問題引入梳理模型，解題探究策略強化

1 問題引入

例1如圖 1-（a） 所示，拋物線 （204號 x+2 的頂點為 A ，與 y 軸交于點 B ：

（1）求點 A 點 B 的坐標；

（2）若點 P 是 x 軸上任意一點，求證： PA-PB ?AB ;

（3）當 PA-PB 最大時，求點 P 的坐標.

過程解析：（1）關注點 A 和 B 的位置特性，點 A 為拋物線的頂點，點 B 為拋物線與 y 軸的交點，結合拋物線的解析式，可求得點 A（-2，3），B（0，2） L

（2）證明 PA-PB?AB ，可分兩種情形進行 討論.

當點 P 為 AB 延長線上與 x 軸的交點時， PA- PB=AB .

當點 P 在 x 軸上又異于 AB 的延長線與 x 軸的交點時，在點 P?A 和 B 構成的三角形中， PA-PB

綜上可知， PA-PB?AB ：

（3）求 PA-PB 最大時點 P 的坐標，作直線AB 交 x 軸的交點 P ，作 AH⊥OP ，設垂足為點 H ，如圖 1-（b） 所示，分析可知此時點 P 即為所求點.

因為 BO⊥OP，ΔBOP?ΔAHP ，由相似性質可得 ，由（1）可知， AH=3，OH=2，OB =2 ，則 OP=4 ，則點 P（4，0）

解后思考上述為以拋物線為背景的綜合題，其中后兩問為核心之問，可視為是與線段和差相關的最值問題，解析過程中采用了數(shù)形結合的方法策略，充分利用三角形的三邊關系，以及共線定理來確定最值情形.教學中，需要教師把握問題特點，梳理解題模型，指導學生靈活運用.

2模型講解

線段最值問題在初中數(shù)學中十分常見，即求解|PB-PA| 的最值，主要有兩種情形，即求解最大值或者最小值.教學中建議結合實例來講解模型，及最值求解思路.

圖形：已知點 A 和 B 為定點，點 P 為直線 ξ_l 上的一個動點，試求 |PB-PA| 的最大值和最小值.

最大值模型：結合三角形的三邊關系，即兩邊之差小于第三邊，則有 |PB-PA|?AB ，分析可知當點 P?A 和 B 共線時可取得等號.建模作圖如圖2，連接 BA 并延長，與 l 的交點即為所求點.

最小值模型：根據(jù)絕對值的非負性可知，∣PB-PA∣?0 ，當 AP=PB 時成立.建模作圖如圖3，點 P 為 AB 的中垂線與直線 ξ_l 的交點.

思考總結：對于線段差的最值問題，主要利用三角形的三邊關系、共線定理，以及中垂線性質來構建模型.具體解析時建議梳理問題條件，建立最值模型，再計算求解.可按照“條件梳理 $$ 模型構建 $$ 計算求解”來構建思路.

3解題指導

上述梳理了線段最值解析模型的構建方式，教學中可結合實例進一步指導學生解題強化，靈活運用模型來分析計算.

例2已知拋物線 y₁=a（x-2）²-4（a≠0） 經(jīng)過點 （0，-3） ，頂點為 M ，將拋物線 y₁ 向上平移 b 個單位可使平移后得到的拋物線 y₂ 經(jīng)過坐標原點，拋物線 y₂ 的頂點為 A ，與 x 軸的另一個交點為 B

（1）求 Ω_a 和 b 的值；

（2）求拋物線 y₂ 的函數(shù)表達式；

（3）點 P 是 y 軸上一點，當 ∣PA-PB∣ 的值最大時，求點 P 的坐標.

思路分析 上述為與平移相結合的拋物線綜合題，題設三問，需要利用平移特性來推導拋物線解析式，后續(xù)結合上述構建的最值模型來解析最值.

過程構建（1）簡答，拋物線經(jīng)過點 （0，-3） .將其代人拋物線解析式，可得 ;把握拋物線的平移過程，分析可知其向上平移了3個單位，即 b =3 ：

（2）簡答，根據(jù)平移規(guī)律“上加下減”，可求得拋物線的解析式為

（3）求解線段最值中的點坐標，根據(jù)總結的模型來分析.

當 P?A?B 三點不在同一直線上時，可構成ΔPAB ，由三角形的三邊關系定理可推知「PA一PB|

當 P?A?B 三點共線時，如圖4所示，則 ∣PA- PB|=AB ：

顯然當 |PA-PB 」的值最大時，即為共線時的情形，設出直線 AB 的解析式 y=kx+b ，將點A（2，-1） 和 B（4，0） 的坐標分別代入解析式中，可求得 2α－2，則點P的坐標為（0，－2）.

教學建議對于上述與平移相關的綜合問題，教學中注意兩點：一是梳理平移規(guī)律，構建平移與解析式的關系；二是總結線段最值模型，分情形討論.具體教學時采用數(shù)形結合的方法策略，直觀呈現(xiàn)問題情形，引導學生充分思考.

4結語

線段差最值問題的教學重點是指導學生構建最值模型，包括最小值和最大值兩種情形，并結合性質定理來詳細解讀.上述教學思路有一定的參考價值，具體教學時注意結合實例問題來梳理方法策略，指導學生靈活運用解題.同時合理滲透數(shù)形結合、分類討論、模型構建等思想方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).