愛因斯坦問題和非周期密鋪

在本刊2025年4月號的《數學實驗室》欄目中，我們介紹了數學家羅杰·彭羅斯于20世紀70年代發現的兩組拼圖。這些拼圖每組都各包含兩種不同形狀的拼圖塊，使用兩種拼圖塊可以拼出復雜且美麗的非周期性的平面密鋪圖形。彭羅斯的發現引發了一個問題：是否存在僅用一種形狀的拼圖塊，就能拼出非周期性的密鋪圖形呢？這個問題被稱為“愛因斯坦問題”。這里的“愛因斯坦”和著名物理學家阿爾伯特·愛因斯坦無關，而是源自德語“einStein”，意思是“一塊石頭”或“一片瓷磚”。

第1種： 帽子拼圖塊

2022年11月，一位名叫大衛·史密斯的英國數學愛好者發現了一種有趣的拼圖塊，使用若干個這樣的拼圖塊，能完美地鋪滿整個平面且不會形成周期性，他把這種拼圖塊稱為“帽子”。帽子可以借助三個相鄰的正六邊形來繪制，其邊長和角度是經過精心設計的。

根據右邊的設計圖，我們可以發現帽子拼圖塊的幾何特征：

1.有13條邊，邊只有3種長度，分別為 a ， ， 2a 。2.相鄰兩條邊在頂點處形成的小于 180^° 的角（即從一條邊轉向另一條邊所經過的角度）要么是 90^° ，要么是 120^° 3.帽子由8個一模一樣的四邊形組成的。這個四邊形的內角分別是 60^° 、 90^° 、 90^° 和 120^° 。

帽子解決了愛因斯坦問題，數學界對這個成果很興奮。但很快有人發現了其局限性一一要用帽子拼圖塊實現非周期密鋪，必須同時使用帽子與其鏡像翻轉版本，大約每7塊（精確值為黃金比例1.618的4次方 ≈6.85 ）帽子拼圖塊中有1塊需要進行鏡像翻轉

真人帽子拼圖塊 鏡像翻轉后的帽子拼圖塊

第2種：幽靈拼圖塊

因為帽子拼圖塊的局限性，數學家又提出了一個新問題：是否存在一種能非周期性密鋪而不用鏡像翻轉的形狀？答案也是肯定的。2023年5月，大衛·史密斯又發現了另一種無需鏡像翻轉即可實現非周期性密鋪的新形狀，他將之命名為“幽靈”

幽靈拼圖塊的邊長和角度也是經過精心設計的，具有如下幾何特征：

1.這是一個十二邊形，除了一條邊長度是 2a ，其余所有邊的長度均為 a 。2.相鄰兩條邊在頂點處形成的小于 180^° 的角（即從一條邊轉向另一條邊所經過的角度）要么是 90^° ，要么是 120^° 。3.幽靈拼圖塊有的邊凸出，有的邊凹陷，是一個不對稱的圖形。

本期的《數學實驗室》欄目，我們將教同學們動手制作帽子和幽靈這兩種拼圖塊，從中感受非周期性密鋪的魅力。

動 動 孕準備材料：彩紙、卡紙、膠水、剪刀

實驗步驟

1掃描二維碼，下載兩個PDF文件。先選擇帽子PDF文件，將其打印在彩紙上。

2 在卡紙表面均勻地涂抹膠水，粘貼在打印好的帽子彩紙上，再在卡紙背面粘上其他顏色的彩紙。

3 用剪刀仔細剪下每一塊帽子拼圖塊（有打印面的為正面，背面則為其鏡像圖形）。

6 用膠水把打印好的幽靈彩紙粘貼在卡紙上，粘貼平整，等待干透。

4 當剪出的帽子拼圖塊的數量超過50塊時，就可以用它們拼出非周期性密鋪圖形。

7 把每一塊幽靈拼圖塊用剪刀小心地剪裁下來。

5 再選擇幽靈PDF文件，將其打印在彩紙上，可以多選幾種顏色的彩紙。

8 當剪出的幽靈拼圖塊的數量超過50塊時，就可以用它們拼出有多種顏色的非周期？