地圖上的頑固難題:四色猜想的世紀(jì)風(fēng)暴

本期登場(chǎng)的四色猜想，細(xì)心的同學(xué)一定非常眼熟，它可是我們雜志的“老熟人”啦！本刊2025年5月號(hào)的《特別策劃》欄目就提到過(guò)這個(gè)圖論界的重量級(jí)選手。接下來(lái)，讓我們一起揭開四色猜想背后的傳奇往事，看看它是如何讓一眾數(shù)學(xué)家頻頻“翻車”，抓耳撓腮了一個(gè)多世紀(jì)。

想象你正拿著一盒彩筆在給地圖涂色，涂色游戲的規(guī)則也很簡(jiǎn)單：以免混淆，相鄰（有公共邊界）的國(guó)家不能涂同一種顏色。

如果整個(gè)地圖上只存在一個(gè)國(guó)家，1種顏色就足夠；如果有兩個(gè)國(guó)家對(duì)峙，至少得用2種顏色；要是正上演“三國(guó)演義”，三國(guó)相鄰時(shí)就必須使用3種顏色；而當(dāng)國(guó)家數(shù)量增加到4個(gè)或更多時(shí)，情況開始變得復(fù)雜—一有時(shí)需要4種顏色來(lái)區(qū)分。

看！我涂的地圖，這多簡(jiǎn)單。

國(guó)家越來(lái)越多，完成涂色游戲需要的顏色會(huì)不會(huì)也越來(lái)越多？神奇的是，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，無(wú)論地圖上有多少個(gè)國(guó)家、邊界如何復(fù)雜，只需要4種顏色就一定能完成涂色游戲！這就是著名的四色猜想：

無(wú)論多么復(fù)雜的地圖，只要用4種顏色，就可以區(qū)分有公共邊界的國(guó)家和地區(qū)。

聽起來(lái)像是小孩子的游戲，但這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，卻讓數(shù)學(xué)家們糾結(jié)了一個(gè)多世紀(jì)，甚至引發(fā)了一場(chǎng)數(shù)學(xué)界的“信仰地震”。

故事要從1852年講起，那年初秋，在倫敦，一位名叫古德里（1831年—1899年）的大學(xué)生正玩著看似尋常的涂色游戲——為英國(guó)地圖涂色。古德里突然發(fā)現(xiàn)：只需要4種顏色就能讓相鄰（兩個(gè)區(qū)域有一段共同的邊界，并非單一的一個(gè)點(diǎn)）區(qū)域永不“撞色”。

他投入該猜想的證明之中，即使草稿紙堆成小山，古德里的研究卻依舊毫無(wú)進(jìn)展。于是，這位倔強(qiáng)的青年把火種傳給了弟弟，一位倫敦大學(xué)學(xué)院的數(shù)學(xué)系新生。

哥哥，你手持藝術(shù)與法學(xué)雙學(xué)位，怎么突然去南非的大學(xué)做數(shù)學(xué)教授了？

我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于地圖涂色的奧秘，我的數(shù)學(xué)“任督二脈”好像一下被打通了！但距離成為高手，還有很長(zhǎng)一段距離。

命運(yùn)的齒輪就此開始轉(zhuǎn)動(dòng)。弟弟將古德里的猜想帶給數(shù)學(xué)導(dǎo)師——邏輯學(xué)大師德·摩根（1806年—1871年）。這位在數(shù)理邏輯領(lǐng)域開宗立派的人物，竟也被這個(gè)“地圖涂色游戲”難住了。在苦思冥想無(wú)果后，1852年10月，一封載著猜想的手寫信件“飛向”都柏林，收件人是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)巨星哈密頓（1805年—1865年）。

哈密頓教授，我向你請(qǐng)教一個(gè)可能創(chuàng)造數(shù)學(xué)新詩(shī)篇的驚天問題！我的學(xué)生說(shuō)任何平面地圖只需4種顏色即可區(qū)分相鄰區(qū)域！

本刊2025年4月號(hào)的《特別策劃》欄目中，介紹過(guò)我發(fā)明的風(fēng)靡世界的哈密頓游戲！拜托，我很忙的，沒時(shí)間解決這種“無(wú)聊”的問題。

這封信就是關(guān)于四色猜想最早的正式記錄，就這樣，一個(gè)大學(xué)生的靈光一閃，正式踏上了數(shù)學(xué)史的舞臺(tái)，也開啟了長(zhǎng)達(dá)一百二十多年的“四色征途”。

四色猜想的證明故事的前20年很平淡，德·摩根證明未果，哈密頓對(duì)此也不感興趣。1871年德·摩根老爺子去世時(shí)，四色猜想還蜷縮在他的“朋友圈”里打瞌睡。

小老弟，這道題就交給你們這些年輕人去燒腦吧。

老前輩，您放心吧，數(shù)學(xué)界后浪滾滾，這點(diǎn)“小玩意兒”，某位大神靈光一閃就解決了。

直到1879年，數(shù)學(xué)家凱萊（1821年—1895年）在倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)上提起四色問題，它才算在數(shù)學(xué)界正式亮相。

在四色猜想證明之前，數(shù)學(xué)家們首先就用歐拉公式“點(diǎn)數(shù) + 面數(shù)-邊數(shù) 1”證明了六色猜想。以歐拉命名的公式實(shí)在太多了，力學(xué)里有他，幾何里也有他，簡(jiǎn)直是數(shù)學(xué)界的“簽到狂魔”。這里提到的公式是歐拉在圖論里總結(jié)得出的。

