ_x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求 Ψ_m 的值.

思路解析分類討論思想是指將問題按照某原則或標(biāo)準(zhǔn)分成幾類進(jìn)行討論的一種思想.

解析當(dāng) m²-1=0 時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與 x 軸

只有一個(gè)交點(diǎn)，所以 2m+2≠0 （204故可列出，解得 m=1 ，當(dāng) m²-1≠0 時(shí)， m≠±1 因?yàn)楹瘮?shù)圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，有[ -（2m+2）]²-4×2（m²-1）=0 ，解得 m

=-1 （舍去）， m=3 綜上， m 的值為1或3.

4應(yīng)用函數(shù)思想，提高解題能力

例4某水果批發(fā)商中每箱蘋果的進(jìn)價(jià)為40元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，若每箱蘋果的售價(jià)為50元，平均每天銷售90箱，且價(jià)格每提高1元，平均每天少銷售3箱.問：當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？

思路解析 函數(shù)思想是指利用函數(shù)處理問題中的數(shù)量關(guān)系的一種思想.

解析 設(shè)銷售價(jià)為 x （元／箱），平均每天的銷售利潤(rùn)為 w 元.由題意可知 —50）]，化簡(jiǎn)得 w=-3x²+360x-9600. 要求最大利潤(rùn)，即求二次函數(shù) w=-3x²+360x-9600 的最大值．易知 w=-3x²+360x-9600=-3 （x-60）²+1200，alt;0 ，故當(dāng) x=60 時(shí)， 有最大值1200.綜上，當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為60時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)1200.

5應(yīng)用方程思想，提高解題能力

例5如圖3，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^° AC=BC=5 ，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為 ，它的頂點(diǎn)D，E，G 分別在 ΔABC 上，則 BG 的長(zhǎng)為

思路解析 方程思想是一種用列方程或方程組的方法解題的思想.

解析 如圖4，過點(diǎn) G 作 GK⊥AC

因?yàn)?∠ACB=90^°，AC=BC

所以

因?yàn)?GK⊥AC ∠BAC=45^°

所以 ΔAGK 為等腰直角三角形，

由四邊形DEFG為正方形，

可得 DG=DE ∠GDE=90^°

因?yàn)?∠DGK+∠KDG=90^°

∠CDE+∠KDG=90^°

所以 ∠DGK=∠CDE

且 ∠DKG=∠ECD=90^°

故 ΔDGK?ΔCDE

所以 GK=CD DK=CE ，

不妨設(shè) AK=x DK=y ，

則 GK=CD=x CE=y

因?yàn)?AC=AK+DK+CD，CD²+CE²=DE²，

所以可列出

消 得 x²-4x+4=0 ，

解得 x=2 ，

從而 AK=2

所以 ，

所以

綜上， BG 的長(zhǎng)為 ：

6 結(jié)語

總而言之，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)意識(shí)到數(shù)學(xué)思想的重要性，有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生能夠靈活掌握和運(yùn)用，從而高效解題，有效學(xué)習(xí).