關(guān)注解題教學(xué) 揭露數(shù)學(xué)本質(zhì) 發(fā)展核心素養(yǎng)

中學(xué)課堂通常分“概念課”原理課”“解題課\"三種課型，“復(fù)習(xí)課\"可以歸類到\"解題課\"．在解題教學(xué)中，部分教師過度側(cè)重解題技巧的歸納總結(jié)，卻忽略了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘以及學(xué)生核心素養(yǎng)的培育.這種教學(xué)傾向?qū)е聦W(xué)生僅聚焦于得出答案，缺乏對(duì)解題過程的反思與總結(jié)，難以深入理解數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在邏輯.隨著新高考改革推進(jìn)，數(shù)學(xué)試題的靈活性與創(chuàng)新性顯著增強(qiáng)，對(duì)學(xué)生綜合能力提出了更高要求.在此背景下，教師需重新審視數(shù)學(xué)解題教學(xué)，通過深入剖析數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生提升思維品質(zhì)，進(jìn)而推動(dòng)其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.借助情境，導(dǎo)入主題

課堂伊始，借助PPT展示《赤壁賦》中蘇軾的名句：“蓋將自其變者而觀之，則天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無盡也.\"隨后鼓勵(lì)學(xué)生自主接出這句話的下一句，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“變\"與“不變\"產(chǎn)生感悟，并分享自己此刻的想法.

設(shè)計(jì)意圖蘇軾的名句能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，揭示語文與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，為理解“變”與“不變”的規(guī)律打下基礎(chǔ)．這樣的設(shè)計(jì)還能激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓他們?cè)诜e極的情感狀態(tài)下開始學(xué)習(xí).

2.關(guān)注過程，建構(gòu)知識(shí)

（1）舊知回顧

引例已知點(diǎn) F₁，F(xiàn)₂ 為橢圓 的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且過點(diǎn) F₁ 的直線與橢圓相交于點(diǎn) ^B，D ，過點(diǎn) F₂ 的直線與橢圓相交于點(diǎn)A， c ，同時(shí)A C⊥BD， P 為垂足，

① 若點(diǎn) P（x₀，y₀） ，求證： ② 四邊形ABCD的面積最小值是多少？

生1：該題為一道典型的橢圓內(nèi)接四邊形類問題．四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，且分別過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).

待證明的不等式，從幾何角度來看，其本質(zhì)等價(jià)于判斷點(diǎn) P處于橢圓的內(nèi)部.已知橢圓的離心率√3 ，那 么點(diǎn)P必然處于橢圓的內(nèi)部.

師：非常好！具體的解題過程是怎樣的？

學(xué)生自主解題，教師巡視觀察，并挑選代表展示解法，

生2： ① 根據(jù)半焦距 c=1 以及 AC⊥BD ，確定點(diǎn)P處于以“線段 F₁F₂ \"為直徑的圓上，所以 x₀²+y₀²=1 ，則

② 分成兩種情況進(jìn)行討論：

第一種，直線 BD 的斜率存在且不為零，設(shè)直線BD的方程為 y=k（x+1） ，將其代入橢圓，經(jīng)化簡(jiǎn)得 （3k²+2）x²+6k²x- 6+3k2=0，所以BD=4V3（k2+1）

因?yàn)锳 C⊥BD ，所以- 為直線 _AC 的斜率，所以 AC= ，所以，S四邊形ABCD = 當(dāng)k=±1時(shí)等號(hào)成立.

第二種，直線 BD 與 x 軸垂直，則 AC （為長(zhǎng)軸） ，BD（為通徑） 6;直線AC與x軸垂直，結(jié)論一致.

綜上分析，S四邊形ABcn的最小值是6

師：對(duì)于這個(gè)解題方法，你們覺得處理得比較好的地方在哪里？

生3：用k表示 ，借助基本不等式獲得最值，此為處理得很成功的部分.

師：不錯(cuò)，這位同學(xué)的解題思路清晰，過程完整，計(jì)算也沒有問題，并巧妙地借助基本不等式化解了解題的難點(diǎn)，值得贊揚(yáng).我看到還有不少同學(xué)用了不一樣的解題方法，哪位同學(xué)愿意主動(dòng)展示一下？

生4：在獲得四邊形的面積之后，我和他的處理方式不一樣，我將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再探索最值，可同時(shí)獲得該四邊形的最大值與最小值.具體過程如下：

24（1+k2）2 24 ，假設(shè) 則

（3h2+2）（2k2+3） 1 1 6+ 1+k2 （1+k2）2

，所以 所 根據(jù)A C （或 BD ）與坐標(biāo)橫軸垂直的關(guān)系，可順利獲得S四邊形ABCD

師：以上探索過程，應(yīng)用了基本不等式或函數(shù)來思考問題，同時(shí)還涉及分類討論思想，非常好！

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以一道題目為切入點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的思考與交流．在學(xué)生展示解題思路的過程中，教師及時(shí)捕捉教學(xué)信息，鼓勵(lì)學(xué)生相互補(bǔ)充、啟發(fā)，從而優(yōu)化思維方式．引例中“對(duì)角線垂直且過兩個(gè)焦點(diǎn)”這一條件，為后續(xù)揭示問題中“變”與“不變”的本質(zhì)特征奠定了基礎(chǔ).

