一道教材習(xí)題學(xué)生提問引發(fā)的探究和思考

1課堂片段

1.1學(xué)生疑問

（滬科版九年級(jí)上冊(cè)第92頁第12題）已知：在ΔABC 中， AC=BC . ∠C=90^° ，點(diǎn) P 在三角形內(nèi)，且滿足 ∠PAB=∠PBC=∠PCA

求證： S_ΔPAB=2S_ΔPCA

在講解完本題的時(shí)候，有學(xué)生舉手示意，他的疑問是“點(diǎn) P 是如何通過尺規(guī)作圖找到的”.

這是一個(gè)善于思考的優(yōu)秀學(xué)生，筆者并沒有因?yàn)樗騺y教學(xué)計(jì)劃而避開這個(gè)話題，同時(shí)有預(yù)感，對(duì)這個(gè)問題的深人研究會(huì)對(duì)后面的教學(xué)產(chǎn)生非常有利的效果，于是當(dāng)即決定調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，和同學(xué)們一起深人探究思考本題.

1.2問題探究

探究的第一步是如何通過目前所學(xué)的幾何理論找出點(diǎn) P

（1）假設(shè)存在，逆推條件

如圖1所示，設(shè) P 為 ΔABC 內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足 ∠PAB= ∠PBC=∠PCA=α

因?yàn)? 1∠PCA=α ，所以可得 ∠CBP+ ∠BCP=∠ACP+∠BCP=90^° 所以 ∠BPC=90^° ，由此得出 ΔBPC 為直角三角形.取 BC 中點(diǎn) O ，則 （長為定值）.根據(jù)圓的定義，很快確定出點(diǎn) P 在以 O 為圓心， 長為半徑的圓上，且在△ABC內(nèi)部.由此確定出點(diǎn) P 第一個(gè)軌跡（虛線所表示），如圖2所示.

從類似的角度，同學(xué)們繼續(xù)探究點(diǎn) P 滿足的第二個(gè)條件：由 ∠PBC=∠PAB ，可得 ∠PAB+∠PBA= ∠PBC+∠PBA=∠ABC=45^°

所以 ∠APB=180^°-45^°=135^° 同理， ∠CPA=135^°

此時(shí)已經(jīng)有學(xué)生敏銳地抓住了“定角對(duì)定弦軌跡為圓\"這個(gè)本質(zhì)，但由于滬科版圓尚未學(xué)習(xí)，學(xué)生雖然發(fā)現(xiàn)了，但并未想到解決之道，于是筆者決定在這里暫時(shí)不補(bǔ)充圓，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從目前所學(xué)的相似入手，解決這個(gè)問題.

此時(shí)，有學(xué)生提出由于△ABC的特殊性，可以得到以下兩個(gè)結(jié)論：

①ΔAPB～ΔCPA

②由 ，可得 S_ΔPAB=2S_ΔPCA .（這也是課本原題要證明的結(jié)論）.

如圖3所示，設(shè) AP 的延長線交 BC 于點(diǎn) G ，分別作 CM⊥AP 于點(diǎn) M，BN⊥AP 于點(diǎn) N ，由S_ΔAPB：S_ΔAPC=2：1 可得BN：CM=2：1 ，所以可得 BG：GC= 2：1 ，由此確定 G 為 BC 的三等分點(diǎn)，且 ：

如何確定三等分點(diǎn)是下一個(gè)要解決的難題.由于前面剛剛學(xué)過平行線分線段成比例，對(duì)于這個(gè)難題，學(xué)生略加思索就想到了解決方法，如圖4所示.

作法：在射線 CQ 上依次截取CC₁=C₁C₂=C₂C₃=m ，連接 BC₃ ，過點(diǎn) C₁ 作 C₁G//BC₃ ，則 G 為 CB 的三等分點(diǎn)，且 ，此時(shí)連接 AG ，與圓弧的交點(diǎn)即為點(diǎn) P

那么由這兩個(gè)條件構(gòu)造而成的交點(diǎn)是否符合題目要求呢？

此時(shí)學(xué)生太想知道自己的研究是否能夠得到認(rèn)可.我們用幾何畫板測量最終結(jié)果（如圖5），精確到十萬分之一，測量結(jié)果顯示了研究的正確性，同學(xué)們異常興奮.筆者意識(shí)到此時(shí)是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)性的最佳時(shí)期，于是提出這只是正向推導(dǎo)的結(jié)果，但逆向證明是否一定正確呢？實(shí)踐可以提示解決問題的方向，但不能替代數(shù)學(xué)證明.

