三角函數解題技巧的系統總結與應用分析

1引言

三角函數是高中數學的重要內容之一，也是解決復雜問題的重要工具.三角函數的多變性和周期性使得其在實際問題求解中具有廣泛的應用.然而，在解題中如何通過有效的技巧來簡化問題、快速找到解題路徑是很多學生面臨的難點.本文將通過對三大主要題型的剖析，系統總結三角函數解題的常用方法，幫助學生建立清晰的解題思路，提高問題解決能力.

2 三大題型的解題技巧

2.1 題型 1:y=asinx+b 或 y=acosx+b 型函數

在求解形如 _y=asinx+b 的三角函數表達式的最值問題時，通常使用函數的有界性來簡化求解.對于該表達式，由于 sinx 的取值范圍為[—1，1]，將 的取值范圍轉化為 a(-1)+b?y?a(1)+b(a) 0)，即 的最大值為 a+b ，最小值為 -a+b .通過這種方式能夠快速確定表達式的最大值和最小值，使求解過程更加簡潔明了.

例1求函數 y=2cosx-2 的值域.

解析此為 y=acosx+b 型的三角函數求取值問題.設 t=cosx ，由三角函數的有界性得 t∈ [-1，1]，則 y=2t-2∈[-4，0]

例2求 的值域.

解析 由于 且 故

2.2 題型 2:y=asinx+bcosx 型函數

在求解三角函數型表達式的最值問題中，常用輔助角法來進行簡化.對于表達式 y=asinx+ bcosx ，可以引入輔助角 φ 將其化為 y= 從而利用不等式 |sin(x+φ)|? 1來確定最值.同樣地，對于形如 y=asin²x+ bsinxcosx+mcos²x+n 的表達式，也可以通過引入輔助角進行化簡，轉化為 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式.此策略的核心在于化簡表達式，使三角函數的類型和角度統一，以便于進一步求解.

例3 已知函數 f(x)=2cosx+sinx ，求其最大值.

解析本題中，系數 a=2 ， b=1 ，因此最大值為

例4求函數 sin⁴x 在區間 上的最值.

解析 將函數化簡：f(x)=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x

=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)-sin2x 進一步化簡可得： f(x)=cos2x-sin2x 因為 ，所以 由此可得 當 x=0 時，f(x)_max=1 ；當 時，

點評解決這類問題的思路是將函數轉化為f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的形式.一般而言，最大值和最小值分別為 ∣A∣+B 和 -|A|+B .在附加了 x 的取值范圍時，最優方法是通過圖象來輔助解題.

2.3題型：轉化二次函數(配方法)

對于形如 y=asin²x+bsinx+c 或 y=acos²x+ bcosx+c 的表達式，可通過設 t=sinx 或 t=cosx ，使得 -1?t?1 ，從而將其轉化為一個閉區間上關于Ψ_tΨ_t 的二次函數最值問題.若函數表達式中只含有正弦或余弦函數，且它們的次數為2，那么通?？梢酝ㄟ^配方法或變量替換，將給定的函數化為二次函數的最值問題來處理，

例5求函數 y=-sin²x-3cosx+3 的最小值.

解析 利用恒等式 sin²x+cos²x=1 ，可以將原函數化為 y=cos²x-3cosx+2.

設 t=cosx ，則 -1?t?1 ，代人得 y=t²-3t +2.對該表達式配方，得y=(t-) 因此，在 -1?t?1 的范圍內，當 t=1 （即 cosx=1; 時， 取最小值 y_min=0

例6已知向量 ^-1) ，且 m?n=1 ，其中 A 為銳角.

（1）求角 A 的大小；(2)求函數 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R) 的值域.

解析 (1)根據題意得 1.由此可得 由于 A 為銳角，解得

(2)由(1)可知 代入函數表達式中得f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx= 因為 x∈R ，所以 sinx∈ [-1，1]. 因此，當 時， f(x) 取最大值 當sinx=-1 時， f(x) 取最小值一3.綜上，所求函數f(x) 的值域為

3結語

本文通過典型例題分析，總結了三角函數解題的幾種核心方法，并展示了這些方法在實際問題中的應用效果.通過合理利用輔助角法、函數變換及二次函數轉化等技巧，能夠有效簡化解題過程，提升解題效率.這些方法不僅幫助學生在三角函數問題中找到快速、準確的解題路徑，還能增強其邏輯推理和分析能力.希望學生在今后的學習中能夠靈活運用這些技巧，在面對更復雜的數學問題時游刃有余.

參考文獻：

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