基于深度教學“U型”模式的實踐

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）07-0048-07引用格式：．基于深度教學“U型”模式的實踐：[J」．中國數學教育（初中版），2025（7）：48-54.

一、深度教學“U型”模式的內涵

1.深度教學的緣起與意義

深度學習產生于人工智能領域，是計算機和網絡的一種算法程序，其核心是模擬人腦的深層次抽象認知過程，實現計算機對數據的復雜運算和優化．根據布魯姆的目標分類學，教育學領域的“深度學習”概念更多地指向知識學習和認知過程兩個維度．美國學者馬頓和薩爾約的教學研究認為，學習的本質區別在于過程而不是學習的結果，學生對文本知識學習的深刻程度決定了其學習結果的差異性.加拿大西蒙菲莎大學伊根教授的深度學習研究開始從單一的學習技術研究轉向對教學過程的關注，注重深度學習和深度教導的關聯性和一致性，要求教師在教學過程中著眼于知識的深層次理解和深度處理，呈現出將深度學習與深度教學相結合的轉向.

從深度學習走向深度教學是教與學的一致性決定的．教與學的關系既不是對立關系，也不是對應關系，而是一種具有相融性的一體化關系，離開了教，無所謂學；離開了學，也無所謂教．學生真正意義上的深度學習，需要教師深度教學的引導.

2.深度教學的內涵

深度教學是指克服教學中知識表面化、思考表層化和交流表演化的狀況，擺脫對知識的簡單占有和機械訓練的局限性，基于知識的內在結構，引導學生從符號學習走向對學科思想和意義系統深人理解和掌握的教學．深度教學是激發學生發生深度學習的師生共同活動，教師發揮主導作用，帶領學生深入體驗知識的生成過程，在體驗與探究中不僅關注學生學科知識的習得，更關注學生個人發展和學科核心素養的形成.

3.深度教學“U型”模式的內涵

“U型”模式是一種沉浸性學習模式．杜威認為，書本知識具有不可教性的特點，不能直接進行傳授，學習者沒有親身參與活動體驗知識的生成過程，僅僅通過聽課無法真正獲得知識，需要讓學習者經歷下沉與還原、潛行與探究、上浮與應用的復雜過程．這三個階段的過程恰似一個“U型”過程．首先，“下沉與還原”階段是“U型”模式的入口，是建立新知識與學生個人經驗的關聯，還原知識的原貌，追蹤知識的變化過程，激發學生進人深度學習狀態．其次，“潛行與探究”階段是“U型”模式的底部，是學生發生深度學習的關鍵階段．教師通過設置梯度學習任務，引導學生獨立思考，學生在合作探究中完成對知識的“自我加工”，優化知識體系．最后，“上浮與應用”階段是“U型”模式的出口，即反思性思維階段．“上浮與應用”階段在整個“U型”模式中最重要，是學生在深度探究知識后進行反思與領悟，實現知識的遷移運用，將經過“自我加工”的新知識進行個人意義的升華和表達.

二、深度教學“U型”模式下的活動設計

在中考專題復習課“多動點線段和最值”中，基于深度教學“U型”模式設計活動，學生經歷將復雜的“多動點線段和最值”問題的求解還原為最原始、最基本的數學模型的過程，體會知識生成過程中所蘊含的邏輯推理、數學建模等數學思想．本節課的活動設計如下.

1.問題呈現

題目1如圖1， AB 是半圓 o 的直徑，點 P 為半圓 o 上一點（不與點 A ， B 重合），點 Q 為半圓 o 內一點，且 OQ=1，AB=4 ，則 PQ 的最小值為

題目2如圖2，點M， N 分別是矩形ABCD的邊 AD 和對角線 BD 上的點，連接 MB ，MN， AB=1 ， BC= 2，求 MN+MB 的最小值（結果保留根號）.

題目3如圖3，某小區有一塊形狀為平行四邊形的空地 ABCD ， ∠A=120^° ， AD=600 米， CD=800 米.現準備在平行四邊形內修建一個涼亭 P ，且 ∠PCD+ ∠PDC=90^° ，在邊 AB ， BC 上分別修建涼亭 E ， F ，如果想在三個涼亭之間修建筆直的小路 PE ， PF ， EF ，為了節約成本，要使線段 PE ， PF ， EF 之和最短，試求 PE+PF+EF 的最小值，并說明理由 （結果保留根號）.

