上半平面上 α -Bloch空間的刻畫

中圖分類號：O174.56 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號： 1000-5013（2025）04-0476-05

Characterization of α -Bloch Space on Upper Half-Plane

CHEN Jiao，HU Chunying

School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362o21，China）

Abstract：The property of the Bloch space on the upper half-plane is obtained by using Schwarz-Pick lemma. One characterization of α -Bloch space on the upper half-plane under the condition of 0lt;α?2 is given，and the conclusion is verified by specific examples. The results show that the proposed results extend the corresponding results on existing bounded domain to unbounded domain.

Keywords： upper half-plane；Bloch space; α Bloch function; α -Bloch space

1預(yù)備知識

記 D={z∈C_：|z|lt;1} 為復(fù)平面 c 上的單位圓盤， π⁺={z∈C ： 為復(fù)平面C上的上半平面， H（D） 與 H（π⁺） 分別為 D 與 π⁺ 上的全純函數(shù)全體， H^∞（D） 與 H^∞（π⁺） 分別為 D 與 π⁺ 上的有界全純函數(shù)全體。用 Aut（D） 表示 D 上的全純自同構(gòu)群，即

用 Aut（π⁺） 表示 1I⁺ 上的全純自同構(gòu)群，即

1980 年，Timoney[1]最早提出單位球上Bloch空間的定義。之后，許多學(xué)者采用微分形式、積分形式、Carleson 測度等各種方法來刻畫Bloch空間[2-11]。而 α -Bloch空間拓展了Bloch空間的研究范圍。1993年， Zhu^[12] 給出 α -Bloch空間的如下定義。

定義1 設(shè) αgt;0，f∈H（D） ，若 f^' 滿足

則稱 f 為 D 上的 α -Bloch函數(shù)。所有這樣函數(shù)之集稱為 D 上的 α -Bloch空間，記為 B^α（D） 。

特別地，若 α=1 ，則 B¹（D）=B（D） 為 D 上經(jīng)典的Bloch空間。

注1在 ∥?∥_B^α（D） 下， B^α（D）/C 成為一個 Bloch 空間。

定義2 設(shè) αgt;0，f∈H（π⁺） ，若 f^′ 滿足

則稱 f 為 π⁺ 上的 α -Bloch函數(shù)。所有這樣函數(shù)集稱為 11⁺ 上的 α -Bloch空間，記為 B^α（π⁺）

特別地，若 α=1 ，則 B¹（π⁺）=B（π⁺） ， B（π⁺ ）首先由Sharma 等[13]給出。

2 Bloch空間

Zhu^[14] 給出單位圓盤 D 上 Bloch空間有如下性質(zhì)。

定理1設(shè) f∈B（D） ，則存在以下2個結(jié)論。

1）若 φ：DD 為全純函數(shù)，則 ，而且當(dāng) φ∈Aut（D） 時，

2） 。

文中證明了 B（π+） 上有類似的性質(zhì)。

定理2設(shè) f∈B（π⁺） ，則有以下2個結(jié)論。

1）若 φ：π⁺π⁺ 為全純函數(shù)，則 ，而且當(dāng) φ∈Aut（π⁺） 時，

|f°φ|_B（π⁺）=|f|_B（π⁺）

2） 。

證明：1）由Schwarz-Pick引理可得

上式中：等號對某點 z∈π⁺ 成立當(dāng)且僅當(dāng) L_φ∈Aut（π⁺） 。

故有

從而 。

當(dāng) L_φ∈Aut（π⁺） 時，

|?f°φ|_B（π⁺）=|?f|_{B（π⁺）°}

2）當(dāng) f∈H^∞（π⁺） 時，設(shè) |f（z）|?1，z∈π⁺ ，由Schwarz-Pick引理可得

人而 ，即 f∈B（π⁺） ，這表明 H^∞（π⁺）?B（π⁺） 。

現(xiàn)取 f（z）=log（1-iz），z∈π⁺ ，則 f∈H^∞（π⁺） 。但

即 f∈B（π⁺） 。故 。

3 α -Bloch空間的刻畫

1986年，Holland等[15]給出了單位圓盤 D 上Bloch空間的一種刻畫。

定理3 f∈B（D） 當(dāng)且僅當(dāng)

2007年，Zhao[16]得到滿足 0lt;α?2 條件下的單位圓盤 D 上 α -Bloch 空間的刻畫。

定理4設(shè) 0lt;α?2 ，若實數(shù) λ 滿足

則 f∈B^α（D） 當(dāng)且僅當(dāng)

下面給出上半平面 π⁺ 上 α -Bloch空間的刻畫。

定理5設(shè) 0lt;α?2 ，若實數(shù) λ 滿足

則 f∈B^α（π⁺）. 當(dāng)且僅當(dāng)