哈哈，就是因?yàn)橛心氵@樣的想法，這玩意兒才會(huì)讓那么多大人物“摔跟頭”

數(shù)學(xué)家們?nèi)绱溯p易就證明了六色猜想，這比想象中簡(jiǎn)單多了！

這個(gè)公式里的點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和邊數(shù)，分別是指在連通的平面圖中的結(jié)點(diǎn)、區(qū)域、邊的數(shù)量。（這些概念我們?cè)?025年5月號(hào)的《特別策劃》欄目已經(jīng)講過(guò)啦，記得翻翻看哦。）

圖1有6個(gè)點(diǎn)、4個(gè)面、9條邊： 6+4-9=1 ：圖2有4個(gè)點(diǎn)、3個(gè)面、6條邊： 4+3-6=1 ;圖3有8個(gè)點(diǎn)、5個(gè)面、12條邊： 8+5-12=1

因?yàn)榱孪脒@么容易就被證明，所以當(dāng)年數(shù)學(xué)家們個(gè)個(gè)信心爆棚，大家認(rèn)為掏出歐拉這條“萬(wàn)金油”公式，四色猜想肯定也會(huì)被輕松解決掉。

結(jié)果，數(shù)學(xué)界迎來(lái)一連串的翻車“慘劇”。

1879年，英國(guó)數(shù)學(xué)家肯普（1849年—1922年）提交四色猜想的證明。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界沒有發(fā)現(xiàn)問題，以為四色猜想塵埃落定。11年后，牛津大學(xué)的希伍德指出肯普的邏輯鏈條中存在致命缺陷，證明無(wú)效。

1880年，英國(guó)數(shù)學(xué)家彼得（1831年—1901年）宣布證明四色猜想并得到認(rèn)可，巧合的是，同樣在11年后，他的證明也被推翻。

老兄，歡迎加入四色猜想證明失敗者聯(lián)盟。

失敗嘛，不過(guò)是成功路上的連續(xù)劇，我很期待接下來(lái)客串的數(shù)學(xué)家登場(chǎng)！

20世紀(jì)初，愛因斯坦的數(shù)學(xué)老師、大數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（1864年—1909年）在拓?fù)鋵W(xué)課上表示：四色猜想長(zhǎng)期沒能解決是因?yàn)闆]有真正的數(shù)學(xué)家出手。結(jié)果，他也證明失敗了。

凡此種種，四色猜想可算“坑人”無(wú)數(shù)。

教授，四色猜想為何久攻不下？

這么簡(jiǎn)單的猜想也值得浪費(fèi)我的上課時(shí)間？待我下課給你們演示一下什么叫隨手搞定

在接下來(lái)的幾十年里，四色猜想的證明依舊進(jìn)展緩慢

1920年，費(fèi)蘭克林證明國(guó)家數(shù)小于25時(shí)四色猜想成立；1926年，溫恩的證明將國(guó)家數(shù)提升至27；1938年，費(fèi)蘭克林將國(guó)家數(shù)重新提升至31…

人們這樣反復(fù)超越，但面對(duì)無(wú)窮的數(shù)字，這種刷記錄的意義實(shí)在不大。

時(shí)間到了20世紀(jì)60年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家亨利（1906年—1995年）為四色問題開辟出一片新戰(zhàn)場(chǎng)。亨利年輕時(shí)證明了希爾伯特23問之一，如今老人家年紀(jì)雖大，想法卻新，面對(duì)巨大的計(jì)算量，他看上新生事物計(jì)算機(jī)，打算用計(jì)算機(jī)來(lái)幫助證明。

在有限的現(xiàn)實(shí)條件下，亨利最終也沒能完成計(jì)算。但他的證明思路指引了最終解決四色猜想的人——哈肯（1928年—2022年）與阿佩爾（1932年—2013年）。

我們要向第一位錯(cuò)誤證明的提交者肯普先生致敬。我們一直走在肯普開辟的證明道路之上。

感謝計(jì)算機(jī)，解放了我的雙手！不然我得算到海枯石爛了。

1976年7月，經(jīng)過(guò)2臺(tái)計(jì)算機(jī)耗時(shí)1200小時(shí)的計(jì)算，四色猜想證明成功！雖然四色定理的證明是在計(jì)算機(jī)輔助下完成的，但手工運(yùn)算部分仍有數(shù)百頁(yè)之多，龐大的計(jì)算量讓人咂舌。

作為世界上第一個(gè)使用計(jì)算機(jī)證明的數(shù)學(xué)猜想，它為數(shù)學(xué)研究打開了一片新的領(lǐng)域，也引發(fā)了數(shù)學(xué)界的“信仰地震”。在那時(shí)，對(duì)于一些數(shù)學(xué)家而言，這個(gè)“證明”無(wú)法被人類完全檢驗(yàn)，而是基于“我們相信這臺(tái)機(jī)器沒錯(cuò)”的前提。

計(jì)算機(jī)做的計(jì)算太多了，根本無(wú)法人工檢驗(yàn)，誰(shuí)敢保證程序設(shè)計(jì)中不會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤？

沒錯(cuò)，計(jì)算機(jī)部分的可靠性誰(shuí)也不能保證！

腦子得自己動(dòng)，但計(jì)算這種事就交給我們的好搭檔計(jì)算機(jī)吧。

前輩們，我們要學(xué)會(huì)接受并且運(yùn)用工具，計(jì)算機(jī)就是數(shù)學(xué)研究的“外掛”！