2.追根溯源（1）問題提出.

問題1：已知一定點到圓心的距離和圓的半徑，這一點到圓上一動點的距離的最值問題如何求？

① 下沉與還原 還原為基本模型.

活動1：如圖4，在 ΔOPQ 中， OP=a，OQ=b 探究 PQ 的取值范圍.

將目標線段 PQ 放在一個其余兩邊是定長的△OPQ中，容易想到利用三角形三邊關系來解決．根據“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，可得 a-b

由于點 P ， Q 是兩個動點，可能出現 P ， Q ， o 三點共線的情形．當 P ， Q ， o 三點共線時， ΔOPQ 不存在：當點 P 落在 oQ 的延長線上時， PQ=a-b ；當點 P 落在 的延長線上時， PQ=a+b ，所以 a-b? PQ?a+b

【設計意圖】去除無關干擾，還原知識原貌，借助已有解題經驗，將待解決問題轉化為“兩定一變”的三角形模型，利用三角形三邊關系的極限情況即可解決.

② 潛行與探究 探究一般規律.

活動2：將目標線段 PQ 放在以點 o 為圓心、 OP 長為半徑的 ?o 中，把點 Q 看作 ?o 內一定點時，探究點在圓內的“點圓最值”模型的一般規律．如圖5，已知?o 的半徑為 r ，點Q是 ?o 內一定點，且 OQ=d ，點 P 為 ?o 上一動點，探究 PQ 的取值范圍.

如圖6，由三角形三邊關系的極限情況可知：當點 P 運動到 oQ 的延長線與 ?o 的交點 P₁ 處時， PQ 取得最小值 r-d ；當點 P 運動到 QO 的延長線與 ?o 的交點 P₂ 處時， PQ 取得最大值 r+d ，所以 r-d?PQ? r+d.

活動3：將目標線段 PQ 放在以點 o 為圓心、0Q長為半徑的 ?o 中，把點 P 看作 ?o 外一定點時，探究點在圓外的“點圓最值”模型的一般規律.

如圖7，已知 ?o 的半徑為 r ，點 P 是 ?o 外一定 點，且 OP=d ，點 Q 為 ?o 上一動點，探究 PQ 的取值 范圍.

如圖8，由三角形三邊關系的極限情況可知：當點 Q 運動到 OP 與 ?o 的交點 Q₁ 處時， PQ 取得最小值d-r ；當點 Q 運動到 PO 的延長線與 ?o 的交點 Q₂ 處時， PQ 取得最大值 d+r ，所以 d-r?PQ?d+r. （204號

【設計意圖】引導學生在合作探究中多角度建構知識，完成對知識的“自我加工”．通過從多視角分析、解決同一問題，學生經歷了多樣的知識創生過程，反思解決問題的途徑，優化解題方法，探索一般規律，形成在某些條件下的通性通法.

③ 上浮與應用 一反思升華應用表達.

由上述探究過程可以發現，解決圓外一定點（或圓內一定點）到圓上一動點距離的最值問題（即“點圓最值”問題）的方法，是將目標線段放在一個其余兩邊為定值的三角形中，根據三角形三邊關系的極限情況確定目標線段的取值范圍，當定點、圓心及圓上動點三點共線時，目標線段取得最值.最小值為定點到圓心的距離與半徑差的絕對值，最大值為定點到圓心的距離與半徑的和．簡記為口訣“點與圓求最值，點共線最值顯，和最大、差最小.”

活動4：回歸題目1，調用“點圓最值”模型可直接解決問題.

如圖9，連接 OP ， PQ ，由“點圓最值”模型的一般規律可知，當點 P 在半圓 o 上運動到 o ， Q ， P 三點共線時， PQ 取得最小值，易得最小值為 OP-OQ= 2-1=1

【設計意圖】將在“潛行與探究”環節經過自我加工得到的解決“點圓最值”模型問題的一般規律，進行個人意義的升華和表達，既達到了解決問題、鞏固知識的目的，又豐富了學生的學習經歷.

（2）問題探究.

