基于波利亞解題理論的初中數學解題教學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）17-0062-03

隨著新課程改革的不斷深入，學生的問題解決能力備受關注.解題是初中數學教學的重要組成部分，它不僅能夠檢驗學生對所學數學知識的掌握程度，而且能夠培養學生的數學思維能力和創新精神，提升學生的數學核心素養1.波利亞解題理論作為一種經典的思維方法和解題方法，在初中數學解題教學中發揮著重要作用[2.筆者以2024年南通市中考數學第18題為例，詳細闡述波利亞解題理論在初中數學解題教學中的應用，供讀者參考.

1 波利亞解題理論概述

波利亞解題理論既是解題的一般思路，又蘊含著豐富的問題解決心理機制.它主要包括四個步驟：理解問題、擬定計劃、實施計劃和回顧反思[3].

1. 1 理解問題

在初中數學解題過程中，理解問題是解題的第一步.學生首先需要認真閱讀題目，明確已知條件和所求問題.在理解問題的過程中，學生可以借助畫圖、列表、舉例等方式將問題直觀化，以便更好地把握問題的本質，為問題解決創造有利條件.

1. 2 擬定計劃

擬定計劃是解題的關鍵步驟，要求學生根據已知條件和所求問題，尋找解題的基本思路和方法.在擬定計劃的過程中，學生需要回顧所學的知識與方法，回憶以前是否解決過類似的問題，并思考能否利用以前的解題思路和方法解決現在的問題.

1.3 實施計劃

實施計劃是解題的具體過程，要求學生按照擬定的計劃寫出詳細的解題過程.在實施計劃的過程中，學生要注意計算的準確性、證明的嚴謹性和書寫的規范性，確保解題過程的準確無誤.

1.4 回顧反思

回顧反思是解題的最后一步，要求學生對解題過程進行回顧和反思，總結解題經驗和方法.在回顧反思的過程中，學生可以思考以下問題：解題方法是否正確？是否有其他更好的解題方法？類似的方法能否解決其他問題？以此提高運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

2 試題呈現

試題1（2024 年南通市中考數學第18 題）在平面直角坐標系 xOy 中，已知 A（3，0），B（0，3） 直線 y=kx+b（k，b 為常數，且 kgt;0 ）經過點（1，0），并把 ΔAOB 分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為 則 k 的值為

3基于波利亞解題理論的解題教學過程

3.1 理解問題

問題1 已知條件是什么？

已知點 A（3，0），B（0，3） ，它們與坐標原點確定了一個直角三角形，即 ΔAOB. 直線 y=kx+b 滿足 k gt;0 且過點 C（1，0） .直線 y=kx+b 把 ΔAOB 分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為15.

問題2 未知量是什么？

ΔAOB 的面積和直線 y=kx+b 的解析式.

問題3 題目要求什么？

根據題意易知，本題需要求 k 的值問題4 這是一道什么問題？

這是一道平面幾何與一次函數相結合的問題問題5 你能根據條件畫出相應的圖形嗎？

根據題意可得如圖1所示的圖形，點 D 是直線AB 與直線 y=kx+b 的交點.

3.2 擬定計劃

回顧相關知識引導學生回憶一次函數的相關知識.例如，怎樣求一次函數的解析式、怎樣求兩條直線的交點坐標及三角形面積公式等相關知識.

聯想相似問題，引導學生回顧以前是否見過類似的問題.學生經過回憶，聯想到以下類似的問題試題2 已知直線 l₁ 過 A（0，2），B（2，0） 兩點，直線 l₂：y=mx+b 過點（1，0），且把 ΔAOB 分成兩部分，其中靠近原點的部分是一個三角形.設此三角形的面積為 s ，求 s 關于 m 的函數解析式及自變量 ?_m 的取值范圍.

問題6 解決試題2的思路是什么？

首先求出直線 l₂：y=mx+b 與相關直線的交點坐標，然后根據問題中的面積關系確定參數之間的關系，進而解決問題.

問題7 你可以仿照以上思路擬定試題1的解決方案嗎？

仿照以上思路，擬定試題1的如下解題方案第一步，求出直線 AB 的解析式；

第二步，根據直線 y=kx+b 過點 C（1，0） ，求出參數 ^k，b 之間的關系；

第三步，求出直線 AB 與直線 y=kx+b 的交點D 的坐標（用字母表示）；

第四步，根據條件S四邊形OCDB 列出方程，解方程求出 k 的值.

3.3 實施方案

設直線 AB 的解析式為 y=mx+n ，把 A（3，0） ，

B（0，3） 代入，可得 解得 從而

可知直線 _AB 的解析式為 y=-x+3 .因為直線 y

=kx+b 經過點 C（1，0） ，將點 C（1，0） 代入，得 k+b

=0 ，即 ，所以 y=kx-k 聯立方程組得

解得 從而可得（204號

易知 OB=3，OA=3，AC=2 ，所以

根據題意S四邊形OCDB 1 故

即 解得 1

3.4 回顧反思

問題8 如何檢驗所得的結果是否正確？

將 和 b=-k 代人直線 y=kx+b ，求出直線 CD 的解析式為 再與直線 AB 的解析式 y=-x+3 聯立，可求出點 D 的坐標為 從而S△ACD 所以S四邊形OCDB 故結果正確.

問題9 還有其他解法嗎？

根據條件易知S△ACD =S△ABO-S四邊形CDB 設點D的縱坐標為yD，則 S△ACD ： 又因為 AC=2 ，所以 易知直線_AB 的解析式 y=-x+3 ，將 代人可得點 D 的橫坐標為 將點 C（1，0） 和點 代人 y=kx （204號+b 得 從而可知

問題10 你能用此方法解決類似的問題嗎？

引導學生嘗試改編原試題，得到以下變式.

變式如圖2，在平面直角坐標系 xOy 中，已知A（3，0），B（0，3） ，直線直線 y=kx+b（k，b 為常數，且 kgt;0 ）經過點 C（1，0） ，并把 ΔAOB 分成面積相等的兩部分，則 k 的值為

解法1如圖2，設直線 AB 與直線 y=kx+b 交于點 D .類似前文可知直線 AB 的解析式為 y=-x +3 ，直線 CD 的解析式為 y=kx-k ，點 D 的坐標為 因為 根據條件可知 故 即 解得 k=-9

解法2 根據條件易知 S△ACD 設

點 D 的縱坐標為 y_D ，則 又

因為 AC=2 ，所以 由解法1可知直線 AB 的

解析式 y=-x+3 ，將 代人可得點 D 的橫坐

標為 將點 C（1，0） 和點 代入 y=kx+b

得 解得 從而可知 k=-9 ，

4結束語

波利亞解題理論涵蓋理解問題、擬定計劃、實施計劃和回顧反思四個步驟，這四個步驟構成了一個完整的解題體系，它不僅僅關注解題的結果，更注重解題的過程，引導學生從多個角度去思考問題，逐步建立起正確的解題思路，進而培養學生嚴謹的思維習慣和解決問題的能力.

參考文獻：

[1］尹秋云，莫興展.基于波利亞“怎樣解題表”的中考試題教學實踐研究：以2023年廣東省中考數學第23題為例[J].理科考試研究，2024（14） ：2-6.

[2]波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2018.

[3］劉忠新，張素紅.基于波利亞“四部曲”提高解題教學效率：以2020年北京市中考題第26題教學為例［J]．中小學數學（初中版），2020（11） ：24 -27.

[責任編輯：李慧嬌]