解析幾何中圓的公切線方程解題思路和技巧分析

圓的公切線方程是對高中數學“圓的切線、切點弦”相關知識的拓展，該內容對學生的發散思維、邏輯思維以及應變思維能力都有一定要求.本文主要從解題思路和解題技巧兩個角度對圓的公切線方程教學進行探討.

1 圓的公切線方程簡介

1. 1 圓的公切線方程

公切線是指同時與曲線 y=f(x)，y=g(x) 相切的直線.圓的公切線是一種特殊的曲線公切線，通常以函數來表示，根據圓的性質可以將其分為外切公切線和內切公切線[1].當公切線位于兩個圓的同側時，則稱該公切線為圓的外公切線，當公切線位于兩個圓的不同側，則稱該公切線為圓的內公切線，如圖1所示.

1. 2 圓的公切線方程解題思路

假設圓 O₁:x²+y²+B₁x+C₁y+D₁=0(B₁² +C₁²-4D₁>0? ，圓 O₂:x²+y²+B₂x+C₂y+ D₂=0(B₂²+C₂²-4D₂>0) ，并且兩圓之間的關系為內切，則可以直接將兩式聯立后相減，得到經過兩圓交點的直線即兩圓公切線[2].

由 ①-② 可得： (B₁-B₂)x+(C₁-C₂)y+ (D₁-D₂)=0.

兩公式相減后代表的含義與兩圓的關系存在關聯：（1）當兩圓為內切關系時，兩圓的公切線僅有一條，此時兩公式相減后得到僅有的公切線；（2）當兩圓為外切或外離關系時，兩公式相減后得到的公切線為兩圓的內公切線，此時剩余公切線與內公切線平行或相交.

2 兩圓內切的公切線解題技巧

兩圓內切時，其公切線僅有1條，此時兩圓的坐標關系如圖2所示.

計算兩圓公切線時，可以直接將兩圓的方程相減，得到兩圓的唯一公切線，解題思路為：

例1計算圓 ?1:x²+y²-4x-16=0 ，與圓?2:x²+y²+2x-4=0 的公切線.

通過分析可以發現 ?2 的圓心 (0，-1) 在 ?1 的圓心內，并且兩圓的半徑相差等于圓心距，由此可以判斷兩圓的關系為內切，此時兩圓公切線僅有1條，對于該內切兩圓，可設公切線方程，利用圓心到切線距離等于半徑的性質來解得公切線方程 2x+ y+6=0

3 兩圓外切的公切線解題技巧

兩圓外切可以分為兩個半徑相等的圓外切以及兩個半徑不等的圓外切，如圖3所示.

其中半徑相等時的兩圓外切公切線只需借助兩圓半徑以及外切線和內切線的平行關系則可以輕易求出，因此本文以例2分析兩外切圓半徑不等時的公切線計算方式.

例2過點 作圓 x²+y²=1 的兩條切線，其切點分別為 A，B ，求

本題實質上可以通過作輔助外切圓的方式計算.首先假設存在與圓外切但半徑不同的圓(x-n)²+(y-m)²=1 ，此時兩圓相減后得到：2nx+2my-n²-m²=0 ，得到兩圓的內切線，隨后根據兩圓內切線和外切線的幾何關系，計算圓 x²+y²=1 與兩圓的切線并得到切點，最終得出

兩圓外離的公切線解題技巧

兩圓外離可以分為兩個半徑相等的圓外切以及兩半徑不等的圓外切，如圖4所示.

其中半徑相等時的兩圓外里公切線只需借助兩圓半徑以及外切線和內切線的平行關系和相交關系即可以輕易求出，因此本文以例3分析兩外離圓半徑不等時的公切線計算方式.

例3計算圓 ?1:x²+y²=1 ，與圓 ?2 ·(x-6)²+y²=4 的所有公切線方程。

首先計算兩圓的內公切線，并取內公切線上任意一點 M ，連接點 M 與兩圓外點 E，F，T，D ，根據內公切線與各外公切線之間的幾何關系，得到圓的公切線方程.

參考文獻：

[1]蘇藝偉.從四道質檢試題談兩曲線公切線問題的求解策略[J].數理化學習（高中版） .2022(2):7-10

[2]張秋珍.例析曲線的公切線問題的求解策略[J].數理化解題研究，2024(1)：42-44.