問題2：已知矩形的長和寬，如何求長邊上一動點到對角線的一個端點和對角線上任意一點距離之和的最小值？

① 下沉與還原 還原為基本模型.

活動5：去掉無關干擾，還原為“兩定一動”異側線段和最小值模型．如圖10， M 為AD上一動點，點 B^′ ，N 為 AD 異側兩點，探究 MN+MB^′ 的最小值.

如圖11，連接 B^′N ，與 AD 交于點 M^′ ，那么 M^′B^′+ M^′N 的值最小．由“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的極限情況很容易得到 MN+MB^′≥B^′N ，所以 MN+ MB^′ 的最小值為 B^′N.

【設計意圖】根據最近發展區理論，這樣的設計容易觸發學生的聯想，將“兩定一動”異側線段和最小值問題還原為基本事實“兩點之間線段最短”解決問題，為進一步探索“兩定一動”同側線段和最小值及“兩動一定”線段和最小值等復雜問題作鋪墊.

② 潛行與探究 探究一般規律.

活動6：改變條件，探究“兩定一動”同側線段和最小值模型及“兩動一定”線段和最小值模型的一般規律.

改變條件1：如圖12，點 M 為 AD 上一動點， B ， N 為 AD 同側兩點，探究 MN+MB 的最小值.

如圖13，根據“兩定一動”異側線段和最小值模可知，作點 B 關于 AD 的對稱點 B^′ ，利用轉化思想把兩定點 B ， N 由同側轉化為異側，問題即可迎刃而解.

改變條件2：如圖14， M ， N 分別是線段 AD ，BD上的動點，連接MB，MN，探究 MN+MB 的最小值.

若點 N 是定點，則 MN+MB 的最小值問題符合“兩定一動”同側線段和最小值模型的條件．如圖15，根據“兩定一動”同側線段和最小值模型（即“將軍飲馬”問題），作點 B 關于 AD 的對稱點 B^′ ，連接 B^′N B^′M ，則 MN+MB 的最小值就是 B^′N 的長.

然而本題中，點 N 是線段 BD 上的動點，由上述探究可知，要求出 MN+MB 的最小值，只要求出 B^′N 的最小值即可．讓點 N “動”起來，容易發現 B^′N 的最小值問題符合“垂線段最短”模型的條件．如圖16，作B^′N^′⊥BD ，垂足為點 N^′ ，則 MN+MB 的最小值為 B^′N^′ 的長.

【設計意圖】引導學生對新知識進行自我加工，利用“兩定一動”異側線段和最小值模型成功解決了“兩定一動”同側線段和最小值問題后，通過改變條件，讓其中一個定點“動”起來，探究發現解決“兩動一定”線段和最小值等復雜問題的一般策略為控制變量法.

③ 上浮與應用 一反思升華應用表達.

對于題目2的待求結論‘ MN+MB 的最小值”，似乎可以用“將軍飲馬”模型來解決，但是否為“將軍飲馬”模型需要進一步驗證．注意到題中 B 為定點，M， N 分別是 AD ，BD上的動點，與日常接觸的“兩定一動”同側線段和最小的“將軍飲馬”模型有所區別．思考時，不妨采用控制變量法將多因素問題變成多個單因素問題．利用“將軍飲馬”模型先求出點 N 不動時 MN+MB 的最小值，再利用“垂線段最短”模型求出點 N 在 BD 上運動時 B^′N 的最小值，從而找到解題思路．這種“化繁為簡”的探究思路在解決多因素的復雜問題時至關重要.

活動7：回歸題目2，調用“將軍飲馬”和“垂線段最短”模型，利用控制變量法解決問題.

如圖17，作點 B 關于 AD 的對稱點 B^′ ，作 B^′N^′⊥BD 于點 N^′ ，交 AD 于點 M^′ ，則 BM^′=B^′M^′ ，所以 MN+MB 的最小值為 B^′N^′ 的長．在矩形 ABCD 中，由 AB=1 ，BC=2 ，得 ．由題意及作圖過程容易得到 ΔDAB～ΔB^′N^′B. 所以 所以 2．解得B'N'=√5，即MN+MB的最小值為 ：

【設計意圖】將在“潛行與探究”環節得到的解決復雜問題的一般規律和方法進行反思總結、升華表達，使學生進一步理解“將軍飲馬”和“垂線段最短”問題的應用價值，既達到了解決數學問題的基本目的，又增加了學生思維的高度和厚度，提升了學生的解題能力．

（3）問題解決.