為了證明定理5，引入引理1。

引理1[16] 設(shè) 0lt;α?2 ，若 λ∈R 滿足

則存在 Mgt;0 ，使

對 ?x，ygt;0，x≠y 都成立。

定理5的證明。1）充分性。記 ，則 Llt;∞ 。從而 ?z ，w∈π⁺ ， z≠τω ，都有

令 ，可得 ∣f^′（z）∣（Imz）^α?L ，從而

sup_z∈π⁺（Imz）^α∣f^′（z）∣?Llt;∞，

即 f∈B^α（π⁺） 。

2）必要性。設(shè) f∈B^α（π⁺） ，則有

記 Φ（t）=f（tw+（1-t）z），?z，w∈π +， z≠w ，則 ?^′（t）=（w-z）f^′（tw+（1-t）z） 。由于

當(dāng) 時 ，可得

當(dāng)Imx≠Im w時，lf（w）-f（z）|≤|w-x|lma） Imw-Im ≥Jn

由引理1可得

于是

故

定理5有以下2個推論。

推論1設(shè) 0lt;α?2 ，則 f∈B^α（II⁺） 當(dāng)且僅當(dāng)

推論2設(shè) 0lt;_αlt;1 ，則 f∈B^α（II⁺）， 當(dāng)且僅當(dāng)

4驗證實例

例1

易知 f∈B（π⁺） ，事實上，

注意到

取 z=yi（ygt;0，y≠1） ，則

從而

這表明，當(dāng) α=1，λ=1 時，定理5不成立。

例2設(shè) 1lt;α?2，f（z）=z^1-α，z∈π⁺ 。易知 f∈B^α（π⁺） ，事實上，由 f^′（z）=（1-α）z^-α ，可得

注意到，當(dāng) 0lt;λlt;α-1 時，

取 z=yi（ygt;0，y≠1） ，則

這表明，當(dāng) 1lt;α?2，0lt;λlt;α-1 時，定理5不成立。

當(dāng) λgt;1 時，取 z=yi（ygt;0，y≠1） ，則

這表明，當(dāng) 1lt;α?2，λgt;1 時，定理5不成立。

參考文獻(xiàn)：

[1] TIMONEY R M.Bloch functions in several complex variables（I）[J].Buletin of the London Mathematical Society，1980，12（4） ：241-267.DO1：10.1112/BLMS/12.4.241.

[2] TIMONEY R M.Bloch functions in several complex variables （II ）[J].Journal Fur Die Reine Und Angewandte Mathematik，1980，319：1-22.DO1：10.1515/crll.1980.319.1.

[3] CHOEJS，KIM H O，PARK Y Y.A Bergman-Carleson measure characterization of Bloch functions in the unit ball of Cⁿ[J] .Bulletin of the Korean Mathematical Society，1992，29（2） ：285-293.

[4]JEVTIC M，PAVLOVIC M. On m -harmonic Bloch space[J].Proceedings of the American Mathematical Society， 1995，123（5）：1385-1392.D01：10.2307/2161125.

[5] OUYANG Caiheng，YANG Weisheng，ZHAO Ruhan. Characterizations of Bergman spaces and Bloch space in the unit ball of Cⁿ[J] . Transactions of the American Mathematical Society，1995，347（11） ：4301-4313.DOI：10. 2307/ 2155039.

[6] STROETHOFF K.The Bloch space and Besov spaces of analytic functions[J].Buletin of the Australian Mathematical Society，1996，54（2） ：211-219.DO1：10.1017/S0004972700017676.

[7]NOWAK M. Bloch space and Mobius invariant Besov spaces on the unit ball of Cⁿ [J].Complex Variables，Theory and Application： An International Journal，2001，44（1）：1-12. DOI：10.1080/17476930108815339.

[8] OHNO S，STROETHOFF K，ZHAO Ruhan. Weighted composition operators between Bloch-type spaces[J]. Rocky Mountain Journal of Mathematics，2003，33（1） ：191-215.DOI：10.1216/RMJM/1181069993.

[9] REN Guangbin，TU Caifeng.Bloch space in the unit ball of Cⁿ[J] . Proceedings of the American Mathematical Society，2005，133（3）：719-726.DO1：10.1090/S0002-9939-04-07617-8.

[10] WULAN Hasi，ZHU Kehe. Bloch and BMO functions in the unit ballJ].Complex Variables and Eliptic Equations，2008，53（11） ：1009-1019.DO1：10.1080/17476930802429123.

[11]ZHAO Ruhan.Essential norms of composition operators between Bloch type spaces[J].Proceedings of the American Mathematical Society，2010，138（7） ：2537-2546.DO1：10.1090/S0002-9939-10-10285-8.

[12] ZHU Kehe.Bloch type spaces of analytic functions[J].Rocky Mountain Journal of Mathematics，1993，23（3）：1143- 1177.DOI：10.1216/rmjm/1181072549.

[13] SHARMA A K，UEKI S I. Compact composition operators on the Bloch space and the Growth space of the upper half-plane[J].Mediterranean Journal of Mathematics，2017，14：1-9. DO1：10.1007/s00009-017-0849-2.

[14] ZHU Kehe.Spaces of holomorphic functions in the unit ball[M].NewYork：Springer，2005.

[15] HOLLAND F，WALSH D. Criteria for membership of Bloch space and its subspace，BMOA [J].Mathematische Annalen，1986，273：317-335.DO1：10.1007/BF01451410.

[16] ZHAO Ruhan. A characterization of Bloch-type spaces on the unit ball of Cⁿ[J] . Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，330：291-297.DO1：10.1016/j. jmaa. 2006.06.100.

（責(zé)任編輯：錢筠 英文審校：黃心中）