小學數學開放題研究：現狀、熱點與展望

20世紀80年代，以戴再平教授為首的學者們首次開始嘗試數學開放題的相關研究，并掀起了我國數學開放題研究的熱潮；但在近幾十年的研究歷程中，對小學數學開放題的研究卻寥寥無幾.筆者在CNKI期刊網，以文獻“篇名\"為檢索項，以“小學數學開放題\"為檢索詞，采取“精確匹配\"方式進行檢索，時間跨度從2001年1月15日至2024年12月1日，僅檢索到文獻共107篇，其中期刊文獻98篇，博碩士論文6篇，會議論文3篇.可見我國對于小學數學開放題研究的理論體系還是相當不完善的.從圖1中可以看出，2001—2024年間發文量的年度趨勢呈現出先降后升又降的趨勢，在2014年、2015年、2017年以及2018年研究熱度較高，這雖在一定程度上體現出了近些年研究者們對小學數學開放題研究的重視程度有所提升，但還是遠遠不夠的。

接下來，筆者將從小學數學開放題的研究現狀與熱點出發，通過梳理、分析并對比相關文獻，系統論述當前研究進展，總結已有成果，指出現有不足，預測未來趨勢，以期為研究者們提供研究方向和思路

1小學數學開放題研究現狀

筆者在對檢索到的文獻進行分類、匯總后發現，當前小學數學開放題的研究內容基本脫離不開對概念、特點與分類的研究.據此筆者將研究者們的研究成果進行了整合，得到如下結論.

1.1小學數學開放題的概念

數學開放題，最初由日本學者提出，用英文“open-endedproblem\"來解釋，翻譯成中文為“結論不確定的數學問題”.美國學者在翻譯以日本島田茂為首的學者于1977年發表的報告文集時，將書名譯為《TheOpen-EndedApproach—ANewProposalofTeachingMathematics》，意為“結論不確定的方法（方式）—數學教學的一種新建議\"]，將數學開放題定義為結論不確定的方法（方式）.

我國許多研究者對數學開放題給出了自己從不同維度出發的概念界定，但目前還沒有一種統一、明確地針對數學開放題的概念界定.筆者在對收集到的文獻進行整合、篩選之后，發現對小學數學開放題概念的界定大體分為以下幾種情況.

（1）答案不唯一的數學問題.大多數學者認為數學開放題具有答案不唯一的特征.日本學者澤田利夫先生認為：“有幾種正確答案似乎都帶有可能條件的問題，稱為未完結的問題、開放的問題.\"[2]我國學者劉學質認為數學開放題是“有多種正確答案，結果是開放的問題”[3俞求是也將“答案不唯一的問題\"稱為開放題.[4]

（2）條件多余或不完備、答案（結論）不唯一的數學問題.數學開放題往往具備條件多余或不完備、答案（結論）不唯一等特征.王萬祥給出了這樣的概念界定：開放題是條件多余選擇，條件不足需補充或答案不固定的問題.[5孫耀庭的觀點是“開放型問題是指題目的條件不完備或結論不明確，從而蘊含著多種可能，要求解題者自行推斷”.[著名教育專家蔣宗堯先生也曾在《創新教學引論》一書中對開放題下了這樣的定義：“條件不充分或結論不確定的非常規題叫開放題.”

（3）答案（結論）不唯一、解題策略多樣的數學問題.戴再平教授提出“數學開放題是指那些答案不唯一，并在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數學問題”[7鄭毓信將“具有多種不同的解法，或者有多種可能的解答”稱之為“開放性”問題.

（4）條件開放、答案（結論）開放、策略開放的數學問題.有學者將數學開放題放在與封閉題相對的角度進行探討，認為開放題是相對于常規性封閉題而言的.戴再平說：“凡是具有完備的條件和固定的答案的習題，我們稱為封閉題，而答案不固定或者條件不完備的習題，我們稱為開放題.\"[8據此有的學者將數學開放題界定為：那些條件有盈虧、答案不確定或不唯一、有多種解題策略，有利于培養學生求異思維的數學試題.同時認為那些有多種解題策略的封閉題也可以看成是一種開放題.[9]

盡管許多學者都給出了獨特的針對數學開放題的定義，但筆者通過觀察、比較發現所有的概念界定都離不開“答案不唯一”，這正說明了數學開放題概念的核心是答案開放.小學數學開放題其實就是將數學開放題放置于小學這一教學環境中進行教學實踐的載體，其本質概念和數學開放題大同小異.

1.2小學數學開放題的特點

（1）從結構形式上看，劉萍、段志貴等學者認為數學開放題具有非完備性和不確定性.[10][11]傳統封閉題的條件是充分的，結論是固定的，而在小學數學開放題中，給定的條件多余或不完備、結論不準確，都可能導致答案不唯一.