問題3：已知平行四邊形的內角及鄰邊長，且一組鄰邊及平行四邊形的內部分別有一個動點，如何求三個動點構成的三角形周長的最小值？

① 下沉與還原 還原為基本模型.

活動8：去掉無關干擾，還原為“一定兩動”三角形周長最小值模型．如圖18，點 P 是∠ABC內部一定點，在BA上找一點 E ，在 BC 上找一點 F ，探究△PEF周長的最小值.

要使 ΔPEF 周長最小，即 PE+PF+EF 的值最小，如圖19，分別作點 P 關于 BA ， BC 的對稱點 P^′ ，P^′′ ，連接 P^′P^′′ ，分別交 BA ， BC 于點 E ， F. 根據基本事實“兩點之間線段最短”，將三條線段 PE ， PF ，EF轉化到同一條線段 P^′P^′′ 上，即當 P^′ ， E ， F ， P^′′ 四點共線時， PE+PF+EF 取得最小值，即線段 P^′P^′′ 的長.

【設計意圖】回歸知識本源，引導學生在掌握“將軍飲馬”問題解決經驗的基礎上，探究發現“一定兩動”三角形周長最小值問題也可以轉化為“兩點之間線段最短”來解決，體會化折為直思想在解題中的應用．② 潛行與探究 探究一般規律.

活動9：改變條件，探究“三動點”三角形周長最小值模型的一般規律.

在銳角三角形 ABC 中，點 P ！ E ， F 分別是 AC AB ，BC上任意一點，探究 ΔPEF 周長的最小值.

如果點 P 是AC上一定點，那么問題轉化為“一定兩動”三角形周長最小值模型．如圖20，作點 P 分別關于 BA ， BC 的對稱點 P^′ ， P^′′ ，連接 P^′P^′′ ，交 BA ，BC 于點 E ， F ，此時 PE+PF+EF=P^′E+P^′′F+EF= P^′P^′′ ，即可得到 ΔPEF 周長的最小值為 P^′P^′′ 的長.

如圖21，假設此時 ∠ABC=α ， BP=a ，連接 BP BP^′ ， BP^′′ ，根據對稱性可得 BP^′=BP^′′=BP=a ，∠P^′BP^′′=2α 在 ΔBP^′P^′′ 中，可得 P^′P^′′=2asinα 所以此時 ΔPEF 周長的最小值為 P^′P^′′ 的長，即 2asinα

實際上，點 P 是AC上一動點，求 ΔPEF 周長的最小值．在“一定兩動”三角形周長最小值模型的基礎上，當點 P “動”起來時， ΔPEF 周長的最小值實際上是由 ∠ABC 的度數和 BP 的長度決定的，當 α 為定值時，求△PEF周長的最小值就是求 BP 的最小值．容易發現當 BP⊥AC 時， BP 取得最小值，如圖22所示.

【設計意圖】在“下沉與還原”環節“一定兩動”三角形周長最小值問題解決經驗的基礎上，當點 P “動”起來時， ΔPEF 周長的最小值實際上是由∠ABC的度數和 BP 的長度決定的，進一步體會控制變量法是解決多因素復雜問題的重要思想方法.

③ 上浮與應用 反思升華應用表達.

對于題目3的“求 PE+PF+EF 的最小值”，似乎可以用“三動點”三角形周長最小值模型來解決．注意到題中點 P 不是對角線 AC 上的動點，而是以 CD 為直徑的一段弧上的一個動點，與前面探究的“三動點”三角形周長最小值模型有細微差別．思考時，不妨采用控制變量法將問題簡單化，利用“一定兩動”三角形周長最小值模型，求出當點 P 為定點時 PE+ PF+EF 的最小值，再根據“三動點”周長最小值模型可知，求△PEF周長的最小值就是求 BP 的最小值，問題轉化為求圓外一定點 B 到圓上一動點 P 的距離最小值問題，利用“點圓最值”模型，問題即可迎刃而解.