（2）呈現(xiàn)問題

問題1如圖2所示，已知點(diǎn) M，N，P，Q 均處于橢圓 x²+ =1上，橢圓正半軸上的焦點(diǎn)為點(diǎn)F.同時(shí)MF，F(xiàn)N共線，PF，共線， ，那么 S_pq;####MQNP 的最大值與最小值分別是多少？

生5：結(jié)合題設(shè)條件，可知 FQ 與PF位于同一條直線上FN與MF也處于同一條直線上．即 PQ，MN 分別為橢圓的兩條弦，MN⊥PQ于焦點(diǎn) F（0，1）

① 假設(shè) ??k 為PQ的斜率，則直線PQ的方程為 y=kx+1（k≠ 0），將其代入橢圓方程，整理后得 （k²+2）x²+2kx-1=0 2√2（h2+1）；與之類似，可推導(dǎo)出 因此，S四邊形MQNI 假設(shè) 則u≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，u=2，S四邊形MQNP （20 因?yàn)镾四邊形MQNP= 在u≥2的情況下遞增，所以16 （20 S_{⊥⊥⊥#M?NP}lt;2. （2號(hào)

② 在 k=0 的條件下，橢圓的長(zhǎng)軸為M ， （204

③ 在k不存在的條件下，與第 ② 種情況一致.

綜上分析 所以， 的最大值為2，最小值為16.

師：大家覺得這種解法怎么樣？

生6：這種解法在換元處理上很有特點(diǎn)，他將面積用分式函數(shù)來表示，借助函數(shù)的單調(diào)性順利獲得了結(jié)論

師：除此之外，還有什么解法嗎？

生7：我覺得還可以用二次函數(shù)來分析，即S四邊形MQNP= 設(shè) 1+h2，t∈（0，1），則S四邊形 當(dāng)t= 時(shí)，S四邊形wQv的最小值為16.

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)問題比引例復(fù)雜，對(duì)角線交點(diǎn)位于一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓方向也改變了，但考查的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)本質(zhì)未變．解決思路和方法與引例相似，學(xué)生只要掌握了“變”與“不變”的規(guī)律，即可解決問題.

（2）實(shí)際應(yīng)用

問題2已知點(diǎn)F（c，0）為橢圓2+ 的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條弦 _?AC 與 BD ，令它們恰好垂直.已知點(diǎn) M ，N分別為AC，BD的中點(diǎn)，那么MN是不是一定過某個(gè)點(diǎn)？

生8：當(dāng)A C 與 軸垂直時(shí)， BD 就是長(zhǎng)軸， _AC 為通徑，點(diǎn)M即點(diǎn) F， 點(diǎn)N即點(diǎn) o ，且直線MN與 軸重合.若直線MN過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必定處于 軸上.在A δ_C，BD 關(guān)于 軸對(duì)稱的情況下，它們的斜率為 ±1 ，直線 MN⊥x 軸，定點(diǎn)同樣處于 軸上．具體解題過程如下：

假設(shè) x=my+c 為直線A C 的方程，點(diǎn)A （x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，

M（x_M，y_M） ① 在 m≠0 ，且 m≠±1 的條件下， 為直線 BD 的

方程.根據(jù)設(shè)計(jì)意圖追問可進(jìn)一步深化學(xué)生的思維，讓學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到問題的本質(zhì)．如此設(shè)計(jì)，意在讓學(xué)生明確：當(dāng)遇到幾何問題時(shí)，換一個(gè)角度或思維去分析，或許能有新的發(fā)現(xiàn).

師：此問明確指出四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)恰好位于橢圓的焦點(diǎn)處，并且直線MN過定點(diǎn)與參數(shù)c有關(guān).若將該交點(diǎn)移動(dòng)至橢圓長(zhǎng)軸上的其他位置，會(huì)得出怎樣的結(jié)論呢？

生9：根據(jù)以上探索可知，設(shè) S（s，0）（-a 為MN必定經(jīng)過的點(diǎn).