（2）從解答過程和解題策略層面看，小學數學開放題具有發散性、探究性、層次性、發展性、創新性、挑戰性的特點.[12][13]

雖然小學數學開放題具有這么多的特點，但有學者認為數學開放題最基本的特征是開放性.開放性是指構成題目的要素不是封閉的，也就是說，這些要素不是唯一確定不變的，有些是條件呈開放狀態，有些是問題呈開放狀態，有些是結論呈開放狀態，有些是解題策略呈開放狀態.[14]

1.3小學數學開放題的分類

眾多學者都對小學數學開放題的分類給出了自己的分類依據，筆者在整合各文獻的基礎上，發現其分類大體分為以下幾種，

（1）依據數學開放題的取材、層次性與探索程度等角度，分為基礎型開放題、探索型開放題、知識型開放題、應用型開放題.[15]

（2）依據命題要素，分為條件開放型、策略開放型、結論開放型、綜合開放型.戴再平教授認為一個數學開放題，若其未知的要素是假設，則為條件開放題;若其未知的要素是推理，則為策略開放題;若其未知的要素是判斷，則為結論開放題.有的問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結論都要求主體在情境中自行設定與尋找，這類題目為綜合開放題[16]，這種分類也是目前最受研究者們推崇的.

（3）依據題目設計的基本思路，分為“一題多解”型、“多余條件”型、“判斷說理”型、“實踐操作”型等.[17]

（4）按題目的編制方法，可分為條件不足的問題、逆的問題、變化與推廣的問題.[18]

（5）依據題目的開放度，分為弱開放題、中開放 題和強開放題.[19]

（6）按解題目標，可分為找規律或關系、量化設計、分類與整理、舉例、數學建模、提問題、情境題、評價、一題多解.[20]

（7）依據解題目標的操作模式，分為規律探索型、量化設計型、分類討論型、構造對象型、數學建模型、問題探求型、情境研究型.[21]

（8）依據題目的解答要求，分為發現關系和法則的問題、有關對象的分類問題、實際背景數值化的問題、逆的問題、條件不足的問題、構成性問題.[22]

（9）依據題目的解題目的，分為發現關系和法則的問題、分類的問題和數值化的問題.[23]

（10）依據答案的類型，分為有限可列型、有限混 沌型、無限離散型、無限連續型.[24]

（11）依據學習過程的訓練價值，分為知識鞏固 型、信息遷移型、知識發生型.[25]

通過觀察比較可知，當前學者對小學數學開放題的分類雖然繁多，但分類的維度總體上是從數學開放題的設計方面（命題要素、取材、設計思路、編制方法）本身特征方面（題目的開放度）、解題目標方面（解題目標、解題目標的操作模式、解答要求、解答目的）、答案的類型方面以及學生學習價值方面進行劃分的.

2小學數學開放題的研究熱點

筆者在檢索文獻時發現，關于“小學數學開放題\"研究的文獻有53篇，其中關于“小學數學開放題教學\"研究的文獻就占了22篇，接近一半.經過整理、歸納，筆者發現這些文獻大體集中在對教學價值、教學策略和設計策略的研究，可以說針對這三個主題的研究是當前研究的熱點.

在我國30年的數學開放題研究過程中，針對小學階段的教育實踐相對薄弱，成效不盡如人意.楊傳岡將其原因主要歸結為“五多五少”，并提出了具體的解決對策\"五多五重”[26]

2.1小學數學開放題的教學價值

筆者在對楊傳岡[27]、何光峰[28]、陳楠[29]等學者的研究成果分類整理的基礎上，將小學數學開放題的教學價值歸納為以下幾點.

2.1.1 教師層面

（1）轉變教學觀念：因材施教，實現教學民主化.（2）轉變教學角色：成為設計者、組織者和管理者.（3）構建師生關系：教師引導，學生主體

2.1.2 學生層面

（1）思考問題，培養思維品質.開放性問題有利于激發學生多角度、多方位、多層次思考問題，并從不同方向去探索問題，從而經歷發現問題、掌握知識、內化知識、主動建構知識體系的過程，在這個過程中培養思維的深刻性、靈活性、發散性和批判性等良好品質.

（2）探索問題，強化創新意識與能力.一方面，有利于強化學生的創新意識.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課程標準\"）中明確提出：“逐步養成從數學角度觀察現實世界的意識與習慣，發展好奇心、想象力和創新意識.\"[30]開放題答案不唯一，解題策略也不唯一.學生在解題過程中訓練了多角度思考問題的意識，激發內驅力，這一過程有助于其探究精神和創新意識的培養與增強.另一方面，有利于提高學生的創新能力.

