探究高中數(shù)學開放性試題的解題方法

1運用數(shù)學思維模式解決問題

在解答高中數(shù)學開放性試題時，數(shù)學思維模式是學生解決問題的核心.通過培養(yǎng)學生的分析、歸納、類比和抽象等多種思維模式，可以更好地應對開放性問題.在實際解題過程中，學生需要將所學的數(shù)學概念與題目中的條件相結合，靈活運用推理能力來找到解題的突破口.

例1已知函數(shù) f(x)=2x²-3x+1 若 f(a)+ f(b)=10 ，且 a+b=3 ，求 ab 的值.

解析根據(jù)題意，可以將函數(shù)表達式代入已知條件，得到： f(a)+f(b)=(2a²-3a+1)+(2b²- 3b+1)=10

結合條件 a+b=3 ，可以進一步利用對稱性質和數(shù)學思維模式，將問題轉化為求解關于 α_a 和 b 的方程，從而得到 ab 的值.解答此類問題學生需要綜合運用推理和計算能力，根據(jù)題目條件逐步推導，最終找到正確答案.

2綜合運用數(shù)學知識點解答題目

開放性試題往往涉及多種數(shù)學知識點，因此在解答過程中，學生需要將各類數(shù)學知識融會貫通.在面對此類問題時，能夠熟練掌握并綜合應用所學知識，是解題的關鍵.

例2已知數(shù)列 {a_n} 是等比數(shù)列，且滿足 a₁= 2，a₃=18 ，求數(shù)列的公比 q 以及前五項之和.

解析 根據(jù)等比數(shù)列的定義得， a₃=a₁?q² 將已知條件 a₁=2 和 a₃=18 代入公式，得到： ?2?q²=18?q²=9?q=3 或 q=-3 元

根據(jù)求解結果，可以進一步求出前五項之和S₅ .通過對數(shù)列的性質以及求和公式的運用，學生能夠快速找到答案并加深對等比數(shù)列的理解.解答此類問題時，學生需要熟練掌握數(shù)列的性質，并能夠根據(jù)已知條件靈活運用數(shù)學知識點.

3借助多種解題策略進行分析

在高中數(shù)學開放性試題的解答過程中，靈活使用多種解題策略是解決復雜問題的關鍵.針對不同類型的問題，可以采用假設法、反證法、數(shù)形結合法等進行分析.這些方法能夠幫助學生在解決問題時更具條理性和靈活性，以便從多個角度探尋解題思路.

3.1 用假設法求解問題

假設法是一種通過設定合理的假設來簡化問題的方法，常用于需要建立數(shù)學模型或者推導公式的問題.此策略能將復雜問題轉化為較易處理的形式，從而找到解題突破口.

例3已知數(shù)列的前 n 項和為 S_n=n²+3n ，求數(shù)列的通項公式 a_n ·

解析通過分析 S_n 與 a_n 的關系，將通項公式表示為 .根據(jù)這個關系，求解過程如下：

（1）表示數(shù)列的前 n 項和：

已知前 n 項和為 S_n=n²+3n ，所以前 n-1 項的和為 S_n-1=(n-1)²+3(n-1)

（2）展開并簡化S\"-1：

S_n-1=(n²-2n+1)+(3n-3)=n²-2n+1 +3n-3

（3）求通項公式 a_n ：

a_n=S_n-S_n-1=(n²+3n)-(n²+n-2)，

即 a_n=n²+3n-n²-n+2=2n+2.

因此，數(shù)列的通項公式為 a_n=2n+2 通過假設法，將問題有效地轉化并求解，得到了數(shù)列的通項表達式.

3.2 用反證法分析題目

反證法是一種通過假設結論不成立，推導出矛盾，從而證明結論正確的方法.這種方法用于解決證明類問題非常有效，尤其適用于存在性和唯一性問題.

例4證明：如果一個數(shù)的平方是奇數(shù)，那么該數(shù)本身一定是奇數(shù).

解析 使用反證法，通過假設原命題不成立來推導出矛盾.

（1）假設反命題成立：假設這個數(shù)是偶數(shù).設該數(shù)為 n=2k ，其中 k 為整數(shù).

（2）求該數(shù)的平方： n²=(2k)²=4k²

（3）分析矛盾：從以上計算可以看出， n²=4k² 必然是偶數(shù)，這與題目中假設 n² 是奇數(shù)的條件相矛盾.

因此，假設不成立，原命題正確，即如果一個數(shù)的平方是奇數(shù)，那么該數(shù)本身一定是奇數(shù).

3.3用數(shù)形結合法解題

數(shù)形結合法是一種通過將代數(shù)問題用幾何圖形表達，使解題過程更直觀的方法.這種策略能讓學生通過圖形直觀理解代數(shù)性質，有助于更快地找到解題思路.

例5求解關于 x 的方程 x²-4x+3=0 的根，并用數(shù)形結合的方法解釋其解.

解析首先通過代數(shù)方法求解方程，然后使用圖形表示進一步理解結果.

（1）求解方程 :x²-4x+3=0 ，

使用因式分解法，將方程分解為： (x-3)(x-1) 1)=0 ，

所以方程的根為 x=3 和 x=1

（2）繪制函數(shù)圖象：繪制函數(shù) y=x²-4x+3 的圖象，這是一個開口向上的拋物線.根據(jù)拋物線方程的性質，其對稱軸 ，最小值為 y=2²- 4×2+3=-1 ，頂點坐標為 (2，-1)

（3）用數(shù)形結合的方法解釋：可以看到，拋物線與 x 軸的交點的橫坐標是 x=1 和 x=3 ，這與代數(shù)解法所得的結果完全一致.通過數(shù)形結合，不僅得到了準確的答案，還能直觀地理解方程根的位置及其幾何意義.

4結語

高中數(shù)學中的開放性試題是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和綜合能力的重要途徑，要求學生在解題過程中具備較強的邏輯推理能力與知識遷移能力.面對這些復雜的數(shù)學問題，學生需要掌握多種解題策略，靈活運用數(shù)學思維模式，從不同角度分析與解決問題.因此，作為數(shù)學教師，應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維方式，鼓勵他們深入理解開放性試題的解題思路，歸納總結多種解題技巧，提升綜合分析能力，逐步提高學生在實際解題中的自信心和解題水平.