活動10：回歸題目3，調用“三動點”三角形周長最小值和“點圓最值”模型，利用控制變量法解決問題.

如圖23，由 ∠PCD+∠PDC=90^° ，易得 ∠CPD= 90^° ，再由點 P 在 ?ABCD 內，可知點 P 在以 CD 為直徑的 上運動（不與點 C ， M 重合）.

如圖24，根據“三動點”三角形周長最小值模型，分別作點 P 關于 BA ， BC 的對稱點 P^′ ， P^′ ，連接P^′P^′′ ，分別交 BA ， BC 于點 E ， F ，此時 P^′E+P^′′F+EF=P^′P^′′=2BPsin∠ABC. 由題意，可得∠ABC=60^° ，所以 PE+PF+EF=P^′P^′′=2BPsin60^°= .故當 BP 最小時， PE+PF+EF 的值也最小.

如圖25，根據“點圓最值”模型，連接 BO 交 于點 Q 當 B ， P ， o 三點共線時，即點 P 與點 Q 重合時， BP 取得最小值，最小值為 BO-OP 的值．過點 o 作ON⊥BC，交 BC 的延長線于點 N. 根據題意，易得 （2在 RtΔOBN 中，可得 .所以BP 的最小值為 .故 PE+PF+EF 的最小值為

【設計意圖】通過解決“三動點”三角形周長最小值問題，引導學生進一步理解復雜問題往往是由多個基本數學模型綜合而成.解決此類問題的一般思路為：利用控制變量法，化繁為簡，回歸本源.

三、教學思考

基于深度教學“U型”模式設計教學活動，能有效地將復雜的綜合性問題還原為最原始、最基本的數學模型．經過“下沉與還原”“潛行與探究”“上浮與應用”等環節將問題逐步聚焦，將思維逐級優化，使學生看清問題的本質，進一步通過改變條件不斷達成探究目標，直擊問題核心，從而突破難點，使得復雜的綜合題的求解變得有章可循.

1.回歸本源，理解知識

著名數學家華羅庚曾說過，善于退，足夠地退，退到最原始而又不失重要性的地方是學好數學的一個訣竅．在“下沉與還原”環節，教師采取多種方法引導學生去除無關干擾，回歸知識本源，將復雜的問題還原為學生已有的經驗，建立新知識與學生已有經驗的關聯，如還原“兩定一變”的三角形模型、“兩點之間線段最短”模型、“垂線段最短”模型等，從而增強

學生解決復雜問題的信心.

2.注重關聯，建構知識

在“潛行與探究”環節，通過設置梯度學習任務，引導學生對新知識進行深度思考，探尋新舊知識之間的聯系和轉化方法，在解決問題的過程中完成對新知識的“自我加工”.例如，求“三動點”三角形周長最小值問題中涉及多個動點、知識點、數學模型，學生往往望而生畏．解題時，教師引導學生按照“兩點之間線段最短”、“兩定一動”異側線段和最小值、“兩定一動”同側線段和最小值、“兩動一定”線段和最小值、“一定兩動”三角形周長最小值、“三動點”三角形周長最小值的知識進化歷程深度思考問題，有助于激發學生進入深度學習狀態，使得復雜問題迎刃而解.

3.反思升華，內化知識

法國數學家笛卡兒曾說過，他所解決的每一個問題都將成為一個范例，以用于解決其他問題，在“上浮與應用”環節，教師讓學生反思自己是怎樣分析和解決問題的，運用了哪些方法，獲得了哪些經驗，將經過自我加工的新知識進行個人意義的升華和表達，真正達到“解一題、學一法、會一類、通一片”的效果，實現知識的正向遷移．通過引導學生對知識探究過程進行追溯，使之體會知識之間的內在聯系，歸納、提煉學習過程中運用的數學思想，如控制變量思想、化折為直思想、模型思想等，從而發展學生的核心素養，實現“教是為了不教”的目的.

總之，基于深度教學“U型”模式的活動設計，有利于豐富學生的學習經歷，促使學生將書本知識內化為個人知識，從而引發學生的高階思維，發展數學核心素養.

參考文獻：

[1］郭元祥.深度教學—促進學生素養發育的教學變革[M].福州：福建教育出版社，2021.

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