（3）解決問題，提升問題解決能力.數學開放題的答案和解題策略具有多樣性.學生通過交流、討論不同水平的答案和策略，在持續優化與迭代的過程中，鍛煉問題解決的縝密思維，從而提高問題解決能力.

（4）合作交流，積累活動經驗.課程標準的核心理念之一就是幫助學生積累基本的數學活動經驗.小學數學開放題教學旨在引導學生在思考、討論、實踐、回顧、總結、分析解決問題的過程中，形成一定的有效經驗；在下次遇到“類似”的習題時，能輕松調取相關經驗進行解答.

（5）體驗成功，樹立自信心.開放題教學形式通過數學活動讓學生體驗成功，感受到學習數學的樂趣，從而樹立學習數學的自信心，激發學生學習數學的興趣.

2.2小學數學開放題的教學策略

針對小學數學開放題的教學價值，許多學者提出了小學數學開放題的教學策略，筆者總結了澤田利夫、戴再平、姚道亮、王斌等學者的觀點后，發現小學數學開放題的教學策略主要有以下幾點.

（1）注重與教材的互補性和配套性.在課本內容的教學以及常規題的講解過程中，教師可適當改編常規題，有意識地將開放題教學與課本內容互補配套.

（2）突出教學內容的趣味性和發展性.在設計數學開放題教學內容時，教師需滿足一些條件，如具有起點低、趣味性、發展性、層次性、一定的開放度等.關于課堂開放度，王斌提出教師在教學過程中要講究“放\"的策略，把握好開放度，做到適時、適可而“放”，能“放\"善“收”[31]

（3）強調教學過程的主體性和層次性.教師應該激發學生主動提出問題、積極探索，既要求有一個低起點，易于為一般學生所接受，又要求教學過程步步深入，循序漸進，滿足不同層次學生的需要，

（4）注意教學組織形式的民主性和有序性.在教學時，教師要將學生分成小組，確保師生之間民主、平等，學生之間互助合作，以保障學生的主體地位，發揮學生的主動性.設計怎樣的開放題、要提供哪些材料、在每個環節是否要開展合作交流等等，都需要教師進行組織、管理、調控，以確保整個教學過程是有序進行的.

（5）關注教學方式的探究性和多樣性.數學開放題教學應當關注學生的主動建構，以探究式教學為主，并輔以多種教學方法.教師教學時要采用啟發式教學、探究式教學等多樣化的方式，通過一題多解、一題多問、一題多變、一題多編等形式，加強學生的思維訓練，培養學生思維的廣闊性

（6）提升教學評價的多元性和全面性.教師不僅要在教學過程中善用激勵機制，使學生進一步探究出正確答案或結論，更要注意提升教學評價過程中的多元性和全面性.“多元性\"是指評價主體、對象、方法等多個成分的多元.“全面性”主要側重從不同視角評價教學過程.楊漢英還認為小學數學開放題的教學評價除了全面性，還應該堅持過程性和發展性.[32]

2.3小學數學開放題的設計策略

盡管許多研究者都對小學數學開放題的設計策略提出了自己的看法和思路，但整體上都大同小異，筆者整理了相關文獻后，發現現今研究者普遍遵循的設計策略主要有以下幾點.

（1）條件開放：遵循開放性原則，多設計以條件不足、隱藏或多余的數學開放題

（2）問題開放：設計不確定問題的題目，讓學生先補充問題，再進行解答，培養學生多方面考慮問題、多角度探索研究的能力.

（3）策略開放：設計的數學開放題可以有多種解題策略，這就要求學生拓寬思維，多方位考慮問題

（4）結論開放：設計答案（結論）不唯一的數學開放題，這要求學生善于突破常規，并結合想象與猜想，創造性地解決問題.

（5）綜合開放：設計條件、問題、策略、結論都開放的數學開放題，培養學生獨立思考、自主探索的能力

還有學者提出了一些針對小學數學開放題的設計方法.欒繼輝認為小學數學開放題應該遵循開放性原則、實踐性原則、興趣性原則、科學性原則和針對性原則.[33]

3展望

小學數學開放題作為與封閉題相對的新題型，對于學生的知識技能、思維品質與創新意識的培養都是十分有意義的.但當前對于開放題的研究僅僅停留在概念、特點、分類、教學價值、教學策略與設計策略上，研究上還存在著許多不足與盲區.筆者仔細分析了手頭上收集到的文獻后，認為今后的研究趨勢將會更多集中在對小學數學的理論研究、對教學設計與案例的行動研究、對教學評價體系的研究以及課程編制與開發研究.

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