師：如果交點(diǎn)位于短軸的 T（0，t）（-b （過程略）.師：根據(jù)上述探索，是否能夠提煉出相應(yīng)的猜想？生11：假設(shè)橢圓內(nèi)的點(diǎn) Q（s，t） 為交點(diǎn)，那么 就是直線MN恒過的定點(diǎn).

師：非常好！結(jié)合以上特例可初步判斷該猜想是成立的，具體的證明過程，有興趣的同學(xué)可以在課后繼續(xù)研究.

設(shè)計(jì)意圖鼓勵(lì)學(xué)生自主提出問題、分析問題和解決問題，使其在這一過程中深入感知從特殊到一般思想方法，進(jìn)而形成合理猜想.這不僅讓學(xué)生深入理解問題本質(zhì)，還提升了數(shù)學(xué)合情推理和解題能力．學(xué)生在思考中積極動(dòng)腦，激發(fā)數(shù)學(xué)理性精神，對(duì)促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展至關(guān)重要.

3.提煉總結(jié)，發(fā)展素養(yǎng)

師：本節(jié)課我們探索了哪些問題？這些問題有什么共同點(diǎn)？在探索過程中又應(yīng)用了哪些研究方法？

學(xué)生討論總結(jié)：?jiǎn)栴}涉及橢圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線垂直，探討面積最值與對(duì)角線中點(diǎn)連線過定點(diǎn).研究方法包括分析對(duì)角線垂直關(guān)系，設(shè)定一條直線斜率為，另一條為- ，建立方程得出結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖教學(xué)方式的首尾呼應(yīng)使課堂形成閉環(huán)．學(xué)生探究問題的“變”與“不變”，體會(huì)解題樂趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，為提升學(xué)習(xí)能力打下基礎(chǔ)．同時(shí)，學(xué)生在提煉與總結(jié)中養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維思考問題的習(xí)慣，提升邏輯推理和抽象概括能力.

思考與感悟

1.選擇具有生長(zhǎng)性的素材

復(fù)習(xí)教學(xué)并不是面面俱到地全覆蓋教學(xué)，而是根據(jù)教學(xué)需要選擇恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容展開教學(xué).這要求教師基于對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)生及教學(xué)的深刻理解，精選具有生長(zhǎng)性的素材作為教學(xué)內(nèi)容.尤其是解題教學(xué)，可根據(jù)實(shí)際需求精心挑選引例，以吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)入課堂探索狀態(tài)[2．本節(jié)課，教師結(jié)合學(xué)情與復(fù)習(xí)需求，選取對(duì)角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形問題進(jìn)行深入剖析.引導(dǎo)學(xué)生圍繞對(duì)角線交點(diǎn)的不同位置，探究各類相關(guān)問題，促使學(xué)生在解題過程中感悟數(shù)學(xué)中的“變\"與“不變”，有效推動(dòng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升

2.提出具有挑戰(zhàn)性的問題

問題對(duì)于數(shù)學(xué)課堂而言具有引領(lǐng)性作用，尤其是變式問題的應(yīng)用，能夠進(jìn)一步激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生“跳一跳，摘到桃”.課堂上，若教師未能精準(zhǔn)把握學(xué)情，提出的問題要么缺乏思維含量，要么難度過高，都難以真正揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，更不利于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.處于學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的問題，有助于拓展學(xué)生思維深度，提升學(xué)習(xí)能力．同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生自主解決問題，并引導(dǎo)他們及時(shí)反思與總結(jié)，能夠有效增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)成就感，使其更充分地享受學(xué)習(xí)的樂趣

3.設(shè)計(jì)具有思辨性的變題

數(shù)學(xué)學(xué)科在發(fā)展學(xué)生思維方面具有重要價(jià)值.在課堂教學(xué)中，借助變式題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程，能夠幫助學(xué)生深入理解問題的本質(zhì)與演變邏輯，這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的關(guān)鍵路徑.本節(jié)課，教師創(chuàng)設(shè)問題情境，例如以對(duì)角線交點(diǎn)位于焦點(diǎn)位置為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生先探究坐標(biāo)縱橫軸上的點(diǎn)，進(jìn)而延伸到橢圓內(nèi)部的點(diǎn).這種由淺入深的探究過程，不僅有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還促使他們主動(dòng)觀察、提出問題并進(jìn)行合理猜想，從而培養(yǎng)了良好的思辨能力，為發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)筑牢根基

綜上所述，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)依據(jù)教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生實(shí)際，精選具有啟發(fā)性和拓展性的教學(xué)素材，通過巧妙加工與整合，設(shè)計(jì)出富有挑戰(zhàn)性的問題，以此激活學(xué)生的思維，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)創(chuàng)造有利條件.

參考文獻(xiàn)：

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