（2）構(gòu)建問題，驗(yàn)證假設(shè)

如圖6所示，在 RtΔABC 中，∠ACB=90^° CA=CB，G 為BC邊上一點(diǎn)，且 BG=2CG，O 為 BC 中點(diǎn)，以 o 為圓心， 長為半徑的弧與線段 AG 交于點(diǎn) P ，求證： ∠PAB=∠PBC=∠PCA

如果這題沒有前面的研究作為基礎(chǔ)，對(duì)于九年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生來說，難度還是有點(diǎn)大，不過經(jīng)過了剛才的作圖過程，學(xué)生都了解條件的作用，通過逆向研究，給出了完美的證明.

證明：如圖7，過點(diǎn) o 作 MO⊥ BC ，交 AP 延長線于點(diǎn) M ，延長PO 至點(diǎn) N

因?yàn)?BG：CG=2：1，CO= BO，MO//AC ，所以 1

設(shè) BC=6a ，則可得 CG=2a ， OC=3a ，所以 OG=a ，于是 OM= 3a=OC

又因?yàn)?OP=OC=OB ，所以 OM=OP，OM= OB ，所以 . ∠OPB= （2

所以 所以 ∠PAB+∠PBA=45^° 又 ∠PBC+∠PBA=45^° ，所以 ∠PAB=∠PBC

因?yàn)?OP=OC=OB ，所以可知 ∠CPO=∠PCO .∠OPB=∠PBO 結(jié)合三角形內(nèi)角和為 180^° ，可得∠CPB=90^° ，從而 ∠PCB+∠PBC=90^°

因?yàn)?∠PCA+∠PCB=90^° ，所以 ∠PCA=∠PBC 所以 ∠PAB=∠PBC=∠PCA 至此本題驗(yàn)證完畢.

2教學(xué)成效

由于課堂時(shí)間有限，于是筆者讓學(xué)生在課后繼續(xù)研究本題還具有哪些性質(zhì)，并于第二天上交研究心得.學(xué)生的研究成果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超乎筆者的想象.部分學(xué)生的研究結(jié)論如下：

結(jié)論1三條線段數(shù)量關(guān)系及所分割三角形面積關(guān)系為： S_ΔPBC=1：2：2. （2號(hào)

結(jié)論1可以通過 ΔAPCΔPBA 來證明，此處不再詳證.

結(jié)論2依次延長 AP，BP，CP ，分別交 ΔABC 三邊于點(diǎn) G，H，L ，則 AL：AB=CG：CB=1：3，H 為 AC 中點(diǎn).

證明：如圖8，過點(diǎn) A 作AK//BC ，交 CL 延長線于點(diǎn) K ：

因?yàn)?PC：PA=PA：PB= ，所以 PC：PB=1：2 ，可得 CH：BC=1：2 ，且 CA=CB ，所以 H 為 AC 的中點(diǎn).

由 ∠ACK=∠HBC ，得 AK：AC=HC：BC= 1：2 ，所以 AL：LB=1：2. 故 AL：AB=1：3

還有學(xué)生利用課后時(shí)間在網(wǎng)上學(xué)習(xí)后再結(jié)合本題，提出了三角形的“布洛卡點(diǎn)”及相關(guān)性質(zhì)，這正是我們?cè)谡n堂教學(xué)中一直努力追求的思維拓展和核心素養(yǎng).

3教學(xué)感悟

所有的課堂，不會(huì)都按照教師的預(yù)設(shè)而來，通過這節(jié)課的意外收獲，也得到以下幾點(diǎn)感悟：

（1）要充分利用課堂中出現(xiàn)的“意外”，盡量把握住每一串火花

教師在教學(xué)過程中，只能盡可能把學(xué)生思維往既定目標(biāo)去引導(dǎo)，但中途可能會(huì)有學(xué)生思維異常活躍，這對(duì)老師來說既是挑戰(zhàn)也是機(jī)遇.一旦出現(xiàn)這樣的思維火花，需要教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，讓學(xué)生作為主角去展示自己，培養(yǎng)他們敢于疑問、善于思考、勇于探索的精神.

（2）“意外\"之后還需繼續(xù)關(guān)注教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)意外既是隨機(jī)產(chǎn)生的，無任何預(yù)設(shè)性，可能會(huì)和預(yù)設(shè)教學(xué)產(chǎn)生沖突，對(duì)沒有完成的教學(xué)任務(wù)要在課下或后續(xù)課程中及時(shí)補(bǔ)上，因?yàn)榻虒W(xué)任務(wù)是從全班學(xué)生入手，從整體學(xué)習(xí)目標(biāo)出發(fā)，具有不可替代的作用.

（3）解決好“意外\"還需要教師不斷修煉好內(nèi)功

意外本身就是個(gè)體差異的表現(xiàn)，教師必須要時(shí)刻準(zhǔn)備著用自己的智慧點(diǎn)燃學(xué)生激情，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)此教師需不斷提升教學(xué)素養(yǎng).當(dāng)教師擁有深厚的底蘊(yùn)，哪怕學(xué)生一個(gè)小小的疑惑，也能在其有效引導(dǎo)下開拓一片新天地.